Powrót do katalogu

Lekcja 01: Potęgi, Pierwiastki & Szacowanie

Dział 01: Liczby Rzeczywiste
120 min
49 pkt (36 zadań)

Lekcja 01: Potęgi, Pierwiastki & Szacowanie

16 autentycznych zadań CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 18 pkt

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

Potęgi i pierwiastki otwierają każdy arkusz podstawowy (zadania 1–2 za pewne 2 pkt) oraz stanowią kluczowy aparat przekształceń w zadaniach rozszerzonych (równania wykładnicze, logarytmy, szacowanie).

3 Kluczowe Patenty

1

Sprowadzanie do bazy 2 lub 3

Zawsze zamieniaj 4,8,16,32,64,128,2564, 8, 16, 32, 64, 128, 256 na 2k2^k, a 9,27,819, 27, 81 na 3k3^k.

2

Redukcja wewnątrz nawiasu

Zanim podniesiesz (32−2)2(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 do kwadratu, uprość środek do 323\sqrt{2}!

3

Tożsamość Sophie Germain

x4+81=(x2+9)2−18x2=(x2+9)2−(32x)2x^4 + 81 = (x^2+9)^2 - 18x^2 = (x^2+9)^2 - (3\sqrt{2}x)^2.

3 Czerwone Flagi

01

2−1=122^{-1} = \frac{1}{2}, a NIE −2-2 (minus w wykładniku obraca liczbę do mianownika!).

02

−64\sqrt{-64} nie istnieje w R\mathbb{R}, ale stopień nieparzysty −643=−4\sqrt[3]{-64} = -4 istnieje i daje −4-4!

03

a+b≠a+b\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} (nigdy nie wolno rozbijać pierwiastka sumy!).

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Pobierz wideo

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Prędkość:

Rozdziały

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Teoretyczne: Potęgi, Pierwiastki i Szacowanie

Moduł Wiedzy Teoretycznej do Lekcji 01 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Aksjomatyka i Definicje Potęgi w R\mathbb{R}

1.1. Wykładnik naturalny i całkowity

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a∈Ra \in \mathbb{R} oraz liczby naturalnej n∈N≥1n \in \mathbb{N}_{\ge 1}: a1=a,an=a⋅a⋅⋯⋅a⏟n czynnikoˊwa^1 = a, \quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ czynników}}

Dla a≠0a \neq 0: a0=1,a−n=1ana^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Dowód tożsamości a0=1a^0 = 1: Z prawa dzielenia potęg: anan=an−n=a0\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0. Jednocześnie iloraz liczby różnej od zera przez samą siebie wynosi 11, zatem a0=1a^0 = 1.

Dowód tożsamości a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}: Z definicji: a−n=a0−n=a0an=1ana^{-n} = a^{0 - n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n}.

1.2. Wykładnik wymierny (ułamkowy)

Dla a>0a > 0 oraz liczb całkowitych m∈Zm \in \mathbb{Z} i n∈N≥2n \in \mathbb{N}_{\ge 2}: amn=amn=(an)ma^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Dla a=0a = 0 potęga 0mn0^{\frac{m}{n}} jest określona tylko dla mn>0\frac{m}{n} > 0 i wynosi 00.

2. Twierdzenia i Prawa Działań na Potęgach

Dla dowolnych liczb a,b>0a, b > 0 oraz dowolnych wykładników rzeczywistych r,s∈Rr, s \in \mathbb{R}:

L.p.Nazwa regułyWzór analitycznyZastosowanie praktyczne CKE
1Iloczyn potęg o równej podstawiear⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s}Dodawanie wykładników przy sprowadzaniu do bazy 22 lub 33
2Iloraz potęg o równej podstawiearas=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}Redukcja ułamków algebraicznych i wykładniczych
3Potęgowanie potęgi(ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s}Likwidacja zagnieżdżonych potęg: (25)35=23=8(2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^3 = 8
4Iloczyn potęg o równych wykładnikachar⋅br=(a⋅b)ra^r \cdot b^r = (a \cdot b)^rWciąganie pod wspólny wykładnik: 2x⋅5x=10x2^x \cdot 5^x = 10^x
5Iloraz potęg o równych wykładnikacharbr=(ab)r\frac{a^r}{b^r} = \left(\frac{a}{b}\right)^rZamiana ułamków: 6x3x=2x\frac{6^x}{3^x} = 2^x
6Odwracanie ułamka z ujemnym wykładnikiem(ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^rZamiana (23)−2=(32)2=94\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}

3. Teoria Pierwiastków w Liczbach Rzeczywistych

3.1. Pierwiastek stopnia parzystego (n=2k,k∈N≥1n = 2k, k \in \mathbb{N}_{\ge 1})

Dla liczby a≥0a \ge 0, a2k\sqrt[2k]{a} oznacza jedyną nieujemną liczbę b≥0b \ge 0 taką, że b2k=ab^{2k} = a.

  • Pod pierwiastkiem stopnia parzystego w ciele R\mathbb{R} NIE MOŻE stać liczba ujemna.
  • Wynik pierwiastka stopnia parzystego ZAWSZE jest ≥0\ge 0.
  • Tożsamość fundamentalna: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|. (Częsty błąd: a2≠a\sqrt{a^2} \neq a gdy a<0a < 0).

3.2. Pierwiastek stopnia nieparzystego (n=2k+1,k∈N≥1n = 2k+1, k \in \mathbb{N}_{\ge 1})

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a∈Ra \in \mathbb{R} (także ujemnej!), a2k+1\sqrt[2k+1]{a} oznacza jedyną liczbę rzeczywistą b∈Rb \in \mathbb{R} taką, że b2k+1=ab^{2k+1} = a.

  • Zachodzi tożsamość: −a2k+1=−a2k+1\sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}
  • Przykłady: −643=−4\sqrt[3]{-64} = -4, −325=−2\sqrt[5]{-32} = -2, −13=−1\sqrt[3]{-1} = -1.

3.3. Działania na pierwiastkach

Dla a,b≥0a, b \ge 0: an⋅bn=a⋅bn,anbn=abn(b>0)\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}, \quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b > 0) anm=am⋅n\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}

4. Tabele Pamięciowe: Kluczowe Potęgi na Maturę

Aby rozwiązywać zadania CKE w czasie poniżej 90 sekund, poniższe wartości należy znać na pamięć bez korzystania z kalkulatora:

Wykładnik kkBaza 2k2^kBaza 3k3^kBaza 4k=22k4^k = 2^{2k}Baza 5k5^k
01111
12345
2491625
382764125
41681256625
53224310243125
6647294096—
71282187——
8256———
9512———
101024———

5. Narzędzia i Tożsamości Poziomu Rozszerzonego

5.1. Dopełnianie do pełnego kwadratu (Tożsamość Sophie Germain)

W zadaniach dowodowych oraz zadaniach na rozkład wielomianów na czynniki stosuje się tożsamość Sophie Germain: a4+4b4=a4+4a2b2+4b4−4a2b2=(a2+2b2)2−(2ab)2=(a2−2ab+2b2)(a2+2ab+2b2)a^4 + 4b^4 = a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 - 4a^2b^2 = (a^2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 - 2ab + 2b^2)(a^2 + 2ab + 2b^2)

Przykład CKE (x4+81x^4 + 81): x4+81=(x2)2+92=(x2+9)2−18x2=(x2+9)2−(32x)2=(x2−32x+9)(x2+32x+9)x^4 + 81 = (x^2)^2 + 9^2 = (x^2 + 9)^2 - 18x^2 = (x^2 + 9)^2 - (3\sqrt{2}x)^2 = (x^2 - 3\sqrt{2}x + 9)(x^2 + 3\sqrt{2}x + 9)

5.2. Tożsamości potęgowo-logarytmiczne

Dla a>0,a≠1,b>0a > 0, a \neq 1, b > 0: alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b Gdy baza potęgi różni się od bazy logarytmu: (ak)log⁡ab=ak⋅log⁡ab=alog⁡a(bk)=bk(a^k)^{\log_a b} = a^{k \cdot \log_a b} = a^{\log_a (b^k)} = b^k

5.3. Modele procesu wykładniczego

Równanie wzrostu lub zaniku wykładniczego: N(t)=N0⋅ktN(t) = N_0 \cdot k^t

  • N0N_0 – stan początkowy dla t=0t = 0.
  • kk – czynnik zmiany w jednostce czasu (k>1k > 1 wzrost, 0<k<10 < k < 1 rozpad/zanik).
  • Względna zmiana w jednostce czasu: p=(k−1)⋅100%p = (k - 1) \cdot 100\%.
  • Ścisły rygor obliczeń: Jeżeli N(2)=N0⋅k2N(2) = N_0 \cdot k^2, to k=N(2)N0k = \sqrt{\frac{N(2)}{N_0}}. Podział różnicy przez 2 to fałszywy model liniowy (0 pkt na maturze).

6. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typologia Błędów Maturalnych)

L.p.❌ NIE WOLNO! (Błąd kardynalny)✅ PRAWIDŁOWO (Standard CKE)Wyjaśnienie i reguła egzaminatora
1a−n=−ana^{-n} = -a^na−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}Minus w wykładniku oznacza odwrotność liczby (a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}), a nie zmianę znaku liczby na ujemny!
2a+b=a+b\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}Pozostawić a+b\sqrt{a + b} lub upraszczać pod pierwiastkiemPierwiastkowanie NIE jest rozdzielne względem dodawania: 9+16=5\sqrt{9+16} = 5, podczas gdy 9+16=3+4=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 (5≠75 \neq 7).
3(a−b)2=a2−b2(a - b)^2 = a^2 - b^2(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2Kwadrat różnicy bezwzględnie wymaga podwojonego iloczynu −2ab-2ab (wzór skróconego mnożenia CKE).
4a2=a\sqrt{a^2} = aa2=∣a∣\sqrt{a^2} = \lvert a \rvertPierwiastek kwadratowy z kwadratu daje wartość bezwzględną! Dla a<0a < 0: a2=−a\sqrt{a^2} = -a (np. (−5)2=∣−5∣=5\sqrt{(-5)^2} = \lvert -5 \rvert = 5).
5ax+ay=ax+ya^x + a^y = a^{x+y}Wyciągnąć wspólny czynnik przed nawiasDodawanie wykładników zachodzi wyłącznie przy iloczynie (ax⋅ay=ax+ya^x \cdot a^y = a^{x+y}), nigdy przy sumie!
6k2=1,5625  ⟹  k=1,56252k^2 = 1{,}5625 \implies k = \frac{1{,}5625}{2}k=1,5625=1,25k = \sqrt{1{,}5625} = 1{,}25W procesie wykładniczym niewiadomą wyznacza się przez pierwiastkowanie, a nie dzielenie przez wykładnik.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 01: Potęgi, Pierwiastki & Szacowanie

16 autentycznych zadań CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 18 pkt

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 16 zadań🏆 18 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 18 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Mnożniki i procenty

Cnowa=(1±p)⋅CC_{\text{nowa}} = (1 \pm p) \cdot C · Dwie obniżki: C(1−p1)(1−p2)C(1-p_1)(1-p_2) · Netto/Brutto: Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}

Baza odniesienia i punkty procentowe

Zmiana względna: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A-B|}{B} \cdot 100\% · Punkty procentowe: Δp=p2−p1 p.p.\Delta p = p_2 - p_1\text{ p.p.} · Wzrost relatywny: Δpp1⋅100%\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%

Kapitalizacja i błędy szacowania

Kn=K0(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m} · Błąd bezwzględny: ∣x−x0∣|x - x_0| · Błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Sprowadzanie do bazy 2 lub 3

Zawsze zamieniaj 4,8,16,32,64,128,2564, 8, 16, 32, 64, 128, 256 na 2k2^k, a 9,27,819, 27, 81 na 3k3^k.

2. Redukcja wewnątrz nawiasu

Zanim podniesiesz (32−2)2(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 do kwadratu, uprość środek do 323\sqrt{2}!

3. Tożsamość Sophie Germain

x4+81=(x2+9)2−18x2=(x2+9)2−(32x)2x^4 + 81 = (x^2+9)^2 - 18x^2 = (x^2+9)^2 - (3\sqrt{2}x)^2.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

2−1=122^{-1} = \frac{1}{2}, a NIE −2-2 (minus w wykładniku obraca liczbę do mianownika!).

02

−64\sqrt{-64} nie istnieje w R\mathbb{R}, ale stopień nieparzysty −643=−4\sqrt[3]{-64} = -4 istnieje i daje −4-4!

03

a+b≠a+b\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} (nigdy nie wolno rozbijać pierwiastka sumy!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie12345678910111213141516
Maks. pkt1111111111111212
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 17 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2026 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 1: Włączanie pod wspólny pierwiastek i ujemny wykładnik

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 258⋅2+2−1\sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} + 2^{-1} jest równa:
A. 11      B. 22      C. 33      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2026 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 2: Pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba −643+273−325\frac{\sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}} jest równa:
A. (−2)(-2)      B. (−12)\left(-\frac{1}{2}\right)      C. 12\frac{1}{2}      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 3: Potęga o wykładniku ułamkowym i sprowadzanie do bazy 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 2−1⋅32352^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}} jest równa:
A. (−16)(-16)      B. (−4)(-4)      C. 22      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2024 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 4: Potęgi o wspólnej bazie 2 i wykładniki ujemne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (116)8⋅816\left(\frac{1}{16}\right)^8 \cdot 8^{16} jest równa:
A. 2242^{24}      B. 2162^{16}      C. 2122^{12}      D. 282^8

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2018 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 5: Redukcja ilorazu potęg o wspólnej bazie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 27⋅8345\frac{2^7 \cdot 8^3}{4^5} jest równa:
A. 262^6      B. 252^5      C. 242^4      D. 272^7

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2025 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 6: Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy pierwiastków

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (32−2)2(\sqrt{32} - \sqrt{2})^2 jest równa:
A. 1616      B. 1818      C. 3030      D. 3434

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2025 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 7: Iloczyn potęg i pierwiastków sześciennych

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 256⋅823256 \cdot \sqrt[3]{8^2} jest równa:
A. 282^8      B. 2102^{10}      C. 2162^{16}      D. 2122^{12}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2023 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 8: Iloczyn pierwiastków o różnych stopniach

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej xx iloczyn x⋅x3⋅x6\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x} jest równy:

A. xx      B. x11\sqrt[11]{x}      C. x2x^2      D. x6\sqrt[6]{x}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2017 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 9: Rozwijanie kwadratu sumy i redukcja wyrazów niewymiernych

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (3+1)2−12(\sqrt{3} + 1)^2 - \sqrt{12} jest równa:
A. 22      B. 44      C. 4−434 - 4\sqrt{3}      D. 4+434 + 4\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2022 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 10: Kwadrat różnicy wyrażeń z pierwiastkiem

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (28−32)2(2\sqrt{8} - 3\sqrt{2})^2 jest równa:
A. 22      B. 11      C. 2626      D. 1414

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2021 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 11: Potęgi dziesiętne i ułamki ujemne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 1005⋅(0,1)−4100^5 \cdot (0{,}1)^{-4} jest równa:
A. 101310^{13}      B. 101410^{14}      C. 10−110^{-1}      D. 10−3010^{-30}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2018 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 12: Porównywanie potęg o wykładnikach niewymiernych

