Katalog lekcji

Potęgi, Pierwiastki & Szacowanie

16 autentycznych zadań CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 18 pkt

Logarytmy i Równania Logarytmiczne

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 53 pkt

Wartość Bezwzględna, Przedziały & Równania Modułowe

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 66 pkt

Procenty, Punkty Procentowe, Kapitalizacja & Błędy Szacowania

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2010–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 52 pkt

Liczby Całkowite, Cechy Podzielności & Reszty z Dzielenia

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2010–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 61 pkt

Wzory Skróconego Mnożenia & Zaawansowana Faktoryzacja

Wzory stopnia 2: $(a \pm b)^2$, $a^2 - b^2$, wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów. | Wzory stopnia 3: $(a \pm b)^3$, $a^3 \pm b^3$, wzór na kwadrat sumy trzech składników $(a+b+c)^2$, trójkąt Pascala i dwumian Newtona, dowodzenie nierówności algebraicznych metodą ...

Wielomiany, Dzielenie, Twierdzenie Bézouta & Schemat Hornera

Stopień wielomianu, dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów, pierwiastki wielomianu. | Dzielenie wielomianów z resztą (pisemne), Schemat Hornera, Twierdzenie Bézouta ($W(a)=0 \iff (x-a) \mid W(x)$), twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całk...

Równania i Nierówności Wielomianowe (Wężyk & Krotności Pierwiastków)

Równania wielomianowe rozwiązywane metodą grupowania wyrazów lub wyłączania $x$. | Nierówności wielomianowe wyższych stopni, metoda siatki znaków („wężyk”), krotności pierwiastków (odbicie przy krotności parzystej, przecięcie przy nieparzystej), równania z parametrem sprowadza...

Wyrażenia Wymierne, Równania i Nierówności Wymierne

Dziedzina ułamka algebraicznego ($mianownik \neq 0$), skracanie i rozszerzanie ułamków, proste równania wymierne (proporcje $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$). | Działania na złożonych wyrażeniach wymiernych, równania z sumą ułamków, nierówności wymierne: zastąpienie ilorazu $\frac{...

Równania Liniowe, Układy Równań & Metoda Wyznacznikowa

Równania liniowe, układy równań z dwiema niewiadomymi (metoda podstawiania, przeciwnych współczynników), interpretacja geometryczna (proste przecinające się, równoległe, pokrywające się), zadania tekstowe (prędkość-droga-czas, mieszaniny). | Układy równań liniowych z parametre...

Własności Funkcji & Przekształcenia Wykresów

Wyznaczanie dziedziny i zbioru wartości ze wzoru i z wykresu, miejsca zerowe, monotoniczność, przesunięcie o wektor $\vec{u}=[p,q]$ ($y=f(x-p)+q$), symetrie względem osi $OX$ ($y=-f(x)$) i osi $OY$ ($y=f(-x)$). | Wartość bezwzględna na wykresie: $y=|f(x)|$ oraz $y=f(|x|)$, pow...

Funkcja Liniowa, Kąt Nachylenia & Relacje Prostopadłości/Równoległości

Postać kierunkowa $y=ax+b$, współczynnik kierunkowy $a = \operatorname{tg} \alpha$, wyraz wolny $b$ (punkt $(0,b)$), warunek równoległości $a_1 = a_2$ i prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$, wyznaczanie wzoru prostej przechodzącej przez dwa punkty. | Postać ogólna prostej $Ax+B...

Funkcja Kwadratowa – Trzy Postacie, Wykres Paraboli & Nierówności

Postać ogólna ($y=ax^2+bx+c$), kanoniczna ($y=a(x-p)^2+q$, wierzchołek $W=(p,q)$), iloczynowa ($y=a(x-x_1)(x-x_2)$), wyróżnik $\Delta$, oś symetrii paraboli $x=p=-\frac{b}{2a}$, zbiór wartości, rozwiązywanie nierówności kwadratowych z rysunkiem paraboli. | Równania sprowadzane...