Dane są liczby: a=48a = 4^{\sqrt{8}}, b=252b = 2^{5\sqrt{2}}, c=162c = 16^{\sqrt{2}}, d=2112d = 2^{\frac{11}{\sqrt{2}}}.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdziwa jest zależność:
A. a=c<b<da = c < b < d      B. a<b<c<da < b < c < d      C. c<a<b<dc < a < b < d      D. b<a=c<db < a = c < d

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2017 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 13: Zwijanie podwójnych pierwiastków i tożsamości kwadratowe

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (2−3−2+3)2(\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 jest równa:
A. 22      B. 44      C. 3\sqrt{3}      D. 232\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2026 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 14: Tożsamości potęgowo-wykładnicze i podstawa 16 jako 4^2

Dana jest liczba rzeczywista aa:
a=1612log⁡436−2log⁡43a = 16^{\frac{1}{2}\log_4 36 - 2\log_4 3}
Oblicz wartość liczby aa. Zapisz obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2021 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 15: Tożsamość Sophie Germain – rozkład sumy czwartych potęg

Wielomian W(x)=x4+81W(x) = x^4 + 81 jest podzielny przez:
A. x−3x - 3      B. x2+9x^2 + 9      C. x2−32x+9x^2 - 3\sqrt{2}x + 9      D. x2+32x−9x^2 + 3\sqrt{2}x - 9

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2025 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 16: Modelowanie wykładnicze w zadaniach praktycznych

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność NN zmienia się zgodnie z zależnością:
N(t)=N0⋅kt(t≥0)N(t) = N_0 \cdot k^t \quad (t \ge 0)
Dla t=0t = 0 liczebność wynosiła 10 00010\,000, a po 22 godzinach 15 62515\,625. Oblicz, o ile procent wzrasta liczebność populacji w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 01: Potęgi, Pierwiastki & Szacowanie

16 autentycznych zadań CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 18 pkt

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 16 zadań🏆 18 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 18 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Mnożniki i procenty

Cnowa=(1±p)⋅CC_{\text{nowa}} = (1 \pm p) \cdot C · Dwie obniżki: C(1−p1)(1−p2)C(1-p_1)(1-p_2) · Netto/Brutto: Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}

Baza odniesienia i punkty procentowe

Zmiana względna: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A-B|}{B} \cdot 100\% · Punkty procentowe: Δp=p2−p1 p.p.\Delta p = p_2 - p_1\text{ p.p.} · Wzrost relatywny: Δpp1⋅100%\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%

Kapitalizacja i błędy szacowania

Kn=K0(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m} · Błąd bezwzględny: ∣x−x0∣|x - x_0| · Błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Sprowadzanie do bazy 2 lub 3

Zawsze zamieniaj 4,8,16,32,64,128,2564, 8, 16, 32, 64, 128, 256 na 2k2^k, a 9,27,819, 27, 81 na 3k3^k.

2. Redukcja wewnątrz nawiasu

Zanim podniesiesz (32−2)2(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 do kwadratu, uprość środek do 323\sqrt{2}!

3. Tożsamość Sophie Germain

x4+81=(x2+9)2−18x2=(x2+9)2−(32x)2x^4 + 81 = (x^2+9)^2 - 18x^2 = (x^2+9)^2 - (3\sqrt{2}x)^2.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

2−1=122^{-1} = \frac{1}{2}, a NIE −2-2 (minus w wykładniku obraca liczbę do mianownika!).

02

−64\sqrt{-64} nie istnieje w R\mathbb{R}, ale stopień nieparzysty −643=−4\sqrt[3]{-64} = -4 istnieje i daje −4-4!

03

a+b≠a+b\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} (nigdy nie wolno rozbijać pierwiastka sumy!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie12345678910111213141516
Maks. pkt1111111111111212
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 17 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2026 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 1: Włączanie pod wspólny pierwiastek i ujemny wykładnik

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 258⋅2+2−1\sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} + 2^{-1} jest równa:
A. 11      B. 22      C. 33      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Mnożenie pierwiastków tego samego stopnia: a⋅b=a⋅b\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} dla a,b≥0a, b \ge 0
• Wykładnik ujemny: a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} dla a≠0a \ne 0

Strategia

  1. Wspólny pierwiastek: 258⋅2=25⋅28=508=254=254=52\sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{8}} = \sqrt{\frac{50}{8}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}.
    2. Wykładnik ujemny: 2−1=121=122^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}.
    3. Dodawanie ułamków o wspólnym mianowniku: 52+12=5+12=62=3\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3.

Pełne obliczenia

  1. Korzystamy ze wzoru na iloczyn pierwiastków kwadratowych:
       258⋅2=258⋅2=508=254=254=52\sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{25}{8} \cdot 2} = \sqrt{\frac{50}{8}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}
    2. Obliczamy potęgę o wykładniku ujemnym:
       2−1=121=122^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}
    3. Dodajemy oba składniki o wspólnym mianowniku 2:
       52+12=5+12=62=3\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3
    Poprawna odpowiedź: C

Pułapka egzaminatora

• Mylenie 2−12^{-1} z liczbą ujemną −2-2 (minus w wykładniku odwraca podstawę do mianownika, a nie tworzy liczby ujemnej!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2026 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 2: Pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba −643+273−325\frac{\sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}} jest równa:
A. (−2)(-2)      B. (−12)\left(-\frac{1}{2}\right)      C. 12\frac{1}{2}      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej: −xn=−xn\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x} dla n∈{3,5,7,… }n \in \{3, 5, 7, \dots\}
• Dzielenie liczb o jednakowych znakach: −a−b=ab\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}

Strategia

  1. Pierwiastki nieparzyste:
      • −643=−4\sqrt[3]{-64} = -4, ponieważ (−4)3=(−4)⋅(−4)⋅(−4)=−64(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = -64
      • 273=3\sqrt[3]{27} = 3, ponieważ 33=273^3 = 27
      • −325=−2\sqrt[5]{-32} = -2, ponieważ (−2)5=−32(-2)^5 = -32
    2. Licznik: −4+3=−1-4 + 3 = -1.
    3. Iloraz: −1−2=12\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}.

Pełne obliczenia

  1. Obliczamy pierwiastki w liczniku:
       −643=−4\sqrt[3]{-64} = -4 (bo (−4)3=−64(-4)^3 = -64)
       273=3\sqrt[3]{27} = 3 (bo 33=273^3 = 27)
       Licznik =−4+3=−1= -4 + 3 = -1
    2. Obliczamy pierwiastek w mianowniku:
       −325=−2\sqrt[5]{-32} = -2 (bo (−2)5=−32(-2)^5 = -32)
    3. Dzielimy licznik przez mianownik (minus podzielony przez minus daje plus):
       −1−2=12\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}
    Poprawna odpowiedź: C

Pułapka egzaminatora

• Błędne twierdzenie, że pod pierwiastkiem nie może być liczby ujemnej (dotyczy to tylko pierwiastków stopni parzystych, np. −64\sqrt{-64}, natomiast −643=−4\sqrt[3]{-64} = -4 istnieje i jest liczbą rzeczywistą!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 3: Potęga o wykładniku ułamkowym i sprowadzanie do bazy 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 2−1⋅32352^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}} jest równa:
A. (−16)(-16)      B. (−4)(-4)      C. 22      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Potęga o wykładniku ułamkowym: amn=(an)ma^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m
• Baza dwójki: 32=2532 = 2^5
• Potęgowanie potęgi: (am)n=am⋅n  ⟹  (25)35=25⋅35=23=8(a^m)^n = a^{m \cdot n} \implies (2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^3 = 8
• Wykładnik ujemny i iloczyn: 2−1⋅8=12⋅8=42^{-1} \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4

Strategia

  1. Sprowadź do potęgi 2: 32=25  ⟹  3235=(25)35=25⋅35=23=832 = 2^5 \implies 32^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^3 = 8.
    2. Wymnóż: 2−1⋅8=12⋅8=42^{-1} \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4.

Pełne obliczenia

  1. Przedstawiamy liczbę 32 jako potęgę dwójki:
       32=2532 = 2^5
    2. Przekształcamy drugi czynnik za pomocą wzoru (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}:
       3235=(25)35=25⋅35=2155=23=832^{\frac{3}{5}} = (2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{3}{5}} = 2^{\frac{15}{5}} = 2^3 = 8
    3. Obliczamy pierwszy czynnik:
       2−1=122^{-1} = \frac{1}{2}
    4. Mnożymy oba czynniki:
       2−1⋅3235=12⋅8=42^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4
    Poprawna odpowiedź: D

Pułapka egzaminatora

• Mylenie wykładnika 35\frac{3}{5} z 25\frac{2}{5} (przy 25\frac{2}{5} wychodzi 22=4  ⟹  12⋅4=22^2=4 \implies \frac{1}{2}\cdot 4 = 2, co dawałoby błędną opcję C!).
• Mnożenie podstawy przez wykładnik (2⋅(−1)=−22 \cdot (-1) = -2).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2024 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 4: Potęgi o wspólnej bazie 2 i wykładniki ujemne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (116)8⋅816\left(\frac{1}{16}\right)^8 \cdot 8^{16} jest równa:
A. 2242^{24}      B. 2162^{16}      C. 2122^{12}      D. 282^8

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wykładnik ujemny i potęgowanie ułamka: (1a)n=a−n  ⟹  116=16−1=(24)−1=2−4\left(\frac{1}{a}\right)^n = a^{-n} \implies \frac{1}{16} = 16^{-1} = (2^4)^{-1} = 2^{-4}
• Baza potęgi 2: 16=24,8=2316 = 2^4, \quad 8 = 2^3
• Potęgowanie potęgi: (am)n=am⋅n  ⟹  (2−4)8=2−32,(23)16=248(a^m)^n = a^{m \cdot n} \implies (2^{-4})^8 = 2^{-32}, \quad (2^3)^{16} = 2^{48}
• Mnożenie potęg o wspólnej podstawie: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

Strategia

  1. Pierwszy czynnik do bazy 2: (116)8=(2−4)8=2−4⋅8=2−32\left(\frac{1}{16}\right)^8 = (2^{-4})^8 = 2^{-4 \cdot 8} = 2^{-32}.
    2. Drugi czynnik do bazy 2: 816=(23)16=23⋅16=2488^{16} = (2^3)^{16} = 2^{3 \cdot 16} = 2^{48}.
    3. Iloczyn potęg: 2−32⋅248=2−32+48=2162^{-32} \cdot 2^{48} = 2^{-32 + 48} = 2^{16}.

Pełne obliczenia

  1. Sprowadzamy pierwszy czynnik (116)8\left(\frac{1}{16}\right)^8 do potęgi liczby 2:
       116=16−1=(24)−1=2−4\frac{1}{16} = 16^{-1} = (2^4)^{-1} = 2^{-4}
       Podnosimy do potęgi 8 stosując wzór (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}:
       (116)8=(2−4)8=2(−4)⋅8=2−32\left(\frac{1}{16}\right)^8 = (2^{-4})^8 = 2^{(-4) \cdot 8} = 2^{-32}
    2. Sprowadzamy drugi czynnik 8168^{16} do potęgi liczby 2:
       8=23  ⟹  816=(23)16=23⋅16=2488 = 2^3 \implies 8^{16} = (2^3)^{16} = 2^{3 \cdot 16} = 2^{48}
    3. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie 2 (dodajemy wykładniki):
       (116)8⋅816=2−32⋅248=2−32+48=216\left(\frac{1}{16}\right)^8 \cdot 8^{16} = 2^{-32} \cdot 2^{48} = 2^{-32 + 48} = 2^{16}
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Pominięcie minusa w potędze ułamka: błędne przyjęcie (24)8=232(2^4)^8 = 2^{32}, co dałoby 232⋅248=2802^{32} \cdot 2^{48} = 2^{80}.
• Pomylenie iloczynu 3⋅16=483 \cdot 16 = 48 lub błąd w dodawaniu wykładników: −32+48=16-32 + 48 = 16.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2018 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 5: Redukcja ilorazu potęg o wspólnej bazie 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 27⋅8345\frac{2^7 \cdot 8^3}{4^5} jest równa:
A. 262^6      B. 252^5      C. 242^4      D. 272^7

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Potęgi dwójki: 8=23,  4=228 = 2^3, \; 4 = 2^2
• Potęgowanie potęgi: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}
• Iloczyn i iloraz potęg: am⋅an=am+n,aman=am−na^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Strategia

  1. Baza 2: 83=(23)3=298^3 = (2^3)^3 = 2^9, 45=(22)5=2104^5 = (2^2)^5 = 2^{10}.
    2. Licznik: 27⋅29=27+9=2162^7 \cdot 2^9 = 2^{7+9} = 2^{16}.
    3. Iloraz: 216210=216−10=26\frac{2^{16}}{2^{10}} = 2^{16-10} = 2^6.

Pełne obliczenia

  1. Zamieniamy wszystkie podstawy na potęgi liczby 2:
       83=(23)3=23⋅3=298^3 = (2^3)^3 = 2^{3 \cdot 3} = 2^9
       45=(22)5=22⋅5=2104^5 = (2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}
    2. Upraszczamy licznik (mnożenie potęg o tej samej podstawie):
       27⋅83=27⋅29=27+9=2162^7 \cdot 8^3 = 2^7 \cdot 2^9 = 2^{7 + 9} = 2^{16}
    3. Wykonujemy dzielenie (odejmujemy wykładnik mianownika):
       216210=216−10=26\frac{2^{16}}{2^{10}} = 2^{16 - 10} = 2^6
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• Dzielenie wykładników (16:1016 : 10) zamiast ich odejmowania przy dzieleniu potęg.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2025 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 6: Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy pierwiastków

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (32−2)2(\sqrt{32} - \sqrt{2})^2 jest równa:
A. 1616      B. 1818      C. 3030      D. 3434

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka: a2b=ab  ⟹  32=16⋅2=42\sqrt{a^2 b} = a\sqrt{b} \implies \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}
• Kwadrat różnicy: (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Strategia

  1. Patent redukcji wewnątrz nawiasu (najszybszy): 32=42\sqrt{32} = 4\sqrt{2}.
    2. 42−2=324\sqrt{2} - \sqrt{2} = 3\sqrt{2}.
    3. (32)2=32⋅(2)2=9⋅2=18(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18.

Pełne obliczenia

Sposób I (Redukcja wewnątrz nawiasu – rekomendowany):
1. Wyłączamy czynnik przed znak pierwiastka z 32\sqrt{32}:
   32=16⋅2=16⋅2=42\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}
2. Wykonujemy odejmowanie w nawiasie:
   32−2=42−12=32\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 1\sqrt{2} = 3\sqrt{2}
3. Podnosimy wynik do kwadratu:
   (32)2=32⋅(2)2=9⋅2=18(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18

Sposób II (Wzór skróconego mnożenia (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2):
1. (32)2−2⋅32⋅2+(2)2(\sqrt{32})^2 - 2 \cdot \sqrt{32} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2
2. =32−264+2=32−2⋅8+2=32−16+2=18= 32 - 2\sqrt{64} + 2 = 32 - 2 \cdot 8 + 2 = 32 - 16 + 2 = 18
Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Pominięcie podwojonego iloczynu: błędne obliczenie (32)2−(2)2=32−2=30(\sqrt{32})^2 - (\sqrt{2})^2 = 32 - 2 = 30 (fałszywa opcja C!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2025 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 7: Iloczyn potęg i pierwiastków sześciennych

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 256⋅823256 \cdot \sqrt[3]{8^2} jest równa:
A. 282^8      B. 2102^{10}      C. 2162^{16}      D. 2122^{12}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Potęgi dwójki: 256=28,  8=23256 = 2^8, \; 8 = 2^3
• Własność potęg i pierwiastków: amn=amn\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}
• Iloczyn potęg: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

Strategia

  1. Baza 2: 256=28256 = 2^8.
    2. 823=(23)23=263=263=22=4\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{(2^3)^2} = \sqrt[3]{2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2 = 4.
    3. 28⋅22=28+2=2102^8 \cdot 2^2 = 2^{8+2} = 2^{10}.