Ekstrema Funkcji Kwadratowej w Przedziale Domkniętym & Zadania Optymalizacyjne Podstawowe

Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym $\langle\alpha, \beta\rangle$ (sprawdzenie czy $p \in \langle\alpha, \beta\rangle$ oraz wartości na końcach przedziału), zadania tekstowe optymalizacyjne z kontekstem realistycznym (ogrodzenie działki...

Równania Kwadratowe z Parametrem & Wzory Viète'a (Rozszerzenie – Poziom Mistrzowski)

Funkcja Homograficzna, Wykładnicza i Logarytmiczna

Wykres funkcji $f(x)=\frac{a}{x}$, funkcja wykładnicza $f(x)=a^x$ i logarytmiczna $f(x)=\log_a x$, odczyt punktów i monotoniczności. | Funkcja homograficzna $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$, postać kanoniczna $f(x)=\frac{r}{x-p}+q$, asymptota pionowa $x=-\frac{d}{c}$ i pozioma $y=\fra...

Ciąg Liczbowy – Własności, Monotoniczność & Ciągi Rekurencyjne

Wyraz ogólny ciągu $a_n$, obliczanie wyrazów o zadanym indeksie, badanie monotoniczności ciągu liczbowego (różnica $a_{n+1} - a_n > 0 \implies$ rosnący, iloraz $\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$ dla wyrazów dodatnich). | Ciągi zdefiniowane rekurencyjnie (np. $a_1 = 2, a_{n+1} = \frac{a...

Ciąg Arytmetyczny – Wzory Ogólne, Własności Sąsiednich Wyrazów & Sumy $S_n$

Różnica ciągu $r = a_{n+1} - a_n$, wzór na $n$-ty wyraz $a_n = a_1 + (n-1)r$, zależność trzech kolejnych wyrazów $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$, wzory na sumę początkowych wyrazów: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$$ | Własność $a_...

Ciąg Geometryczny – Iloraz $q$, Wzór Ogólny & Sumy Potęgowe

Iloraz ciągu $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$, wzór ogólny $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, własność kwadratu wyrazu środkowego $a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}$, suma $S_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$ (dla $q \neq 1$). | Badanie znaków wyrazów w zależności od $q < 0$, ciągi naprzemienne, ...

Zadania Mieszane Arytmetyczno-Geometryczne (Most Kompetencyjny CKE)

Granice Ciągów Liczbowych & Symbole Nieoznaczone ($n \to \infty$)

Pojęcie granicy ciągu $\lim_{n \to \infty} a_n$, granice ciągów wymiernych $\frac{P(n)}{Q(n)}$ (zasada najwyższej potęgi), twierdzenie o trzech ciągach, symbole nieoznaczone $[\frac{\infty}{\infty}]$ oraz $[\infty - \infty]$.

Nieskończony Szereg Geometryczny z Parametrem

Trygonometria Kąta Ostrego & Jedynka Trygonometryczna

Definicje $\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha$ w trójkącie prostokątnym, wartości dla $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$, tożsamości: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, obliczanie wartości pozostałych ...

Funkcje Dowolnego Kąta, Miara Łukowa & Wzory Redukcyjne

Definicje na płaszczyźnie z punktem $P=(x, y)$ i promieniem wodzącym $r=\sqrt{x^2+y^2}$, znaki funkcji w 4 ćwiartkach (wierszyk: *W pierwszej wszystkie są dodatnie...*), miara łukowa (radiany: $\pi = 180^\circ$, $2\pi = 360^\circ$). | Pełny system wzorów redukcyjnych dla kątów...

Wykresy Funkcji Trygonometrycznych, Okresowość & Transformacje

Wykresy sinusoidy, cosinusoidy i tangensoidy, okresy podstawowe ($2\pi$ dla sin/cos, $\pi$ dla tg), odczytywanie rozwiązań z wykresów. | Przekształcenia wykresów: $y = A \sin(kx + \phi) + d$, wyznaczanie amplitudy $|A|$, przesunięcia fazowego $\phi$, okresu $T = \frac{2\pi}{k}...