Pełne obliczenia

  1. Zamieniamy liczbę 256 na potęgę dwójki:
       256=28256 = 2^8
    2. Upraszczamy drugi czynnik 823\sqrt[3]{8^2}:
       82=64  ⟹  643=4=228^2 = 64 \implies \sqrt[3]{64} = 4 = 2^2
       (lub z wykładników: (23)23=263=263=22\sqrt[3]{(2^3)^2} = \sqrt[3]{2^6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2)
    3. Mnożymy potęgi o podstawie 2:
       28⋅22=28+2=2102^8 \cdot 2^2 = 2^{8 + 2} = 2^{10}
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Mnożenie bazy przez stopień pierwiastka lub zapomnienie o wykładniku potęgi 828^2.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2023 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 8: Iloczyn pierwiastków o różnych stopniach

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej xx iloczyn x⋅x3⋅x6\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x} jest równy:

A. xx      B. x11\sqrt[11]{x}      C. x2x^2      D. x6\sqrt[6]{x}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wykładnik ułamkowy: xn=x1n\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}
• Iloczyn potęg o tej samej podstawie: xa⋅xb⋅xc=xa+b+cx^a \cdot x^b \cdot x^c = x^{a+b+c}

Strategia

  1. Wykładniki ułamkowe: x=x12,  x3=x13,  x6=x16\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \; \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}, \; \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}.
    2. Wspólny mianownik 6: 12+13+16=36+26+16=66=1\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1.
    3. x1=xx^1 = x.

Pełne obliczenia

  1. Zamieniamy każdy pierwiastek na potęgę o wykładniku ułamkowym:
       x=x12\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
       x3=x13\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}
       x6=x16\sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}
    2. Korzystamy ze wzoru na mnożenie potęg (dodajemy wykładniki):
       x⋅x3⋅x6=x12+13+16\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}
    3. Sprowadzamy ułamki w wykładniku do wspólnego mianownika 6:
       12+13+16=36+26+16=3+2+16=66=1\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2 + 1}{6} = \frac{6}{6} = 1
    4. Otrzymujemy:
       x1=xx^1 = x
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• Dodawanie stopni pierwiastków pod pierwiastkiem: 2+3+6=11  ⟹  x112 + 3 + 6 = 11 \implies \sqrt[11]{x} (błędna opcja B!). Stopnie pierwiastków to mianowniki wykładników, a nie liczby całkowite!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2017 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 9: Rozwijanie kwadratu sumy i redukcja wyrazów niewymiernych

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (3+1)2−12(\sqrt{3} + 1)^2 - \sqrt{12} jest równa:
A. 22      B. 44      C. 4−434 - 4\sqrt{3}      D. 4+434 + 4\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Kwadrat sumy: (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
• Wyłączanie czynnika przed pierwiastek: 12=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}

Strategia

  1. Wzór skróconego mnożenia: (3+1)2=(3)2+23⋅1+12=3+23+1=4+23(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}.
    2. Rozkład 12\sqrt{12}: 12=23\sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
    3. Redukcja: (4+23)−23=4(4 + 2\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = 4.

Pełne obliczenia

  1. Rozwijamy kwadrat sumy ze wzoru (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:
       (3+1)2=(3)2+2⋅3⋅1+12=3+23+1=4+23(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}
    2. Upraszczamy odjemnik 12\sqrt{12}:
       12=4⋅3=4⋅3=23\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}
    3. Odejmujemy oba wyrażenia:
       (4+23)−23=4+(23−23)=4+0=4(4 + 2\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = 4 + (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) = 4 + 0 = 4
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Zapomnienie o podwojonym iloczynie w kwadracie sumy ((3+1)2≠3+1=4(\sqrt{3}+1)^2 \ne 3 + 1 = 4).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2022 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 10: Kwadrat różnicy wyrażeń z pierwiastkiem

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (28−32)2(2\sqrt{8} - 3\sqrt{2})^2 jest równa:
A. 22      B. 11      C. 2626      D. 1414

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Upraszczanie pierwiastków: 8=4⋅2=22  ⟹  28=2⋅(22)=42\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \implies 2\sqrt{8} = 2 \cdot (2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}
• Kwadrat liczby: (a)2=a(\sqrt{a})^2 = a

Strategia

  1. Uprość wnętrze nawiasu: 28−32=42−32=22\sqrt{8} - 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = \sqrt{2}.
    2. Podnieś do kwadratu: (2)2=2(\sqrt{2})^2 = 2.

Pełne obliczenia

  1. Upraszczamy pierwszy składnik w nawiasie:
       8=4⋅2=22  ⟹  28=2⋅22=42\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \implies 2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}
    2. Redukujemy wyrazy podobne w nawiasie:
       28−32=42−32=(4−3)2=12=22\sqrt{8} - 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (4 - 3)\sqrt{2} = 1\sqrt{2} = \sqrt{2}
    3. Podnosimy uproszczony wynik do kwadratu:
       (2)2=2(\sqrt{2})^2 = 2
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• Podnoszenie do kwadratu każdego składnika osobno bez uwzględnienia wzoru skróconego mnożenia.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2021 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 11: Potęgi dziesiętne i ułamki ujemne

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 1005⋅(0,1)−4100^5 \cdot (0{,}1)^{-4} jest równa:
A. 101310^{13}      B. 101410^{14}      C. 10−110^{-1}      D. 10−3010^{-30}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Baza 10: 100=102  ⟹  1005=(102)5=102⋅5=1010100 = 10^2 \implies 100^5 = (10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10}
• Wykładnik ujemny i ułamek dziesiętny: 0,1=10−1  ⟹  (0,1)−4=(10−1)−4=10(−1)⋅(−4)=1040{,}1 = 10^{-1} \implies (0{,}1)^{-4} = (10^{-1})^{-4} = 10^{(-1) \cdot (-4)} = 10^4
• Mnożenie potęg: 1010⋅104=1010+4=101410^{10} \cdot 10^4 = 10^{10+4} = 10^{14}

Strategia

  1. Baza 10: 1005=(102)5=1010100^5 = (10^2)^5 = 10^{10}.
    2. Drugi czynnik: (0,1)−4=(10−1)−4=104(0{,}1)^{-4} = (10^{-1})^{-4} = 10^4.
    3. Iloczyn: 1010⋅104=101410^{10} \cdot 10^4 = 10^{14}.

Pełne obliczenia

  1. Zapisujemy liczbę 100 jako potęgę 10:
       100=102  ⟹  1005=(102)5=102⋅5=1010100 = 10^2 \implies 100^5 = (10^2)^5 = 10^{2 \cdot 5} = 10^{10}
    2. Zapisujemy ułamek dziesiętny 0,1 jako potęgę 10:
       0,1=10−1  ⟹  (0,1)−4=(10−1)−4=10(−1)⋅(−4)=1040{,}1 = 10^{-1} \implies (0{,}1)^{-4} = (10^{-1})^{-4} = 10^{(-1) \cdot (-4)} = 10^4
    3. Mnożymy potęgi o podstawie 10 (dodajemy wykładniki):
       1010⋅104=1010+4=101410^{10} \cdot 10^4 = 10^{10 + 4} = 10^{14}
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Błąd znaku w wykładniku: (−1)⋅(−4)=+4(-1) \cdot (-4) = +4, a nie −4-4. Przy pomyłce na −4-4 uczeń otrzymałby 1010⋅10−4=10610^{10} \cdot 10^{-4} = 10^6.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2018 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 12: Porównywanie potęg o wykładnikach niewymiernych

Dane są liczby: a=48a = 4^{\sqrt{8}}, b=252b = 2^{5\sqrt{2}}, c=162c = 16^{\sqrt{2}}, d=2112d = 2^{\frac{11}{\sqrt{2}}}.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Prawdziwa jest zależność:
A. a=c<b<da = c < b < d      B. a<b<c<da < b < c < d      C. c<a<b<dc < a < b < d      D. b<a=c<db < a = c < d

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Sprowadzanie do wspólnej bazy 2: 4=22,  16=24,  (am)n=am⋅n4 = 2^2, \; 16 = 2^4, \; (a^m)^n = a^{m \cdot n}
• Monotoniczność funkcji wykładniczej: dla bazy >1> 1 funkcja jest rosnąca: x1<x2  ⟺  2x1<2x2x_1 < x_2 \iff 2^{x_1} < 2^{x_2}

Strategia

  1. Wszystkie liczby do bazy 2:
      • a=(22)8=(22)22=242a = (2^2)^{\sqrt{8}} = (2^2)^{2\sqrt{2}} = 2^{4\sqrt{2}}
      • b=252b = 2^{5\sqrt{2}}
      • c=(24)2=242c = (2^4)^{\sqrt{2}} = 2^{4\sqrt{2}}
      • d=2112=21122=25,52d = 2^{\frac{11}{\sqrt{2}}} = 2^{\frac{11\sqrt{2}}{2}} = 2^{5{,}5\sqrt{2}}
    2. Porównanie wykładników: 42=42<52<5,52  ⟹  a=c<b<d4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} < 5\sqrt{2} < 5{,}5\sqrt{2} \implies a = c < b < d.

Pełne obliczenia

  1. Sprowadzamy liczbę aa do podstawy 2:
       8=4⋅2=22  ⟹  a=48=(22)22=22⋅22=242\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \implies a = 4^{\sqrt{8}} = (2^2)^{2\sqrt{2}} = 2^{2 \cdot 2\sqrt{2}} = 2^{4\sqrt{2}}
    2. Liczba bb jest już w podstawie 2:
       b=252b = 2^{5\sqrt{2}}
    3. Sprowadzamy liczbę cc do podstawy 2:
       c=162=(24)2=242c = 16^{\sqrt{2}} = (2^4)^{\sqrt{2}} = 2^{4\sqrt{2}}
       Zauważmy od razu, że a=c=242a = c = 2^{4\sqrt{2}}.
    4. Sprowadzamy liczbę dd do prostszej postaci (usuwamy niewymierność z mianownika):
       112=11⋅22⋅2=1122=5,52  ⟹  d=25,52\frac{11}{\sqrt{2}} = \frac{11 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2}}{2} = 5{,}5\sqrt{2} \implies d = 2^{5{,}5\sqrt{2}}
    5. Porównujemy wykładniki przy wspólnej podstawie 2 (funkcja f(t)=2tf(t) = 2^t jest rosnąca):
       42<52<5,52  ⟹  a=c<b<d4\sqrt{2} < 5\sqrt{2} < 5{,}5\sqrt{2} \implies a = c < b < d
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• Błędne usuwanie niewymierności w mianowniku liczby dd: 112=5,52\frac{11}{\sqrt{2}} = 5{,}5\sqrt{2}.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2017 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 13: Zwijanie podwójnych pierwiastków i tożsamości kwadratowe

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (2−3−2+3)2(\sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 jest równa:
A. 22      B. 44      C. 3\sqrt{3}      D. 232\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Kwadrat różnicy: (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Iloczyn pierwiastków i różnica kwadratów: x⋅y=x⋅y  ⟹  (2−3)(2+3)=22−(3)2=4−3=1\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y} \implies (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1

Strategia

  1. Wzór (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:
      • a2=(2−3)2=2−3a^2 = (\sqrt{2-\sqrt{3}})^2 = 2-\sqrt{3}
      • b2=(2+3)2=2+3b^2 = (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 = 2+\sqrt{3}
      • a2+b2=2−3+2+3=4a^2 + b^2 = 2 - \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 4
      • 2ab=2(2−3)(2+3)=24−3=21=22ab = 2\sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = 2\sqrt{4-3} = 2\sqrt{1} = 2
    2. 4−2=24 - 2 = 2.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, gdzie a=2−3a = \sqrt{2 - \sqrt{3}} oraz b=2+3b = \sqrt{2 + \sqrt{3}}:
       (2−3)2−2⋅2−3⋅2+3+(2+3)2(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2 - 2 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2
    2. Obliczamy sumę kwadratów a2+b2a^2 + b^2:
       (2−3)2+(2+3)2=(2−3)+(2+3)=4(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2 + (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4
    3. Obliczamy podwojony iloczyn 2ab2ab ze wzoru na różnicę kwadratów pod pierwiastkiem:
       2⋅(2−3)(2+3)=2⋅22−(3)2=2⋅4−3=2⋅1=2⋅1=22 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = 2 \cdot \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = 2 \cdot \sqrt{4 - 3} = 2 \cdot \sqrt{1} = 2 \cdot 1 = 2
    4. Odejmujemy podwojony iloczyn od sumy kwadratów:
       (a2+b2)−2ab=4−2=2(a^2 + b^2) - 2ab = 4 - 2 = 2
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• Zgubienie podwojonego iloczynu 2ab2ab lub pomyłka w znaku różnicy kwadratów pod pierwiastkiem.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2026 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 14: Tożsamości potęgowo-wykładnicze i podstawa 16 jako 4^2

Dana jest liczba rzeczywista aa:
a=1612log⁡436−2log⁡43a = 16^{\frac{1}{2}\log_4 36 - 2\log_4 3}
Oblicz wartość liczby aa. Zapisz obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Potęgowanie potęgi: (am)n=am⋅n  ⟹  16=42(a^m)^n = a^{m \cdot n} \implies 16 = 4^2
• Wciąganie współczynnika do potęgi liczby logarytmowanej: r⋅log⁡ax=log⁡a(xr)r \cdot \log_a x = \log_a(x^r)
• Różnica logarytmów o wspólnej podstawie: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)
• Główna tożsamość potęgowo-logarytmiczna: alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b (dla a>0,a≠1,b>0a > 0, a \ne 1, b > 0)

Strategia

Sposób I (Oficjalny klucz CKE – metoda naturalna z uproszczeniem współczynnika):
1. Zamień podstawę potęgi: 16=4216 = 4^2.
2. Wymnóż wykładnik przez 2: 2⋅(12log⁡436−2log⁡43)=(2⋅12)log⁡436−(2⋅2)log⁡43=log⁡436−4log⁡432 \cdot \left(\frac{1}{2}\log_4 36 - 2\log_4 3\right) = \left(2 \cdot \frac{1}{2}\right)\log_4 36 - (2 \cdot 2)\log_4 3 = \log_4 36 - 4\log_4 3.
   Zauważ: 2⋅12=12 \cdot \frac{1}{2} = 1 – ułamek 12\frac{1}{2} bezpośrednio upraszcza się do 1!
3. Wciągnij 4 do potęgi trójki: 4log⁡43=log⁡4(34)=log⁡4814\log_4 3 = \log_4(3^4) = \log_4 81.
4. Różnica logarytmów: log⁡436−log⁡481=log⁡4(3681)\log_4 36 - \log_4 81 = \log_4\left(\frac{36}{81}\right).
5. Tożsamość potęgowa: 4log⁡4(3681)=3681=494^{\log_4\left(\frac{36}{81}\right)} = \frac{36}{81} = \frac{4}{9}.

Pełne obliczenia

Sposób I (Oficjalny schemat punktowania CKE – bezpośrednie uproszczenie 12\frac{1}{2} z wykładnikiem potęgi 424^2):
1. Zapisujemy podstawę potęgi 16 jako potęgę czwórki:
   16=4216 = 4^2
2. Wstawiamy do wyrażenia i stosujemy prawo potęgowania potęgi (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}:
   a=1612log⁡436−2log⁡43=(42)12log⁡436−2log⁡43=42⋅(12log⁡436−2log⁡43)a = 16^{\frac{1}{2}\log_4 36 - 2\log_4 3} = (4^2)^{\frac{1}{2}\log_4 36 - 2\log_4 3} = 4^{2 \cdot \left(\frac{1}{2}\log_4 36 - 2\log_4 3\right)}
3. Wymnażamy nawias przez 2 (zauważ kluczowe uproszczenie: 2⋅12=12 \cdot \frac{1}{2} = 1 – ułamek 12\frac{1}{2} upraszcza się do 1, nie trzeba liczyć pierwiastków!):
   2⋅12log⁡436−2⋅2log⁡43=1⋅log⁡436−4log⁡43=log⁡436−4log⁡432 \cdot \frac{1}{2}\log_4 36 - 2 \cdot 2\log_4 3 = 1 \cdot \log_4 36 - 4\log_4 3 = \log_4 36 - 4\log_4 3
4. Wciągamy liczbę 4 do wykładnika liczby logarytmowanej:
   4log⁡43=log⁡4(34)=log⁡4814\log_4 3 = \log_4(3^4) = \log_4 81
5. Stosujemy wzór na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
   log⁡436−log⁡481=log⁡4(3681)\log_4 36 - \log_4 81 = \log_4\left(\frac{36}{81}\right)
6. Korzystamy z tożsamości 4log⁡4x=x4^{\log_4 x} = x i skracamy ułamek przez 9:
   a=4log⁡4(3681)=3681=49a = 4^{\log_4\left(\frac{36}{81}\right)} = \frac{36}{81} = \frac{4}{9}

Sposób II (Alternatywny – uproszczenie wykładnika krok po kroku bez przeskoków):
1. Wciągamy współczynniki w każdym składniku wykładnika:
   12log⁡436=log⁡4(3612)=log⁡436=log⁡46\frac{1}{2}\log_4 36 = \log_4(36^{\frac{1}{2}}) = \log_4 \sqrt{36} = \log_4 6
   2log⁡43=log⁡4(32)=log⁡492\log_4 3 = \log_4(3^2) = \log_4 9
2. Stosujemy wzór na różnicę logarytmów:
   log⁡46−log⁡49=log⁡4(69)=log⁡4(23)\log_4 6 - \log_4 9 = \log_4\left(\frac{6}{9}\right) = \log_4\left(\frac{2}{3}\right)
3. Podstawiamy wykładnik do potęgi 16=4216 = 4^2:
   a=16log⁡4(23)=(42)log⁡4(23)=42log⁡4(23)=4log⁡4((23)2)=(23)2=49a = 16^{\log_4\left(\frac{2}{3}\right)} = (4^2)^{\log_4\left(\frac{2}{3}\right)} = 4^{2\log_4\left(\frac{2}{3}\right)} = 4^{\log_4\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
Odpowiedź: a=49a = \frac{4}{9}

Pułapka egzaminatora

• Zapomnienie o pomnożeniu drugiego składnika przez 2 przy zamianie bazy na 424^2 (np. zapisanie −2log⁡43-2\log_4 3 zamiast −4log⁡43-4\log_4 3).
• Podanie wyniku a=23a = \frac{2}{3} zamiast 49\frac{4}{9} (zapomnienie o podniesieniu ułamka do kwadratu).
• Pomijanie kroków pośrednich (np. przeskok z 12log⁡436\frac{1}{2}\log_4 36 bezpośrednio do log⁡46\log_4 6 bez zapisu log⁡436\log_4 \sqrt{36}).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2021 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 15: Tożsamość Sophie Germain – rozkład sumy czwartych potęg

Wielomian W(x)=x4+81W(x) = x^4 + 81 jest podzielny przez:
A. x−3x - 3      B. x2+9x^2 + 9      C. x2−32x+9x^2 - 3\sqrt{2}x + 9      D. x2+32x−9x^2 + 3\sqrt{2}x - 9

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Tożsamość Sophie Germain: a4+4b4=(a2+2b2)2−(2ab)2a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2
• Różnica kwadratów: A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)

Strategia

  1. Trik dopełnienia: x4+81=(x2)2+92=(x2+9)2−2⋅x2⋅9=(x2+9)2−18x2x^4 + 81 = (x^2)^2 + 9^2 = (x^2 + 9)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 = (x^2 + 9)^2 - 18x^2.
    2. Różnica kwadratów: 18x2=(18x)2=(32x)218x^2 = (\sqrt{18}x)^2 = (3\sqrt{2}x)^2.
    3. Rozkład na czynniki: (x2+9−32x)(x2+9+32x)(x^2 + 9 - 3\sqrt{2}x)(x^2 + 9 + 3\sqrt{2}x).

Pełne obliczenia

  1. Zapisujemy wielomian jako sumę kwadratów:
       x4+81=(x2)2+92x^4 + 81 = (x^2)^2 + 9^2
    2. Dopełniamy do pełnego kwadratu sumy, dodając i odejmując podwojony iloczyn 2⋅x2⋅9=18x22 \cdot x^2 \cdot 9 = 18x^2:
       x4+81=(x2)2+2⋅x2⋅9+92−18x2=(x2+9)2−18x2x^4 + 81 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 - 18x^2 = (x^2 + 9)^2 - 18x^2
    3. Składnik 18x218x^2 przedstawiamy jako kwadrat jednomianu:
       18=9⋅2  ⟹  18=32  ⟹  18x2=(32x)218 = 9 \cdot 2 \implies \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \implies 18x^2 = (3\sqrt{2}x)^2
    4. Stosujemy wzór na różnicę kwadratów A2−B2=(A−B)(A+B)A^2 - B^2 = (A - B)(A + B):
       (x2+9)2−(32x)2=(x2+9−32x)(x2+9+32x)(x^2 + 9)^2 - (3\sqrt{2}x)^2 = (x^2 + 9 - 3\sqrt{2}x)(x^2 + 9 + 3\sqrt{2}x)
    5. Porządkujemy wyrazy w nawiasach stopniami zmiennej:
       W(x)=(x2−32x+9)(x2+32x+9)W(x) = (x^2 - 3\sqrt{2}x + 9)(x^2 + 3\sqrt{2}x + 9)
       Pierwszy czynnik odpowiada opcji C.
    Poprawna odpowiedź: C

Pułapka egzaminatora

• Mylenie x4+81x^4 + 81 z (x2+9)(x2−9)(x^2+9)(x^2-9) (suma kwadratów nie rozkłada się w R\mathbb{R} w sposób trywialny!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2025 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 16: Modelowanie wykładnicze w zadaniach praktycznych

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność NN zmienia się zgodnie z zależnością:
N(t)=N0⋅kt(t≥0)N(t) = N_0 \cdot k^t \quad (t \ge 0)
Dla t=0t = 0 liczebność wynosiła 10 00010\,000, a po 22 godzinach 15 62515\,625. Oblicz, o ile procent wzrasta liczebność populacji w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Model wykładniczy: N(t)=N0⋅ktN(t) = N_0 \cdot k^t
• Iloraz przyrostu godzinowego: N(t+1)N(t)=k\frac{N(t+1)}{N(t)} = k
• Względny przyrost procentowy: p=(k−1)⋅100%p = (k - 1) \cdot 100\%

Strategia

  1. Dla t=0t = 0: N(0)=N0⋅k0=N0=10 000N(0) = N_0 \cdot k^0 = N_0 = 10\,000.
    2. Dla t=2t = 2: 10 000⋅k2=15 625  ⟹  k2=15 62510 000=1,5625  ⟹  k=1,2510\,000 \cdot k^2 = 15\,625 \implies k^2 = \frac{15\,625}{10\,000} = 1{,}5625 \implies k = 1{,}25.
    3. Wzrost co godzinę: (1,25−1)⋅100%=25%(1{,}25 - 1) \cdot 100\% = 25\%.

Pełne obliczenia

  1. Wyznaczamy wartość początkową N0N_0 podstawiając t=0t = 0:
       N(0)=N0⋅k0=N0⋅1=N0  ⟹  N0=10 000N(0) = N_0 \cdot k^0 = N_0 \cdot 1 = N_0 \implies N_0 = 10\,000
    2. Korzystamy z danych dla t=2t = 2 godziny:
       N(2)=10 000⋅k2=15 625N(2) = 10\,000 \cdot k^2 = 15\,625
    3. Wyznaczamy stałą wzrostu kk:
       k2=15 62510 000=1,5625k^2 = \frac{15\,625}{10\,000} = 1{,}5625
       Ponieważ liczebność i czas są dodatnie (k>0k > 0):
       k=1,5625=1,25k = \sqrt{1{,}5625} = 1{,}25
    4. Obliczamy procentowy przyrost w ciągu każdej godziny:
       Liczebność po godzinie wynosi N(1)=1,25N0N(1) = 1{,}25 N_0, co stanowi 125%125\% stanu wyjściowego.
       Względny przyrost procentowy wynosi:
       (k−1)⋅100%=(1,25−1)⋅100%=0,25⋅100%=25%(k - 1) \cdot 100\% = (1{,}25 - 1) \cdot 100\% = 0{,}25 \cdot 100\% = 25\%
    Odpowiedź: Liczebność populacji wzrasta o 25% w ciągu każdej godziny.

Pułapka egzaminatora

• Podanie 125% zamiast przyrostu 25% (125% to stan populacji po godzinie, a przyrost to różnica: 125%−100%=25%125\% - 100\% = 25\%).
• Przyjęcie błędnego modelu liniowego zamiast wykładniczego.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 01: Potęgi, Pierwiastki & Szacowanie

16 autentycznych zadań CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 18 pkt

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 20 zadań🏆 31 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 31 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Mnożniki i procenty

Cnowa=(1±p)⋅CC_{\text{nowa}} = (1 \pm p) \cdot C · Dwie obniżki: C(1−p1)(1−p2)C(1-p_1)(1-p_2) · Netto/Brutto: Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}

Baza odniesienia i punkty procentowe

Zmiana względna: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A-B|}{B} \cdot 100\% · Punkty procentowe: Δp=p2−p1 p.p.\Delta p = p_2 - p_1\text{ p.p.} · Wzrost relatywny: Δpp1⋅100%\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%

Kapitalizacja i błędy szacowania

Kn=K0(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m} · Błąd bezwzględny: ∣x−x0∣|x - x_0| · Błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Sprowadzanie do bazy 2 lub 3

Zawsze zamieniaj 4,8,16,32,64,128,2564, 8, 16, 32, 64, 128, 256 na 2k2^k, a 9,27,819, 27, 81 na 3k3^k.

2. Redukcja wewnątrz nawiasu

Zanim podniesiesz (32−2)2(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 do kwadratu, uprość środek do 323\sqrt{2}!

3. Tożsamość Sophie Germain

x4+81=(x2+9)2−18x2=(x2+9)2−(32x)2x^4 + 81 = (x^2+9)^2 - 18x^2 = (x^2+9)^2 - (3\sqrt{2}x)^2.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

2−1=122^{-1} = \frac{1}{2}, a NIE −2-2 (minus w wykładniku obraca liczbę do mianownika!).

02

−64\sqrt{-64} nie istnieje w R\mathbb{R}, ale stopień nieparzysty −643=−4\sqrt[3]{-64} = -4 istnieje i daje −4-4!

03

a+b≠a+b\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} (nigdy nie wolno rozbijać pierwiastka sumy!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie1234567891011121314151617181920
Maks. pkt11111111121111223333
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 21 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2024 r. (Próbna), Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N1: Iloczyn pierwiastka i ułamka podniesiony do ujemnej potęgi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (55⋅15)−5\left(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\right)^{-5} jest równa:
A. 5−45^{-4}      B. 545^4      C. 565^6      D. 5−65^{-6}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2023 r. (Próbna), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N2: Działania na potęgach z wykładnikami dziesiętnymi i ułamkowymi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (3−2,4⋅325)12\left(3^{-2{,}4} \cdot 3^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{2}} jest równa:
A. 3\sqrt{3}      B. 33\frac{\sqrt{3}}{3}      C. 13\frac{1}{3}      D. 0,30{,}3

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2022 r. (Próbna), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N3: Iloczyn potęg o tej samej podstawie i redukcja ułamka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (5⋅512)13\left(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} jest równa:
A. 56\sqrt[6]{5}      B. 253\sqrt[3]{25}      C. 5\sqrt{5}      D. 53\sqrt[3]{5}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2022 r. (Poprawkowa), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N4: Iloraz potęg o podstawach sprowadzalnych do bazy 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 8−40210\frac{8^{-40}}{2^{10}} jest równa:
A. 4−44^{-4}      B. 4−504^{-50}      C. 2−472^{-47}      D. 2−1302^{-130}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2022 r. (Poprawkowa), Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N5: Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy liczby i pierwiastka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (5−23)2(5 - 2\sqrt{3})^2 jest równa:
A. 25+4325 + 4\sqrt{3}      B. 25−4325 - 4\sqrt{3}      C. 37+20337 + 20\sqrt{3}      D. 37−20337 - 20\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Marzec 2021 r. (Próbna), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N6: Rozwijanie kwadratu różnicy pierwiastków i redukcja

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (6−2)2−23(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 - 2\sqrt{3} jest równa:
A. 8−638 - 6\sqrt{3}      B. 8−238 - 2\sqrt{3}      C. 4−234 - 2\sqrt{3}      D. 8−438 - 4\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2021 r. (Poprawkowa), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N7: Mnożenie potęg o podstawie 3 i ujemnym wykładniku

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 9−10⋅3199^{-10} \cdot 3^{19} jest równa:
A. 27927^9      B. 9−29^{-2}      C. 3103^{10}      D. 3−13^{-1}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N8: Zwijanie trójmianu kwadratowego i wstawianie liczby niewymiernej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia x2−6x+9x^2 - 6x + 9 dla x=3+3x = \sqrt{3} + 3 jest równa:
A. 11      B. 33      C. 1+231 + 2\sqrt{3}      D. 1−231 - 2\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N9: Iloraz potęg o podstawach złożonych (36 na 2^2 * 3^2)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 250⋅3403610\frac{2^{50} \cdot 3^{40}}{36^{10}} jest równa:
A. 6706^{70}      B. 6456^{45}      C. 230⋅3202^{30} \cdot 3^{20}      D. 210⋅3202^{10} \cdot 3^{20}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Średnio-trudne (5/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2024 r. (Próbna), Zadanie 3 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N10: Dowód podzielności sumy potęg o wspólnej bazie 2

Wykaż, że liczba 2100+449+16242^{100} + 4^{49} + 16^{24} jest podzielna przez 2121. Zapisz obliczenia i uzasadnienie.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N11: Różnica kwadratów sumy i różnicy podniesiona do sześcianu

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia [(3−1)2−(3+1)2]3\left[(\sqrt{3} - 1)^2 - (\sqrt{3} + 1)^2\right]^3 jest równa:
A. 512512      B. 00      C. −243-24\sqrt{3}      D. −1923-192\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2018 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N12: Zwijanie kwadratu pod pierwiastkiem w wartość bezwzględną sqrt(a^2) = |a|

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (1−2)2+(2−2)2\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} jest równa:
A. 11      B. −1-1      C. 3−223 - 2\sqrt{2}      D. 22+12\sqrt{2} + 1