Wzory Kąta Podwojonego, Sumy i Różnicy Kątów (Narzędzia Rozszerzenia)

Wzory addytywne: $$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$ Wzory kąta podwojonego: $$\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad \cos...

Równania Trygonometryczne Podstawowe i Kwadratowe ze Zmienną Pomocniczą

Rozwiązywanie równań typu $\sin x = a$, $\cos x = b$, $\operatorname{tg} x = c$ w zbiorze $\mathbb{R}$ oraz w zadanym przedziale domkniętym (np. $x \in \langle 0, 2\pi\rangle$). Równania kwadratowe sprowadzane do jednej funkcji za pomocą jedynki trygonometrycznej: $$2\co...

Zaawansowane Równania Trygonometryczne (Faktoryzacja, Równania Jednorodne & Dziedzina)

Trójkąty – Związki Miarowe, Środkowe & Wszystkie Wzory na Pole

Nierówność trójkąta ($a+b>c$), suma kątów, trójkąt równoboczny ($h=\frac{a\sqrt{3}}{2}, P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}, R=\frac{2}{3}h, r=\frac{1}{3}h$). Wszystkie wzory na pole trójkąta: $$P = \frac{1}{2}ah = \frac{1}{2}ab\sin \gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = p \cdot r = \fr...

Podobieństwo Trójkątów, Twierdzenie Talesa & Twierdzenie o Dwusiecznej

Cechy podobieństwa: BBB, KKK, BKB. Skala podobieństwa $k$: stosunek obwodów $= k$, stosunek pól $= k^2$. Twierdzenie Talesa w trójkącie i trapezie. | Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie: $$\frac{|AD|}{|DB|} = \frac{|AC|}{|BC|}$$ Dzielenie trójką...

Twierdzenie Sinusów i Twierdzenie Cosinusów w Praktyce Egzaminacyjnej

Twierdzenie Pitagorasa, związki miarowe w trójkącie prostokątnym ($h^2 = p \cdot q$).

Czworokąty – Własności, Pola & Relacje Przekątnych w Trapezach

Równoległobok ($P=ah=ab\sin\alpha$), romb ($P=ah=a^2\sin\alpha=\frac{1}{2}d_1 d_2$), trapez ($P=\frac{a+b}{2}h$), odcinek łączący środki ramion trapezu $x = \frac{a+b}{2}$. | Przekątne w trapezie dzielą go na 4 trójkąty: - Trójkąty przy podstawach są podobne w skali $k =...

Kąty w Okręgu (Środkowe, Wpisane, Dopisane) & Twierdzenie o Stycznej i Siecznej

Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku ($\beta = 2\alpha$), kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym ($90^\circ$). | Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie. Twierdzenie o odcinkach siecznych i stycznych z...

Okrąg Wpisany i Opisany na Czworokącie (Kluczowe Warunki CKE)

Dowody Geometryczne w Planimetrii (Strategia Kątowa & Geometria Dedukcyjna)

Proste dowody na przystawanie trójkątów, sumę kątów, relacje równoległości.

Punkty, Odcinki, Wektory na Płaszczyźnie & Środek Ciężkości

Długość odcinka $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, środek odcinka $S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$, współrzędne wektora $\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$, długość wektora $|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$. | Działania liniowe na wektorach ...

Prosta na Płaszczyźnie – Postać Kierunkowa, Ogólna, Relacje & Symetralna Odcinka

Postać kierunkowa $y = ax + b$ ($a = \operatorname{tg} \alpha$), wyznaczanie prostej przez dwa punkty, warunek równoległości $a_1 = a_2$ i prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$. | Postać ogólna $Ax + By + C = 0$, wektor prostopadły do prostej $\vec{n} = [A, B]$, warunki prostopa...