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2016 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N13: Współczynniki rozwinięcia sześcianu sumy (wzór dwumianowy)

W rozwinięciu wyrażenia (23x+4y)3(2\sqrt{3}x + 4y)^3 współczynnik przy iloczynie xy2xy^2 jest równy:
A. 96396\sqrt{3}      B. 48348\sqrt{3}      C. 144144      D. 288288

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2015 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N14: Usuwanie niewymierności z mianownika trzeciego stopnia

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 233−1\frac{2}{\sqrt[3]{3} - 1} jest równa:
A. 93+33+1\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1      B. 93−33+1\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1      C. 93+12\frac{\sqrt[3]{9} + 1}{2}      D. 33+1\sqrt[3]{3} + 1

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Grudzień 2024 r. (Próbna), Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N15: Modelowanie wykładnicze rozładowania kondensatora

Ładunek elektryczny Q(t)Q(t) zgromadzony w kondensatorze podczas rozładowywania zmienia się zgodnie z zależnością:
Q(t)=Q0⋅2−λt(t≥0)Q(t) = Q_0 \cdot 2^{-\lambda t} \quad (t \ge 0)
Dla t=0t = 0 ładunek wynosił 80 μC80\,\mu\text{C}, a po 44 sekundach 5 μC5\,\mu\text{C}. Oblicz wartość współczynnika λ\lambda oraz ładunek zgromadzony w kondensatorze po 22 sekundach. Zapisz obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2023 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N16: Dowód nierówności z sumą odwrotności dla liczb dodatnich

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich aa i bb prawdziwa jest nierówność:
(a+b)(1a+1b)≥4(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16
Zadanie 17
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2020 r. (Próbna), Zadanie 8 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N17: Zwijanie wielomianu 8. stopnia w sumę kwadratów

Wykaż, że równanie x8+x2=2(x4+x−1)x^8 + x^2 = 2(x^4 + x - 1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste. Zapisz obliczenia i uzasadnienie.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 17
Zadanie 18
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2019 r., Zadanie 8 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N18: Dowód nierówności ułamkowej dla liczb dodatnich x < y

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych xx i yy, takich że x<yx < y, prawdziwa jest nierówność:
xy<x+1y+1\frac{x}{y} < \frac{x+1}{y+1}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 18
Zadanie 19
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 8 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N19: Klasyczna nierówność sumy kwadratów a^2 + b^2 + 1 >= a + b + ab

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,ba, b zachodzi nierówność:
a2+b2+1≥a+b+aba^2 + b^2 + 1 \ge a + b + ab

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 19
Zadanie 20
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Lipiec 2020 r., Zadanie 8 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N20: Teoria liczb – dowód podzielności wielomianu 4. stopnia przez 4

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nn liczba n4−2n3+n2n^4 - 2n^3 + n^2 jest podzielna przez 44. Zapisz uzasadnienie.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 20

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 01: Potęgi, Pierwiastki & Szacowanie

16 autentycznych zadań CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 18 pkt

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 20 zadań🏆 31 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 31 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Mnożniki i procenty

Cnowa=(1±p)⋅CC_{\text{nowa}} = (1 \pm p) \cdot C · Dwie obniżki: C(1−p1)(1−p2)C(1-p_1)(1-p_2) · Netto/Brutto: Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}

Baza odniesienia i punkty procentowe

Zmiana względna: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A-B|}{B} \cdot 100\% · Punkty procentowe: Δp=p2−p1 p.p.\Delta p = p_2 - p_1\text{ p.p.} · Wzrost relatywny: Δpp1⋅100%\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%

Kapitalizacja i błędy szacowania

Kn=K0(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m} · Błąd bezwzględny: ∣x−x0∣|x - x_0| · Błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Sprowadzanie do bazy 2 lub 3

Zawsze zamieniaj 4,8,16,32,64,128,2564, 8, 16, 32, 64, 128, 256 na 2k2^k, a 9,27,819, 27, 81 na 3k3^k.

2. Redukcja wewnątrz nawiasu

Zanim podniesiesz (32−2)2(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 do kwadratu, uprość środek do 323\sqrt{2}!

3. Tożsamość Sophie Germain

x4+81=(x2+9)2−18x2=(x2+9)2−(32x)2x^4 + 81 = (x^2+9)^2 - 18x^2 = (x^2+9)^2 - (3\sqrt{2}x)^2.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

2−1=122^{-1} = \frac{1}{2}, a NIE −2-2 (minus w wykładniku obraca liczbę do mianownika!).

02

−64\sqrt{-64} nie istnieje w R\mathbb{R}, ale stopień nieparzysty −643=−4\sqrt[3]{-64} = -4 istnieje i daje −4-4!

03

a+b≠a+b\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} (nigdy nie wolno rozbijać pierwiastka sumy!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie1234567891011121314151617181920
Maks. pkt11111111121111223333
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 21 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2024 r. (Próbna), Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N1: Iloczyn pierwiastka i ułamka podniesiony do ujemnej potęgi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (55⋅15)−5\left(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\right)^{-5} jest równa:
A. 5−45^{-4}      B. 545^4      C. 565^6      D. 5−65^{-6}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wykładnik ułamkowy: an=a1n  ⟹  55=515\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} \implies \sqrt[5]{5} = 5^{\frac{1}{5}}
• Wykładnik ujemny: 1a=a−1  ⟹  15=5−1\frac{1}{a} = a^{-1} \implies \frac{1}{5} = 5^{-1}
• Iloczyn potęg: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}
• Potęgowanie potęgi: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Strategia

  1. Zamień oba czynniki w nawiasie na potęgi bazy 5.
    2. Dodaj wykładniki: 15+(−1)=−45\frac{1}{5} + (-1) = -\frac{4}{5}.
    3. Pomnóż przez zewnętrzny wykładnik −5-5: (−45)⋅(−5)=4\left(-\frac{4}{5}\right) \cdot (-5) = 4.

Pełne obliczenia

  1. Zapisujemy składniki wewnątrz nawiasu jako potęgi liczby 5:
       55=515,15=5−1\sqrt[5]{5} = 5^{\frac{1}{5}}, \quad \frac{1}{5} = 5^{-1}
    2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie w nawiasie:
       515⋅5−1=515−1=5−455^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{-1} = 5^{\frac{1}{5} - 1} = 5^{-\frac{4}{5}}
    3. Podnosimy wynik do potęgi −5-5 stosując wzór (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}:
       (5−45)−5=5(−45)⋅(−5)=5+4\left(5^{-\frac{4}{5}}\right)^{-5} = 5^{\left(-\frac{4}{5}\right) \cdot (-5)} = 5^{+4}
    Poprawna odpowiedź: B (545^4)

Pułapka egzaminatora

• Pomyłka ze znakiem: (−45)⋅(−5)=+4(-\frac{4}{5}) \cdot (-5) = +4, a nie −4-4 (iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2023 r. (Próbna), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N2: Działania na potęgach z wykładnikami dziesiętnymi i ułamkowymi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (3−2,4⋅325)12\left(3^{-2{,}4} \cdot 3^{\frac{2}{5}}\right)^{\frac{1}{2}} jest równa:
A. 3\sqrt{3}      B. 33\frac{\sqrt{3}}{3}      C. 13\frac{1}{3}      D. 0,30{,}3

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Ułamek zwykły na dziesiętny: 25=0,4\frac{2}{5} = 0{,}4
• Mnożenie potęg: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}
• Potęgowanie potęgi: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}
• Wykładnik ujemny: a−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}

Strategia

  1. Zamień ułamek zwykły 25\frac{2}{5} na postać dziesiętną 0,40{,}4.
    2. Oblicz wykładnik w nawiasie: −2,4+0,4=−2-2{,}4 + 0{,}4 = -2.
    3. Pomnóż przez zewnętrzny wykładnik 12\frac{1}{2}: −2⋅12=−1-2 \cdot \frac{1}{2} = -1.
    4. 3−1=133^{-1} = \frac{1}{3}.

Pełne obliczenia

  1. Zamieniamy ułamek 25\frac{2}{5} na ułamek dziesiętny:
       25=0,4\frac{2}{5} = 0{,}4
    2. Mnożymy potęgi wewnątrz nawiasu (dodajemy wykładniki):
       3−2,4⋅30,4=3−2,4+0,4=3−23^{-2{,}4} \cdot 3^{0{,}4} = 3^{-2{,}4 + 0{,}4} = 3^{-2}
    3. Podnosimy do zewnętrznej potęgi 12\frac{1}{2}:
       (3−2)12=3(−2)⋅12=3−1\left(3^{-2}\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{(-2) \cdot \frac{1}{2}} = 3^{-1}
    4. Obliczamy wartość potęgi o wykładniku ujemnym:
       3−1=133^{-1} = \frac{1}{3}
    Poprawna odpowiedź: C (13\frac{1}{3})

Pułapka egzaminatora

• Zaznaczenie 0,30{,}3 (mylenie ułamka zwykłego 13≈0,333...\frac{1}{3} \approx 0{,}333... ze skończonym 0,30{,}3).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2022 r. (Próbna), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N3: Iloczyn potęg o tej samej podstawie i redukcja ułamka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (5⋅512)13\left(5 \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} jest równa:
A. 56\sqrt[6]{5}      B. 253\sqrt[3]{25}      C. 5\sqrt{5}      D. 53\sqrt[3]{5}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Potęga liczby 5: 5=515 = 5^1
• Mnożenie potęg: 51⋅512=51+12=5325^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}
• Potęgowanie potęgi: (532)13=532⋅13=512=5(5^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}

Strategia

  1. Zapisz pierwszy czynnik jako 515^1.
    2. Dodaj wykładniki w nawiasie: 1+12=321 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
    3. Wymnóż wykładniki: 32⋅13=12\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}.
    4. 512=55^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}.

Pełne obliczenia

  1. Zapisujemy wyrażenie w nawiasie jako potęgę o podstawie 5:
       5⋅512=51⋅512=51+12=5325 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}
    2. Stosujemy wzór na potęgowanie potęgi (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}:
       (532)13=532⋅13=512\left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{2}}
    3. Zamieniamy potęgę o wykładniku 12\frac{1}{2} na pierwiastek kwadratowy:
       512=55^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}
    Poprawna odpowiedź: C (5\sqrt{5})

Pułapka egzaminatora

• Pominięcie potęgi 515^1 i policzenie (512)13=516=56(5^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{5} (błędna opcja A!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2022 r. (Poprawkowa), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N4: Iloraz potęg o podstawach sprowadzalnych do bazy 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 8−40210\frac{8^{-40}}{2^{10}} jest równa:
A. 4−44^{-4}      B. 4−504^{-50}      C. 2−472^{-47}      D. 2−1302^{-130}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Baza dwójki: 8=23  ⟹  8−40=(23)−40=23⋅(−40)=2−1208 = 2^3 \implies 8^{-40} = (2^3)^{-40} = 2^{3 \cdot (-40)} = 2^{-120}
• Iloraz potęg o tej samej podstawie: aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Strategia

  1. Zamień licznik na potęgę liczby 2: 8−40=(23)−40=2−1208^{-40} = (2^3)^{-40} = 2^{-120}.
    2. Odejmij wykładnik mianownika: −120−10=−130-120 - 10 = -130.

Pełne obliczenia

  1. Sprowadzamy podstawę licznika do liczby 2:
       8−40=(23)−40=23⋅(−40)=2−1208^{-40} = (2^3)^{-40} = 2^{3 \cdot (-40)} = 2^{-120}
    2. Dzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki):
       8−40210=2−120210=2−120−10=2−130\frac{8^{-40}}{2^{10}} = \frac{2^{-120}}{2^{10}} = 2^{-120 - 10} = 2^{-130}
    Poprawna odpowiedź: D (2−1302^{-130})

Pułapka egzaminatora

• Dzielenie wykładników: −40:10=−4-40 : 10 = -4 i dzielenie podstaw 8:2=4  ⟹  4−48 : 2 = 4 \implies 4^{-4} (szkolny błąd dający opcję A!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2022 r. (Poprawkowa), Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N5: Wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy liczby i pierwiastka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (5−23)2(5 - 2\sqrt{3})^2 jest równa:
A. 25+4325 + 4\sqrt{3}      B. 25−4325 - 4\sqrt{3}      C. 37+20337 + 20\sqrt{3}      D. 37−20337 - 20\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Kwadrat różnicy: (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Kwadrat iloczynu z pierwiastkiem: (23)2=22⋅(3)2=4⋅3=12(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12

Strategia

  1. Zastosuj (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 dla a=5,b=23a = 5, b = 2\sqrt{3}.
    2. Oblicz poszczególne człony: 52=255^2 = 25, 2⋅5⋅23=2032 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3} = 20\sqrt{3}, (23)2=12(2\sqrt{3})^2 = 12.
    3. Dodaj wyrazy wolne: 25+12=3725 + 12 = 37.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2:
       (5−23)2=52−2⋅5⋅(23)+(23)2(5 - 2\sqrt{3})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot (2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2
    2. Wykonujemy potęgowanie i mnożenie składników:
       52=255^2 = 25
       2⋅5⋅23=2032 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{3} = 20\sqrt{3}
       (23)2=22⋅(3)2=4⋅3=12(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12
    3. Redukujemy wyrazy podobne:
       25−203+12=(25+12)−203=37−20325 - 20\sqrt{3} + 12 = (25 + 12) - 20\sqrt{3} = 37 - 20\sqrt{3}
    Poprawna odpowiedź: D (37−20337 - 20\sqrt{3})

Pułapka egzaminatora

• Pominięcie podwojonego iloczynu: błędne 52−(23)2=25−12=135^2 - (2\sqrt{3})^2 = 25 - 12 = 13.
• Błąd w znaku podwojonego iloczynu: zaznaczenie opcji C (37+20337 + 20\sqrt{3}).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Marzec 2021 r. (Próbna), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N6: Rozwijanie kwadratu różnicy pierwiastków i redukcja

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (6−2)2−23(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 - 2\sqrt{3} jest równa:
A. 8−638 - 6\sqrt{3}      B. 8−238 - 2\sqrt{3}      C. 4−234 - 2\sqrt{3}      D. 8−438 - 4\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Kwadrat różnicy: (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
• Mnożenie pierwiastków: 6⋅2=12=4⋅3=23\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}

Strategia

  1. Rozwiń (6−2)2=6−212+2=8−43(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 4\sqrt{3}.
    2. Odejmij 232\sqrt{3}: 8−43−23=8−638 - 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 8 - 6\sqrt{3}.

Pełne obliczenia

  1. Rozwijamy pierwszy składnik ze wzoru na kwadrat różnicy:
       (6−2)2=(6)2−2⋅6⋅2+(2)2(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2
       =6−212+2=8−212= 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 2\sqrt{12}
    2. Upraszczamy pierwiastek 12\sqrt{12}:
       12=4⋅3=23  ⟹  212=2⋅23=43\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} \implies 2\sqrt{12} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}
       Zatem (6−2)2=8−43(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 = 8 - 4\sqrt{3}.
    3. Odejmujemy drugi składnik wyrażenia:
       (8−43)−23=8−(43+23)=8−63(8 - 4\sqrt{3}) - 2\sqrt{3} = 8 - (4\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 8 - 6\sqrt{3}
    Poprawna odpowiedź: A (8−638 - 6\sqrt{3})

Pułapka egzaminatora

• Zatrzymanie się na 8−438 - 4\sqrt{3} i zapomnienie o odjęciu −23-2\sqrt{3} (opcja D).
• Błędne odejmowanie minusów: −43−23=−23-4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3} (opcja B).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2021 r. (Poprawkowa), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N7: Mnożenie potęg o podstawie 3 i ujemnym wykładniku

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 9−10⋅3199^{-10} \cdot 3^{19} jest równa:
A. 27927^9      B. 9−29^{-2}      C. 3103^{10}      D. 3−13^{-1}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Baza potęgi 3: 9=32  ⟹  9−10=(32)−10=3−209 = 3^2 \implies 9^{-10} = (3^2)^{-10} = 3^{-20}
• Iloczyn potęg o tej samej podstawie: am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}

Strategia

  1. Zamień 99 na 323^2: (32)−10=3−20(3^2)^{-10} = 3^{-20}.
    2. Pomnóż: 3−20⋅319=3−20+19=3−13^{-20} \cdot 3^{19} = 3^{-20 + 19} = 3^{-1}.

Pełne obliczenia

  1. Przedstawiamy liczbę 9 jako potęgę liczby 3:
       9=32  ⟹  9−10=(32)−10=32⋅(−10)=3−209 = 3^2 \implies 9^{-10} = (3^2)^{-10} = 3^{2 \cdot (-10)} = 3^{-20}
    2. Mnożymy potęgi o tej samej podstawie 3 (dodajemy wykładniki):
       9−10⋅319=3−20⋅319=3−20+19=3−19^{-10} \cdot 3^{19} = 3^{-20} \cdot 3^{19} = 3^{-20 + 19} = 3^{-1}
    Poprawna odpowiedź: D (3−13^{-1})

Pułapka egzaminatora

• Mnożenie podstaw 9⋅3=279 \cdot 3 = 27 i dodawanie wykładników −10+19=9  ⟹  279-10 + 19 = 9 \implies 27^9 (kardynalny błąd dający opcję A!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N8: Zwijanie trójmianu kwadratowego i wstawianie liczby niewymiernej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia x2−6x+9x^2 - 6x + 9 dla x=3+3x = \sqrt{3} + 3 jest równa:
A. 11      B. 33      C. 1+231 + 2\sqrt{3}      D. 1−231 - 2\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzór na kwadrat różnicy: a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
• Kwadrat pierwiastka: (a)2=a(\sqrt{a})^2 = a

Strategia

  1. Patent zwijania trójmianu: Zauważ, że x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2.
    2. Wstaw x=3+3x = \sqrt{3} + 3: (3+3−3)2=(3)2=3(\sqrt{3} + 3 - 3)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3.

Pełne obliczenia

Sposób I (Rekomendowany – natychmiastowe zwinięcie w kwadrat):
1. Zauważamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:
   x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
2. Podstawiamy x=3+3x = \sqrt{3} + 3:
   ((3+3)−3)2=(3)2=3((\sqrt{3} + 3) - 3)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3

Sposób II (Bezpośrednie wstawienie):
1. (3+3)2=3+63+9=12+63(\sqrt{3}+3)^2 = 3 + 6\sqrt{3} + 9 = 12 + 6\sqrt{3}
2. −6(3+3)=−63−18-6(\sqrt{3}+3) = -6\sqrt{3} - 18
3. (12+63)+(−63−18)+9=12−18+9=3(12 + 6\sqrt{3}) + (-6\sqrt{3} - 18) + 9 = 12 - 18 + 9 = 3
Poprawna odpowiedź: B (33)

Pułapka egzaminatora

• Pominięcie liczby 9 na końcu lub błąd rachunkowy w znakach przy bezpośrednim podstawianiu.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N9: Iloraz potęg o podstawach złożonych (36 na 2^2 * 3^2)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 250⋅3403610\frac{2^{50} \cdot 3^{40}}{36^{10}} jest równa:
A. 6706^{70}      B. 6456^{45}      C. 230⋅3202^{30} \cdot 3^{20}      D. 210⋅3202^{10} \cdot 3^{20}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Rozkład podstawy: 36=62=(2⋅3)2=22⋅3236 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2
• Potęga iloczynu: (a⋅b)n=an⋅bn  ⟹  3610=(22⋅32)10=220⋅320(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \implies 36^{10} = (2^2 \cdot 3^2)^{10} = 2^{20} \cdot 3^{20}
• Dzielenie potęg: aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Strategia

  1. Rozłóż mianownik na bazę 2 i 3: 3610=220⋅32036^{10} = 2^{20} \cdot 3^{20}.
    2. Skróć potęgi dwójek: 250:220=2302^{50} : 2^{20} = 2^{30}.
    3. Skróć potęgi trójek: 340:320=3203^{40} : 3^{20} = 3^{20}.

Pełne obliczenia

  1. Rozkładamy liczbę 36 w mianowniku na potęgi liczb pierwszych 2 i 3:
       36=22⋅32  ⟹  3610=(22⋅32)10=(22)10⋅(32)10=220⋅32036 = 2^2 \cdot 3^2 \implies 36^{10} = (2^2 \cdot 3^2)^{10} = (2^2)^{10} \cdot (3^2)^{10} = 2^{20} \cdot 3^{20}
    2. Zapisujemy cały iloraz i dzielimy czynniki o jednakowych podstawach:
       250⋅3403610=250⋅340220⋅320=250220⋅340320\frac{2^{50} \cdot 3^{40}}{36^{10}} = \frac{2^{50} \cdot 3^{40}}{2^{20} \cdot 3^{20}} = \frac{2^{50}}{2^{20}} \cdot \frac{3^{40}}{3^{20}}
    3. Odejmujemy wykładniki potęg:
       250−20⋅340−20=230⋅3202^{50 - 20} \cdot 3^{40 - 20} = 2^{30} \cdot 3^{20}
    Poprawna odpowiedź: C (230⋅3202^{30} \cdot 3^{20})

Pułapka egzaminatora

• Błędne uproszczenie mianownika do 210⋅3102^{10} \cdot 3^{10} dające 240⋅3302^{40} \cdot 3^{30} lub zaznaczenie opcji D.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Średnio-trudne (5/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2024 r. (Próbna), Zadanie 3 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N10: Dowód podzielności sumy potęg o wspólnej bazie 2

Wykaż, że liczba 2100+449+16242^{100} + 4^{49} + 16^{24} jest podzielna przez 2121. Zapisz obliczenia i uzasadnienie.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Sprowadzanie do wspólnej bazy 2: 4=22,  16=244 = 2^2, \; 16 = 2^4
• Potęgowanie potęgi: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}
• Wyłączanie wspólnego czynnika: am+am+k=am(1+ak)a^m + a^{m+k} = a^m(1 + a^k)
• Definicja podzielności: liczba LL dzieli się przez 21  ⟺  L=21⋅k21 \iff L = 21 \cdot k dla k∈Ck \in \mathbb{C}

Strategia

  1. Zamień 449=(22)49=2984^{49} = (2^2)^{49} = 2^{98} oraz 1624=(24)24=29616^{24} = (2^4)^{24} = 2^{96}.
    2. Wyłącz przed nawias najmniejszą potęgę 2962^{96}.
    3. Oblicz nawias: 24+22+1=16+4+1=212^4 + 2^2 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21.
    4. Wyciągnij wniosek o podzielności.

Pełne obliczenia

  1. Krok 1: Sprowadzenie wszystkich składników do potęgi liczby 2
       • 449=(22)49=22⋅49=2984^{49} = (2^2)^{49} = 2^{2 \cdot 49} = 2^{98}
       • 1624=(24)24=24⋅24=29616^{24} = (2^4)^{24} = 2^{4 \cdot 24} = 2^{96}
    2. Krok 2: Zapisanie sumy w jednolitej bazie 2
       2100+449+1624=2100+298+2962^{100} + 4^{49} + 16^{24} = 2^{100} + 2^{98} + 2^{96}
    3. Krok 3: Wyłączenie wspólnego czynnika 2962^{96} przed nawias
       296⋅(2100−96+298−96+1)=296⋅(24+22+1)2^{96} \cdot \left(2^{100-96} + 2^{98-96} + 1\right) = 2^{96} \cdot \left(2^4 + 2^2 + 1\right)
    4. Krok 4: Obliczenie wartości wyrażenia w nawiasie
       24+22+1=16+4+1=212^4 + 2^2 + 1 = 16 + 4 + 1 = 21
       Zatem dana liczba jest równa:
       296⋅212^{96} \cdot 21
    5. Krok 5: Wniosek końcowy
       Liczba 2962^{96} jest liczbą całkowitą, a dany iloczyn jest wielokrotnością liczby 21, zatem liczba ta dzieli się przez 21 bez reszty.
    Co kończy dowód.

Pułapka egzaminatora

• Próba wyłączania liczby 2 zamiast maksymalnej możliwej potęgi 2962^{96}.
• Błąd w iloczynie wykładników: 1624=24⋅24=29616^{24} = 2^{4 \cdot 24} = 2^{96} (mylenie z 16+2416 + 24).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N11: Różnica kwadratów sumy i różnicy podniesiona do sześcianu

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia [(3−1)2−(3+1)2]3\left[(\sqrt{3} - 1)^2 - (\sqrt{3} + 1)^2\right]^3 jest równa:
A. 512512      B. 00      C. −243-24\sqrt{3}      D. −1923-192\sqrt{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Kwadraty sumy i różnicy: (a∓b)2=a2∓2ab+b2(a \mp b)^2 = a^2 \mp 2ab + b^2
• Tożsamość: (a−b)2−(a+b)2=−4ab(a-b)^2 - (a+b)^2 = -4ab
• Sześcian iloczynu: (−43)3=(−4)3⋅(3)3=−64⋅33=−1923(-4\sqrt{3})^3 = (-4)^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = -64 \cdot 3\sqrt{3} = -192\sqrt{3}

Strategia

  1. Szybki patent tożsamości: (A−B)2−(A+B)2=−4AB(A-B)^2 - (A+B)^2 = -4AB dla A=3,B=1  ⟹  −43A = \sqrt{3}, B = 1 \implies -4\sqrt{3}.
    2. Podnieś do sześcianu: (−43)3=−64⋅33=−1923(-4\sqrt{3})^3 = -64 \cdot 3\sqrt{3} = -192\sqrt{3}.

Pełne obliczenia

  1. Rozwijamy kwadraty w nawiasie klamrowym:
       (3−1)2=(3)2−23+1=3−23+1=4−23(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}
       (3+1)2=(3)2+23+1=3+23+1=4+23(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} + 1 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}
    2. Odejmujemy oba wyrażenia:
       (4−23)−(4+23)=4−23−4−23=−43(4 - 2\sqrt{3}) - (4 + 2\sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3} = -4\sqrt{3}
    3. Podnosimy wynik do trzeciej potęgi:
       (−43)3=(−4)3⋅(3)3=−64⋅(32⋅3)=−64⋅33=−1923(-4\sqrt{3})^3 = (-4)^3 \cdot (\sqrt{3})^3 = -64 \cdot (\sqrt{3}^2 \cdot \sqrt{3}) = -64 \cdot 3\sqrt{3} = -192\sqrt{3}
    Poprawna odpowiedź: D (−1923-192\sqrt{3})

Pułapka egzaminatora

• Pominięcie minusa w potędze nieparzystej (zaznaczenie liczby dodatniej).
• Błędne uproszczenie (3)3=3(\sqrt{3})^3 = 3 zamiast 333\sqrt{3} (co dawałoby −192-192).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2018 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N12: Zwijanie kwadratu pod pierwiastkiem w wartość bezwzględną sqrt(a^2) = |a|

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba (1−2)2+(2−2)2\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} jest równa:
A. 11      B. −1-1      C. 3−223 - 2\sqrt{2}      D. 22+12\sqrt{2} + 1

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Fundamentalna tożsamość pierwiastkowa: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|
• Definicja wartości bezwzględnej: ∣x∣=x|x| = x gdy x≥0x \ge 0, oraz ∣x∣=−x|x| = -x gdy x<0x < 0
• Szacowanie: 2≈1,41\sqrt{2} \approx 1{,}41

Strategia

  1. Zastosuj a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| do obu składników: ∣1−2∣+∣2−2∣|1 - \sqrt{2}| + |2 - \sqrt{2}|.
    2. Ponieważ 1<21 < \sqrt{2}, to 1−2<0  ⟹  ∣1−2∣=2−11 - \sqrt{2} < 0 \implies |1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1.
    3. Ponieważ 2>22 > \sqrt{2}, to 2−2>0  ⟹  ∣2−2∣=2−22 - \sqrt{2} > 0 \implies |2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}.
    4. Dodaj: (2−1)+(2−2)=1(\sqrt{2} - 1) + (2 - \sqrt{2}) = 1.

Pełne obliczenia

  1. Korzystamy z tożsamości a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| dla obu składników sumy:
       (1−2)2=∣1−2∣\sqrt{(1 - \sqrt{2})^2} = |1 - \sqrt{2}|
       (2−2)2=∣2−2∣\sqrt{(2 - \sqrt{2})^2} = |2 - \sqrt{2}|
    2. Szacujemy wartość wyrażeń pod modułami pamiętając, że 2≈1,414\sqrt{2} \approx 1{,}414:
       • 1−2≈1−1,414=−0,414<01 - \sqrt{2} \approx 1 - 1{,}414 = -0{,}414 < 0, więc zdejmujemy moduł ze zmianą znaków:
         ∣1−2∣=−(1−2)=2−1|1 - \sqrt{2}| = -(1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1
       • 2−2≈2−1,414=0,586>02 - \sqrt{2} \approx 2 - 1{,}414 = 0{,}586 > 0, więc moduł opuszczamy bez zmiany znaków:
         ∣2−2∣=2−2|2 - \sqrt{2}| = 2 - \sqrt{2}
    3. Dodajemy oba uproszczone wyrażenia:
       (2−1)+(2−2)=2−1+2−2=1(\sqrt{2} - 1) + (2 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1 + 2 - \sqrt{2} = 1
    Poprawna odpowiedź: A (11)

Pułapka egzaminatora

• Kardynalny błąd a2=a\sqrt{a^2} = a bez wartości bezwzględnej: (1−2)+(2−2)=3−22(1 - \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} (błędna opcja C!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2016 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N13: Współczynniki rozwinięcia sześcianu sumy (wzór dwumianowy)

W rozwinięciu wyrażenia (23x+4y)3(2\sqrt{3}x + 4y)^3 współczynnik przy iloczynie xy2xy^2 jest równy:
A. 96396\sqrt{3}      B. 48348\sqrt{3}      C. 144144      D. 288288

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Sześcian sumy: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
• Wyraz przy xy2xy^2: odpowiada składnikowi 3ab23ab^2, gdzie a=23xa = 2\sqrt{3}x, b=4yb = 4y

Strategia

  1. Wskaż składnik z xy2xy^2: to 3⋅a⋅b23 \cdot a \cdot b^2.
    2. Podstaw a=23xa = 2\sqrt{3}x i b=4yb = 4y: 3⋅(23x)⋅(4y)2=3⋅23x⋅16y2=963xy23 \cdot (2\sqrt{3}x) \cdot (4y)^2 = 3 \cdot 2\sqrt{3}x \cdot 16y^2 = 96\sqrt{3}xy^2.