Odległość Punktu od Prostej & Wzór Wyznacznikowy na Pole Trójkąta

Obliczanie pól trójkątów na płaszczyźnie przez wpisanie w prostokąt i odcinanie trójkątów prostokątnych. | Wzór na odległość punktu $P=(x_0, y_0)$ od prostej $Ax + By + C = 0$: $$d(P, k) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Odległość między dwiema prostym...

Równanie Okręgu – Postać Kanoniczna, Ogólna & Wzajemne Położenie z Prostą

Odczytywanie środka $S=(a, b)$ i promienia $r$ z postaci kanonicznej $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. | Sprowadzanie postaci ogólnej $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ do kanonicznej (metoda zwijania w kwadraty), warunek istnienia okręgu $r^2 = a^2 + b^2 - c > 0$, badanie liczby punktó...

Styczne do Okręgu (Przez Punkt Zewnętrzny, Równoległe & Prostopadłe)

Wielokąty w Układzie Współrzędnych (Złożone Zadania Analityczne CKE)

Kąty w Przestrzeni & Twierdzenie o Trzech Prostopadłych

Rozpoznawanie kątów między odcinkami w sześcianie i prostopadłościanie. | Kąt między prostą a płaszczyzną (kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym), kąt dwuścienny między płaszczyznami (kąt liniowy), kąt między prostymi skośnymi. Twierdzenie o trzech prostopadłych (prosta ...

Graniastosłupy Proste i Prawidłowe – Przekątne, Kąty & Objętości

Graniastosłupy prawidłowe (trójkątny, czworokątny, sześciokątny), przekątna prostopadłościanu $D = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$, przekątna sześcianu $D = a\sqrt{3}$, pole powierzchni i objętość $V = P_p \cdot H$. | Kąty nachylenia przekątnych graniastosłupa do podstawy i ścian bocznych...

Ostrosłupy Prawidłowe & Spodki Wysokości (Promienie $R$ i $r$ Podstawy)

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, czworokątny i sześciokątny, objętość $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$, pole powierzchni bocznej $P_b$.

Czworościan Foremny & Ostrosłupy Nierównomierne

Czworościan foremny o krawędzi $a$: $$H = \frac{a\sqrt{6}}{3}, \quad V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}, \quad P_c = a^2\sqrt{3}$$ Kąt między ścianami czworościanu ($\cos \alpha = \frac{1}{3}$). Ostrosłupy, w których jedna krawędź boczna jest prostopadła do podstawy lub je...

Przekroje Brył Płaszczyznami & Pole Rzutu ($P_{\text{rzut}} = P \cdot \cos\alpha$)

Bryły Obrotowe (Walec, Stożek, Kula) & Układy Brył Złożonych

Walec ($V = \pi r^2 H, P_b = 2\pi r H$), stożek ($l^2 = r^2 + H^2, V = \frac{1}{3}\pi r^2 H, P_b = \pi r l$), kula ($V = \frac{4}{3}\pi R^3, P = 4\pi R^2$), kąt rozwarcia stożka. | Kula wpisana i opisana na stożku i walcu, kąt środkowy wycinka kołowego tworzącego powierzchnię ...

Reguła Mnożenia, Dodawania & Zliczanie Liczb o Złożonych Własnościach

Reguła mnożenia i dodawania, zliczanie liczb $n$-cyfrowych o zadanych własnościach (cyfry nie powtarzają się, liczby parzyste, większe od $K$, podzielne przez 5, suma cyfr równa $S$). | Zliczanie z rozbiciem na rozłączne przypadki (np. zero na pozycji jedności vs inna cyfra pa...

Permutacje, Wariacje i Kombinacje – Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ & Kule w Pudłach

Permutacje $P_n = n!$, wariacje bez powtórzeń $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ i z powtórzeniami $\overline{V}_n^k = n^k$. | Kombinacje bez powtórzeń $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, własności symbolu Newtona ($\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, trójkąt Pascala), rozmiesz...