Pełne obliczenia

  1. Korzystamy ze wzoru na sześcian sumy dwóch wyrażeń (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3:
       W naszym przypadku a=23xa = 2\sqrt{3}x oraz b=4yb = 4y.
    2. Szukamy wyrazu zawierającego iloczyn zmiennych xy2xy^2. Odpowiada mu składnik 3ab23ab^2:
       3ab2=3⋅(23x)⋅(4y)23ab^2 = 3 \cdot (2\sqrt{3}x) \cdot (4y)^2
    3. Obliczamy wartość współczynnika liczbowego:
       (4y)2=16y2(4y)^2 = 16y^2
       3⋅(23x)⋅16y2=(3⋅2⋅16)3⋅xy2=963xy23 \cdot (2\sqrt{3}x) \cdot 16y^2 = (3 \cdot 2 \cdot 16)\sqrt{3} \cdot xy^2 = 96\sqrt{3}xy^2
    4. Współczynnik przy xy2xy^2 wynosi zatem 96396\sqrt{3}.
    Poprawna odpowiedź: A (96396\sqrt{3})

Pułapka egzaminatora

• Zapomnienie o pomnożeniu przez 3 ze wzoru skróconego mnożenia: 23⋅16=3232\sqrt{3} \cdot 16 = 32\sqrt{3} lub 23⋅24=4832\sqrt{3} \cdot 24 = 48\sqrt{3} (opcja B).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2015 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N14: Usuwanie niewymierności z mianownika trzeciego stopnia

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 233−1\frac{2}{\sqrt[3]{3} - 1} jest równa:
A. 93+33+1\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1      B. 93−33+1\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1      C. 93+12\frac{\sqrt[3]{9} + 1}{2}      D. 33+1\sqrt[3]{3} + 1

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Różnica sześcianów: a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
• Rozszerzanie ułamka: mnożymy licznik i mianownik przez niepełny kwadrat sumy a2+ab+b2a^2 + ab + b^2

Strategia

  1. Zastosuj wzór a3−b3a^3 - b^3 dla a=33a = \sqrt[3]{3} i b=1b = 1.
    2. Czynnik dopełniający to (33)2+33⋅1+12=93+33+1(\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1.
    3. Mianownik: (33)3−13=3−1=2(\sqrt[3]{3})^3 - 1^3 = 3 - 1 = 2.
    4. Skróć dwójkę z licznikiem.

Pełne obliczenia

  1. Aby usunąć niewymierność z mianownika zawierającego pierwiastek stopnia 3, stosujemy wzór na różnicę sześcianów:
       a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
    2. Podstawiamy a=33a = \sqrt[3]{3} oraz b=1b = 1. Wtedy czynnikiem uzupełniającym do sześcianu jest:
       a2+ab+b2=(33)2+33⋅1+12=93+33+1a^2 + ab + b^2 = (\sqrt[3]{3})^2 + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1
    3. Mnożymy licznik i mianownik przez wyznaczony czynnik:
       233−1=2(93+33+1)(33−1)(93+33+1)=2(93+33+1)(33)3−13\frac{2}{\sqrt[3]{3} - 1} = \frac{2(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3} - 1)(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)} = \frac{2(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3})^3 - 1^3}
    4. Obliczamy wartość mianownika:
       (33)3−13=3−1=2(\sqrt[3]{3})^3 - 1^3 = 3 - 1 = 2
    5. Skracamy ułamek przez 2:
       2(93+33+1)2=93+33+1\frac{2(\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)}{2} = \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1
    Poprawna odpowiedź: A (93+33+1\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1)

Pułapka egzaminatora

• Błędne rozszerzenie ułamka przez 33+1\sqrt[3]{3} + 1 (jak dla pierwiastków kwadratowych). Pierwiastki trzeciego stopnia wymagają wzorów na sześciany!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Grudzień 2024 r. (Próbna), Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N15: Modelowanie wykładnicze rozładowania kondensatora

Ładunek elektryczny Q(t)Q(t) zgromadzony w kondensatorze podczas rozładowywania zmienia się zgodnie z zależnością:
Q(t)=Q0⋅2−λt(t≥0)Q(t) = Q_0 \cdot 2^{-\lambda t} \quad (t \ge 0)
Dla t=0t = 0 ładunek wynosił 80 μC80\,\mu\text{C}, a po 44 sekundach 5 μC5\,\mu\text{C}. Oblicz wartość współczynnika λ\lambda oraz ładunek zgromadzony w kondensatorze po 22 sekundach. Zapisz obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Model wykładniczy: Q(t)=Q0⋅2−λtQ(t) = Q_0 \cdot 2^{-\lambda t}
• Wykładnik ujemny: 2−x=12x2^{-x} = \frac{1}{2^x}
• Rozwiązanie równania potęgowego: 2−4λ=2−4  ⟺  λ=12^{-4\lambda} = 2^{-4} \iff \lambda = 1

Strategia

  1. Podstaw t=0  ⟹  Q0=80 μCt = 0 \implies Q_0 = 80\,\mu\text{C}.
    2. Dla t=4t = 4: 80⋅2−4λ=5  ⟹  2−4λ=580=116=2−480 \cdot 2^{-4\lambda} = 5 \implies 2^{-4\lambda} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} = 2^{-4}.
    3. Oblicz λ=1\lambda = 1.
    4. Oblicz Q(2)=80⋅2−2=80⋅14=20 μCQ(2) = 80 \cdot 2^{-2} = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20\,\mu\text{C}.

Pełne obliczenia

  1. Krok 1: Wyznaczenie wartości początkowej Q0Q_0
       Podstawiamy t=0t = 0 sekund do wzoru funkcji:
       Q(0)=Q0⋅2−λ⋅0=Q0⋅20=Q0⋅1=Q0Q(0) = Q_0 \cdot 2^{-\lambda \cdot 0} = Q_0 \cdot 2^0 = Q_0 \cdot 1 = Q_0
       Z warunków zadania Q(0)=80 μCQ(0) = 80\,\mu\text{C}, więc:
       Q0=80 μCQ_0 = 80\,\mu\text{C}
    2. Krok 2: Wyznaczenie stałej λ\lambda z danych dla t=4t = 4 sekundy
       Q(4)=80⋅2−λ⋅4=5Q(4) = 80 \cdot 2^{-\lambda \cdot 4} = 5
       Dzielimy obustronnie przez 80:
       2−4λ=580=1162^{-4\lambda} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}
       Przedstawiamy prawą stronę jako potęgę liczby 2:
       116=124=2−4\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}
       Przyrównujemy wykładniki potęg:
       −4λ=−4  ⟹  λ=1-4\lambda = -4 \implies \lambda = 1
    3. Krok 3: Obliczenie ładunku zgromadzonego po 2 sekundach
       Wzór na ładunek ma postać: Q(t)=80⋅2−tQ(t) = 80 \cdot 2^{-t}.
       Dla t=2t = 2 sekundy:
       Q(2)=80⋅2−2=80⋅122=80⋅14=20 μCQ(2) = 80 \cdot 2^{-2} = 80 \cdot \frac{1}{2^2} = 80 \cdot \frac{1}{4} = 20\,\mu\text{C}
    Odpowiedź: Współczynnik λ=1\lambda = 1, a ładunek po 2 sekundach wynosi 20 μC20\,\mu\text{C}.

Pułapka egzaminatora

• Pomylenie 580=116\frac{5}{80} = \frac{1}{16} z 18\frac{1}{8}.
• Przyjęcie modelu liniowego zamiast wykładniczego.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2023 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N16: Dowód nierówności z sumą odwrotności dla liczb dodatnich

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich aa i bb prawdziwa jest nierówność:
(a+b)(1a+1b)≥4(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wymnażanie nawiasów: (a+b)(1a+1b)=1+ab+ba+1=2+ab+ba(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}
• Tożsamość nieujemności kwadratu: (a−b)2≥0  ⟹  a2+b2≥2ab(a - b)^2 \ge 0 \implies a^2 + b^2 \ge 2ab
• Założenie: a>0,b>0  ⟹  ab>0a > 0, b > 0 \implies ab > 0

Strategia

  1. Wymnóż nawiasy po lewej stronie: otrzymasz 2+ab+ba2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}.
    2. Odejmij 4: ab+ba−2≥0\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 \ge 0.
    3. Sprowadź do wspólnego mianownika: a2−2ab+b2ab=(a−b)2ab\frac{a^2 - 2ab + b^2}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}.
    4. Uzasadnij znak: (a−b)2≥0(a-b)^2 \ge 0 oraz ab>0ab > 0.

Pełne obliczenia

  1. Krok 1: Przekształcenie lewej strony nierówności
       Wymnażamy wyrażenia w nawiasach:
       L=(a+b)(1a+1b)=a⋅1a+a⋅1b+b⋅1a+b⋅1bL = (a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = a \cdot \frac{1}{a} + a \cdot \frac{1}{b} + b \cdot \frac{1}{a} + b \cdot \frac{1}{b}
       L=1+ab+ba+1=2+ab+baL = 1 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + 1 = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}
    2. Krok 2: Badanie różnicy L−PL - P
       Odejmujemy prawą stronę nierówności (P=4P = 4):
       L−P=2+ab+ba−4=ab+ba−2L - P = 2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 4 = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2
    3. Krok 3: Sprowadzenie do wspólnego mianownika abab
       ab+ba−2=a2+b2−2abab=(a−b)2ab\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \frac{(a - b)^2}{ab}
    4. Krok 4: Uzasadnienie nieujemności ułamka
       • Licznik: (a−b)2≥0(a - b)^2 \ge 0 dla dowolnych liczb rzeczywistych a,ba, b (kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny).
       • Mianownik: ab>0ab > 0 z założenia, że a>0a > 0 oraz b>0b > 0.
       Iloraz liczby nieujemnej i dodatniej jest liczbą nieujemną, zatem:
       (a−b)2ab≥0  ⟹  (a+b)(1a+1b)≥4\frac{(a - b)^2}{ab} \ge 0 \implies (a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \ge 4
    Co kończy dowód.

Pułapka egzaminatora

• Pominięcie założenia o dodatniości ab>0ab > 0 przy badaniu znaku mianownika.
• Błędne dzielenie przez (a−b)(a-b) bez sprawdzenia, czy a≠ba \ne b.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16
Zadanie 17
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2020 r. (Próbna), Zadanie 8 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N17: Zwijanie wielomianu 8. stopnia w sumę kwadratów

Wykaż, że równanie x8+x2=2(x4+x−1)x^8 + x^2 = 2(x^4 + x - 1) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste. Zapisz obliczenia i uzasadnienie.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzór skróconego mnożenia: a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2
• Tożsamość sumy kwadratów: A2+B2=0  ⟺  A=0∧B=0A^2 + B^2 = 0 \iff A = 0 \land B = 0 dla A,B∈RA, B \in \mathbb{R}

Strategia

  1. Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę: x8−2x4+x2−2x+2=0x^8 - 2x^4 + x^2 - 2x + 2 = 0.
    2. Rozbij 2=1+12 = 1 + 1 i pogrupuj: (x8−2x4+1)+(x2−2x+1)=0(x^8 - 2x^4 + 1) + (x^2 - 2x + 1) = 0.
    3. Zwiń: (x4−1)2+(x−1)2=0(x^4 - 1)^2 + (x - 1)^2 = 0.
    4. Rozwiąż układ: x4−1=0x^4 - 1 = 0 oraz x−1=0  ⟹  x=1x - 1 = 0 \implies x = 1.

Pełne obliczenia

  1. Krok 1: Przekształcenie równania na jedną stronę
       Wymnażamy prawą stronę i przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
       x8+x2=2x4+2x−2x^8 + x^2 = 2x^4 + 2x - 2
       x8−2x4+x2−2x+2=0x^8 - 2x^4 + x^2 - 2x + 2 = 0
    2. Krok 2: Sprytne rozbicie wyrazu wolnego i grupowanie
       Zapisujemy liczbę 22 jako sumę 1+11 + 1:
       (x8−2x4+1)+(x2−2x+1)=0(x^8 - 2x^4 + 1) + (x^2 - 2x + 1) = 0
    3. Krok 3: Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
       • Zauważmy, że x8=(x4)2x^8 = (x^4)^2, więc pierwszy nawias to kwadrat różnicy:
         x8−2x4+1=(x4−1)2x^8 - 2x^4 + 1 = (x^4 - 1)^2
       • Drugi nawias to standardowy kwadrat różnicy:
         x2−2x+1=(x−1)2x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2
       Równanie przyjmuje postać sumy dwóch kwadratów:
       (x4−1)2+(x−1)2=0(x^4 - 1)^2 + (x - 1)^2 = 0
    4. Krok 4: Wnioskowanie i wyznaczenie rozwiązań
       Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny ((x4−1)2≥0(x^4-1)^2 \ge 0 oraz (x−1)2≥0(x-1)^2 \ge 0). Suma dwóch liczb nieujemnych jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby są jednocześnie równe zero:
       {x4−1=0x−1=0  ⟺  {x=1∨x=−1x=1  ⟺  x=1\begin{cases} x^4 - 1 = 0 \\ x - 1 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 1 \lor x = -1 \\ x = 1 \end{cases} \iff x = 1
    5. Jedyną liczbą rzeczywistą spełniającą oba równania jest x=1x = 1.
    Co należało wykazać.

Pułapka egzaminatora

• Próba standardowego rozwiązywania wielomianu 8. stopnia poprzez podstawienie t=x2t = x^2 (co nie działa z powodu obecności wyrazu liniowego −2x-2x).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 17
Zadanie 18
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2019 r., Zadanie 8 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N18: Dowód nierówności ułamkowej dla liczb dodatnich x < y

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych xx i yy, takich że x<yx < y, prawdziwa jest nierówność:
xy<x+1y+1\frac{x}{y} < \frac{x+1}{y+1}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Badanie znaku różnicy: A<B  ⟺  B−A>0A < B \iff B - A > 0
• Wspólny mianownik: x+1y+1−xy=y(x+1)−x(y+1)y(y+1)\frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y} = \frac{y(x+1) - x(y+1)}{y(y+1)}
• Założenia: x>0,y>0,y>xx > 0, y > 0, y > x

Strategia

  1. Zbadaj znak różnicy P−L=x+1y+1−xyP - L = \frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y}.
    2. Sprowadź do wspólnego mianownika y(y+1)y(y+1).
    3. W liczniku otrzymasz: xy+y−xy−x=y−xxy + y - xy - x = y - x.
    4. Ponieważ y>x>0y > x > 0, licznik i mianownik są dodatnie, więc różnica jest dodatnia.

Pełne obliczenia

  1. Krok 1: Przeniesienie na jedną stronę i badanie różnicy
       Rozważmy różnicę prawej i lewej strony nierówności:
       R=x+1y+1−xyR = \frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y}
    2. Krok 2: Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika
       Wspólnym mianownikiem jest wyrażenie y(y+1)y(y + 1):
       R=y(x+1)−x(y+1)y(y+1)R = \frac{y(x + 1) - x(y + 1)}{y(y + 1)}
    3. Krok 3: Uproszczenie licznika
       R=xy+y−xy−xy(y+1)=y−xy(y+1)R = \frac{xy + y - xy - x}{y(y + 1)} = \frac{y - x}{y(y + 1)}
    4. Krok 4: Uzasadnienie znaku ułamka z założeń zadania
       • Z treści zadania liczby x,yx, y są dodatnie (x>0x > 0 oraz y>0y > 0), więc mianownik y(y+1)>0y(y + 1) > 0.
       • Z treści zadania zachodzi warunek x<yx < y, co oznacza, że licznik y−x>0y - x > 0.
    5. Krok 5: Wniosek końcowy
       Iloraz dwóch liczb ściśle dodatnich jest liczbą dodatnią:
       R=y−xy(y+1)>0  ⟹  x+1y+1>xyR = \frac{y - x}{y(y + 1)} > 0 \implies \frac{x+1}{y+1} > \frac{x}{y}
    Co kończy dowód.