Prawdopodobieństwo Klasyczne, Własności $P(A \cup B)$ & Drzewa Stochastyczne

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$, zdarzenie przeciwne $P(A') = 1 - P(A)$, suma zdarzeń $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, doświadczenia dwuetapowe (tabela, drzewo). | Nierówności probabilistyczne (np. wykaż, że $P(A \cap B) \ge P(A) ...

Prawdopodobieństwo Warunkowe $P(A|B)$ & Niezależność Zdarzeń

Definicja prawdopodobieństwa warunkowego: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad \text{dla } P(B) > 0$$ Zdarzenia stochastycznie niezależne: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Twierdzenie o Prawdopodobieństwie Całkowitym & Wzór Bayesa

Schemat Bernoullego – $k$ Sukcesów w $n$ Próbach & Analiza Rozkładu

Doświadczenie $n$ niezależnych prób dwumianowych, prawdopodobieństwo sukcesu $p$, porażki $q = 1 - p$. - Wzór Bernoullego: $$P_n(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$ - Prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej / co najwyżej $k$ sukcesów. Najbardziej prawdopodobna...

Średnia Arytmetyczna, Ważona & Wyznaczanie Brakujących Danych

Średnia arytmetyczna zestawu danych $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$, średnia ważona $\bar{x}_w = \frac{\sum x_i w_i}{\sum w_i}$, zadania z niewiadomą (np. wyznacz liczbę $x$, jeśli średnia całego zestawu wynosi $S$). | Średnia z danych w szeregu rozdzielczym przedziałowym (przy...

Mediana, Dominanta & Diagramy Częstości w Zadaniach Maturalnych

Mediana ($Me$) dla uporządkowanego zestawu (wartość środkowa dla $n$ nieparzystego, średnia dwóch środkowych dla $n$ parzystego), dominanta ($Do$ – moda), odczytywanie danych z histogramów, diagramów słupkowych i kołowych. | Wyznaczanie brakujących liczb $x, y$ przy podanych j...

Wariancja, Odchylenie Standardowe $\sigma$ & Przekształcenia Liniowe

Rozstęp danych $R = x_{\max} - x_{\min}$, wariancja $\sigma^2$ i odchylenie standardowe $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$: $$\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$$ | Wpływ operacji liniowych na miary rozproszenia: - Dodanie stałej...

Granice Funkcji, Symbole Nieoznaczone & Ciągłość w Punkcie

Granice funkcji w nieskończoności $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$, granice funkcji wymiernych w punkcie $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ (skracanie przez $(x - x_0)$), granice jednostronne, asymptoty pionowe i poziome wykresu, warunek ciągłości funkcji w punkcie: $$\li...

Pochodna Funkcji – Wzory, Pochodna Iloczynu i Ilorazu

Iloraz różnicowy i definicja pochodnej $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$, wzory na pochodne funkcji elementarnych ($(x^n)' = n x^{n-1}, (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}, (\frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$), reguły różniczkowania: $$(f \cdot g)' = f'g +...

Styczna do Wykresu Funkcji & Interpretacja Geometryczna

Monotoniczność i Ekstrema Lokalne (Twierdzenie Fermata & Zmiana Znaku)

Warunek konieczny istnienia ekstremum (Twierdzenie Fermata): $f'(x_0) = 0$. Warunek wystarczający (badanie znaku pochodnej): - Zmiana znaku $f'(x)$ z $+$ na $-$ $\implies$ maksimum lokalne w $x_0$. - Zmiana znaku $f'(x)$ z $-$ na $+$ $\implies$ minimum lokalne w...

Zadania Optymalizacyjne Planimetryczne i Kartezjańskie (Algorytm 5 Kroków)

Zadania Optymalizacyjne Stereometryczne (Bryły Wpisane, Puszki, Minimalne Pola)

Metody Dowodzenia Nierówności Algebraicznych (Suma Kwadratów & AM-GM)

Dowody Podzielnościowe, Reszty z Dzielenia & Dowód Nie Wprost

Dowody w Geometrii Płaskiej (Strategia Kątowa, Okręgi & Relacje Miarowe)