Pułapka egzaminatora

• Mnożenie nierówności przez (y+1)(y+1) oraz yy bez wyraźnego powołania się na fakt, że są to liczby dodatnie.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 18
Zadanie 19
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 8 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N19: Klasyczna nierówność sumy kwadratów a^2 + b^2 + 1 >= a + b + ab

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,ba, b zachodzi nierówność:
a2+b2+1≥a+b+aba^2 + b^2 + 1 \ge a + b + ab

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Patent mnożenia przez 2: 2a2+2b2+2−2a−2b−2ab=(a−b)2+(a−1)2+(b−1)22a^2 + 2b^2 + 2 - 2a - 2b - 2ab = (a-b)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2
• Suma trzech kwadratów: A2+B2+C2≥0A^2 + B^2 + C^2 \ge 0 dla dowolnych A,B,C∈RA, B, C \in \mathbb{R}

Strategia

  1. Pomnóż nierówność obustronnie przez 2.
    2. Przenieś wszystko na lewą stronę: 2a2+2b2+2−2a−2b−2ab≥02a^2 + 2b^2 + 2 - 2a - 2b - 2ab \ge 0.
    3. Pogrupuj w trzy kwadraty: (a−b)2+(a−1)2+(b−1)2≥0(a-b)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2 \ge 0.
    4. Uzasadnij nieujemność sumy kwadratów.

Pełne obliczenia

  1. Krok 1: Przeniesienie wyrazów i pomnożenie przez 2
       Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności:
       a2+b2+1−a−b−ab≥0a^2 + b^2 + 1 - a - b - ab \ge 0
       Mnożymy obustronnie przez liczbę 2 (nie zmienia to zwrotu nierówności):
       2a2+2b2+2−2a−2b−2ab≥02a^2 + 2b^2 + 2 - 2a - 2b - 2ab \ge 0
    2. Krok 2: Rozbicie wyrazów i grupowanie w kwadraty
       Rozpisujemy 2a2=a2+a22a^2 = a^2 + a^2, 2b2=b2+b22b^2 = b^2 + b^2 oraz 2=1+12 = 1 + 1:
       (a2−2ab+b2)+(a2−2a+1)+(b2−2b+1)≥0(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0
    3. Krok 3: Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia
       Każdy z trzech nawiasów jest kwadratem różnicy:
       (a−b)2+(a−1)2+(b−1)2≥0(a - b)^2 + (a - 1)^2 + (b - 1)^2 \ge 0
    4. Krok 4: Wnioskowanie końcowe
       Dla dowolnych liczb rzeczywistych a,ba, b zachodzi:
       (a−b)2≥0(a - b)^2 \ge 0, (a−1)2≥0\quad (a - 1)^2 \ge 0, (b−1)2≥0\quad (b - 1)^2 \ge 0.
       Suma trzech liczb nieujemnych jest zawsze nieujemna, a równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a=b=1a = b = 1.
    Co należało wykazać.

Pułapka egzaminatora

• Próba traktowania nierówności jako trójmianu względem aa z wyróżnikiem Δ\Delta – metoda jest poprawna, ale znacznie bardziej pracochłonna i podatna na błędy rachunkowe.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 19
Zadanie 20
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Lipiec 2020 r., Zadanie 8 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N20: Teoria liczb – dowód podzielności wielomianu 4. stopnia przez 4

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nn liczba n4−2n3+n2n^4 - 2n^3 + n^2 jest podzielna przez 44. Zapisz uzasadnienie.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wyłączanie wspólnego czynnika: n4−2n3+n2=n2(n2−2n+1)n^4 - 2n^3 + n^2 = n^2(n^2 - 2n + 1)
• Kwadrat różnicy: n2−2n+1=(n−1)2n^2 - 2n + 1 = (n - 1)^2
• Iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych: wśród liczb nn i n−1n-1 dokładnie jedna jest parzysta (dzieli się przez 2)

Strategia

  1. Wyłącz n2n^2 przed nawias: n2(n2−2n+1)n^2(n^2 - 2n + 1).
    2. Zwiń nawias: n2(n−1)2=[n(n−1)]2n^2(n - 1)^2 = [n(n - 1)]^2.
    3. Zauważ, że n(n−1)n(n - 1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych, więc jest podzielny przez 2.
    4. Skoro liczba dzieli się przez 2, jej kwadrat dzieli się przez 22=42^2 = 4.

Pełne obliczenia

  1. Krok 1: Rozkład wyrażenia na czynniki
       Wyłączamy czynnik n2n^2 przed nawias:
       n4−2n3+n2=n2(n2−2n+1)n^4 - 2n^3 + n^2 = n^2(n^2 - 2n + 1)
    2. Krok 2: Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia
       Wyrażenie w nawiasie jest kwadratem różnicy n2−2n+1=(n−1)2n^2 - 2n + 1 = (n - 1)^2:
       n2⋅(n−1)2=[n(n−1)]2n^2 \cdot (n - 1)^2 = [n(n - 1)]^2
    3. Krok 3: Analiza własności iloczynu kolejnych liczb całkowitych
       Liczby n−1n - 1 oraz nn to dwie kolejne liczby całkowite.
       Wśród dowolnych dwóch kolejnych liczb całkowitych dokładnie jedna jest parzysta (podzielna przez 2).
       Zatem iloczyn n(n−1)n(n - 1) jest liczbą parzystą, co oznacza, że można go zapisać jako:
       n(n−1)=2kdla pewnego k∈Cn(n - 1) = 2k \quad \text{dla pewnego } k \in \mathbb{C}
    4. Krok 4: Podniesienie do kwadratu i wniosek o podzielności
       Wstawiamy postać iloczynu do naszego wyrażenia:
       [n(n−1)]2=(2k)2=4k2[n(n - 1)]^2 = (2k)^2 = 4k^2
       Ponieważ k∈Ck \in \mathbb{C}, to k2k^2 jest liczbą całkowitą, a wyrażenie 4k24k^2 jest podzielne przez 4.
    Co kończy dowód.

Pułapka egzaminatora

• Rozpatrywanie parzystości n=2kn = 2k i n=2k+1n = 2k+1 bez wcześniejszego zwinięcia w [n(n−1)]2[n(n-1)]^2 (dłuższy, żmudny rachunek ze wzorami 4. stopnia).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 20

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Teoretyczne: Potęgi, Pierwiastki i Szacowanie

Moduł Wiedzy Teoretycznej do Lekcji 01 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Aksjomatyka i Definicje Potęgi w R\mathbb{R}

1.1. Wykładnik naturalny i całkowity

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a∈Ra \in \mathbb{R} oraz liczby naturalnej n∈N≥1n \in \mathbb{N}_{\ge 1}: a1=a,an=a⋅a⋅⋯⋅a⏟n czynnikoˊwa^1 = a, \quad a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ czynników}}

Dla a≠0a \neq 0: a0=1,a−n=1ana^0 = 1, \quad a^{-n} = \frac{1}{a^n}

Dowód tożsamości a0=1a^0 = 1: Z prawa dzielenia potęg: anan=an−n=a0\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0. Jednocześnie iloraz liczby różnej od zera przez samą siebie wynosi 11, zatem a0=1a^0 = 1.

Dowód tożsamości a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}: Z definicji: a−n=a0−n=a0an=1ana^{-n} = a^{0 - n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n}.

1.2. Wykładnik wymierny (ułamkowy)

Dla a>0a > 0 oraz liczb całkowitych m∈Zm \in \mathbb{Z} i n∈N≥2n \in \mathbb{N}_{\ge 2}: amn=amn=(an)ma^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Dla a=0a = 0 potęga 0mn0^{\frac{m}{n}} jest określona tylko dla mn>0\frac{m}{n} > 0 i wynosi 00.

2. Twierdzenia i Prawa Działań na Potęgach

Dla dowolnych liczb a,b>0a, b > 0 oraz dowolnych wykładników rzeczywistych r,s∈Rr, s \in \mathbb{R}:

L.p.Nazwa regułyWzór analitycznyZastosowanie praktyczne CKE
1Iloczyn potęg o równej podstawiear⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s}Dodawanie wykładników przy sprowadzaniu do bazy 22 lub 33
2Iloraz potęg o równej podstawiearas=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}Redukcja ułamków algebraicznych i wykładniczych
3Potęgowanie potęgi(ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s}Likwidacja zagnieżdżonych potęg: (25)35=23=8(2^5)^{\frac{3}{5}} = 2^3 = 8
4Iloczyn potęg o równych wykładnikachar⋅br=(a⋅b)ra^r \cdot b^r = (a \cdot b)^rWciąganie pod wspólny wykładnik: 2x⋅5x=10x2^x \cdot 5^x = 10^x
5Iloraz potęg o równych wykładnikacharbr=(ab)r\frac{a^r}{b^r} = \left(\frac{a}{b}\right)^rZamiana ułamków: 6x3x=2x\frac{6^x}{3^x} = 2^x
6Odwracanie ułamka z ujemnym wykładnikiem(ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^rZamiana (23)−2=(32)2=94\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}

3. Teoria Pierwiastków w Liczbach Rzeczywistych

3.1. Pierwiastek stopnia parzystego (n=2k,k∈N≥1n = 2k, k \in \mathbb{N}_{\ge 1})

Dla liczby a≥0a \ge 0, a2k\sqrt[2k]{a} oznacza jedyną nieujemną liczbę b≥0b \ge 0 taką, że b2k=ab^{2k} = a.

  • Pod pierwiastkiem stopnia parzystego w ciele R\mathbb{R} NIE MOŻE stać liczba ujemna.
  • Wynik pierwiastka stopnia parzystego ZAWSZE jest ≥0\ge 0.
  • Tożsamość fundamentalna: a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|. (Częsty błąd: a2≠a\sqrt{a^2} \neq a gdy a<0a < 0).

3.2. Pierwiastek stopnia nieparzystego (n=2k+1,k∈N≥1n = 2k+1, k \in \mathbb{N}_{\ge 1})

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a∈Ra \in \mathbb{R} (także ujemnej!), a2k+1\sqrt[2k+1]{a} oznacza jedyną liczbę rzeczywistą b∈Rb \in \mathbb{R} taką, że b2k+1=ab^{2k+1} = a.

  • Zachodzi tożsamość: −a2k+1=−a2k+1\sqrt[2k+1]{-a} = -\sqrt[2k+1]{a}
  • Przykłady: −643=−4\sqrt[3]{-64} = -4, −325=−2\sqrt[5]{-32} = -2, −13=−1\sqrt[3]{-1} = -1.

3.3. Działania na pierwiastkach

Dla a,b≥0a, b \ge 0: an⋅bn=a⋅bn,anbn=abn(b>0)\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}, \quad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \quad (b > 0) anm=am⋅n\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}

4. Tabele Pamięciowe: Kluczowe Potęgi na Maturę

Aby rozwiązywać zadania CKE w czasie poniżej 90 sekund, poniższe wartości należy znać na pamięć bez korzystania z kalkulatora:

Wykładnik kkBaza 2k2^kBaza 3k3^kBaza 4k=22k4^k = 2^{2k}Baza 5k5^k
01111
12345
2491625
382764125
41681256625
53224310243125
6647294096—
71282187——
8256———
9512———
101024———

5. Narzędzia i Tożsamości Poziomu Rozszerzonego

5.1. Dopełnianie do pełnego kwadratu (Tożsamość Sophie Germain)

W zadaniach dowodowych oraz zadaniach na rozkład wielomianów na czynniki stosuje się tożsamość Sophie Germain: a4+4b4=a4+4a2b2+4b4−4a2b2=(a2+2b2)2−(2ab)2=(a2−2ab+2b2)(a2+2ab+2b2)a^4 + 4b^4 = a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4 - 4a^2b^2 = (a^2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 - 2ab + 2b^2)(a^2 + 2ab + 2b^2)

Przykład CKE (x4+81x^4 + 81): x4+81=(x2)2+92=(x2+9)2−18x2=(x2+9)2−(32x)2=(x2−32x+9)(x2+32x+9)x^4 + 81 = (x^2)^2 + 9^2 = (x^2 + 9)^2 - 18x^2 = (x^2 + 9)^2 - (3\sqrt{2}x)^2 = (x^2 - 3\sqrt{2}x + 9)(x^2 + 3\sqrt{2}x + 9)

5.2. Tożsamości potęgowo-logarytmiczne

Dla a>0,a≠1,b>0a > 0, a \neq 1, b > 0: alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b Gdy baza potęgi różni się od bazy logarytmu: (ak)log⁡ab=ak⋅log⁡ab=alog⁡a(bk)=bk(a^k)^{\log_a b} = a^{k \cdot \log_a b} = a^{\log_a (b^k)} = b^k

5.3. Modele procesu wykładniczego

Równanie wzrostu lub zaniku wykładniczego: N(t)=N0⋅ktN(t) = N_0 \cdot k^t

  • N0N_0 – stan początkowy dla t=0t = 0.
  • kk – czynnik zmiany w jednostce czasu (k>1k > 1 wzrost, 0<k<10 < k < 1 rozpad/zanik).
  • Względna zmiana w jednostce czasu: p=(k−1)⋅100%p = (k - 1) \cdot 100\%.
  • Ścisły rygor obliczeń: Jeżeli N(2)=N0⋅k2N(2) = N_0 \cdot k^2, to k=N(2)N0k = \sqrt{\frac{N(2)}{N_0}}. Podział różnicy przez 2 to fałszywy model liniowy (0 pkt na maturze).

6. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typologia Błędów Maturalnych)

L.p.❌ NIE WOLNO! (Błąd kardynalny)✅ PRAWIDŁOWO (Standard CKE)Wyjaśnienie i reguła egzaminatora
1a−n=−ana^{-n} = -a^na−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}Minus w wykładniku oznacza odwrotność liczby (a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}), a nie zmianę znaku liczby na ujemny!
2a+b=a+b\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}Pozostawić a+b\sqrt{a + b} lub upraszczać pod pierwiastkiemPierwiastkowanie NIE jest rozdzielne względem dodawania: 9+16=5\sqrt{9+16} = 5, podczas gdy 9+16=3+4=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 (5≠75 \neq 7).
3(a−b)2=a2−b2(a - b)^2 = a^2 - b^2(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2Kwadrat różnicy bezwzględnie wymaga podwojonego iloczynu −2ab-2ab (wzór skróconego mnożenia CKE).
4a2=a\sqrt{a^2} = aa2=∣a∣\sqrt{a^2} = \lvert a \rvertPierwiastek kwadratowy z kwadratu daje wartość bezwzględną! Dla a<0a < 0: a2=−a\sqrt{a^2} = -a (np. (−5)2=∣−5∣=5\sqrt{(-5)^2} = \lvert -5 \rvert = 5).
5ax+ay=ax+ya^x + a^y = a^{x+y}Wyciągnąć wspólny czynnik przed nawiasDodawanie wykładników zachodzi wyłącznie przy iloczynie (ax⋅ay=ax+ya^x \cdot a^y = a^{x+y}), nigdy przy sumie!
6k2=1,5625  ⟹  k=1,56252k^2 = 1{,}5625 \implies k = \frac{1{,}5625}{2}k=1,5625=1,25k = \sqrt{1{,}5625} = 1{,}25W procesie wykładniczym niewiadomą wyznacza się przez pierwiastkowanie, a nie dzielenie przez wykładnik.