Powrót do katalogu

Lekcja 04: Procenty, Punkty Procentowe, Kapitalizacja & Błędy Szacowania

Dział 01: Liczby Rzeczywiste
120 min
52 pkt (36 zadań)

Lekcja 04: Procenty, Punkty Procentowe, Kapitalizacja & Błędy Szacowania

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2010–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 52 pkt

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

Procenty otwierają każdy arkusz podstawowy (zadania 1–4 za pewne 2–3 pkt). Na poziomie podstawowym kluczowa jest biegłość w mnożnikach procentowych (1 ± p), rozróżnianie punktów procentowych (p.p.) od procentów, kapitalizacja roczna oraz błędy szacowania (bezwzględny i względny). Na poziomie rozszerzonym to modele dynamiki populacji, kapitalizacja podokresowa oraz dowody tożsamości algebraicznych.

3 Kluczowe Patenty

1

Patent 1: Metoda Mnożnika Procentowego ($1 \pm \frac{p}{100}$)

Zamiast żmudnych proporcji mnóż od razu przez współczynnik dziesiętny: podwyżka o p%  ⟹  ⋅(1+p100)p\% \implies \cdot (1 + \frac{p}{100}), obniżka   ⟹  ⋅(1−p100)\implies \cdot (1 - \frac{p}{100}). Dwie kolejne obniżki po 10%10\% to x⋅0,902=0,81xx \cdot 0{,}90^2 = 0{,}81x (obniżka o 19%19\%, a NIE o 20%20\%)!

2

Patent 2: Baza Odniesienia & Różnica w Punktach Procentowych (p.p.)

W pytaniach „o ile procent więcej / mniej” w mianowniku ZAWSZE stoi wartość po słowie „od/niż”: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A - B|}{B} \cdot 100\%. Zmiana stopy z 4%4\% na 5%5\% to bezwzględny wzrost o +1 p.p.+1\text{ p.p.}, ale relatywny wzrost o 5−44⋅100%=25%\frac{5-4}{4} \cdot 100\% = 25\%!

3

Patent 3: Procent Składany & Teoria Błędów Szacowania

Kapitalizacja podokresowa: Kn=K0(1+p100m)nmK_n = K_0(1 + \frac{p}{100m})^{nm}. Błąd bezwzględny: Δx=∣x−x0∣\Delta x = |x - x_0|, błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%. W mianowniku błędu względnego ZAWSZE stoi dokładna wartość teoretyczna xx!

3 Czerwone Flagi

01
  1. Mechaniczne dodawanie procentów kolejnych obniżek/podwyżek (0,80⋅0,70=0,56  ⟹  0{,}80 \cdot 0{,}70 = 0{,}56 \implies spadek o 44%44\%, a NIE o 50%50\%!).
02
  1. Mylenie bazy odniesienia w pytaniach relatywnych (jeśli A=1,25BA = 1{,}25B, to B=0,80AB = 0{,}80A, czyli BB jest mniejsze o 20%20\%, a NIE o 25%25\%!).
03
  1. Utożsamianie punktów procentowych (p.p.) ze zwykłymi procentami (spadek z 4%4\% o 1 p.p.1\text{ p.p.} do 3%3\% to spadek o 25%25\%!).
04
  1. Podstawianie wartości przybliżonej x0x_0 do mianownika w błędzie względnym (wzorzec CKE wymaga bezwzględnie wartości dokładnej xx!).

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Pobierz wideo

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Prędkość:

Rozdziały

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📘 Kompendium Wiedzy: Procenty, Punkty Procentowe, Kapitalizacja & Błędy Szacowania

1. Definicja i Fundamenty Obliczeń Procentowych

Procent (oznaczany symbolem %\% z łac. per centum — „na sto”) to ułamek o mianowniku 100100:

1%=1100=0,011\% = \frac{1}{100} = 0{,}01

  • Obliczanie procentu danej liczby: p%p\% z liczby xx wynosi p100⋅x\frac{p}{100} \cdot x.
  • Obliczanie liczby z danego jej procentu: Jeśli p%p\% liczby xx wynosi bb, to x=bp⋅100x = \frac{b}{p} \cdot 100.
  • Jakim procentem jednej liczby jest druga: Liczba aa stanowi ab⋅100%\frac{a}{b} \cdot 100\% liczby bb (dla b≠0b \neq 0).

2. Metoda Mnożnika Procentowego (1±p1001 \pm \frac{p}{100})

Zamiast tradycyjnych proporcji, każde działanie procentowe reprezentujemy mnożnikiem dziesiętnym:

OperacjaZapis analitycznyMnożnik dziesiętnyPrzykład praktyczny
Podwyżka o p%p\%x⋅(1+p100)x \cdot (1 + \frac{p}{100})np. +20%  ⟹  1,20+20\% \implies 1{,}20200 zł⋅1,20=240 zł200\text{ zł} \cdot 1{,}20 = 240\text{ zł}
Obniżka o p%p\%x⋅(1−p100)x \cdot (1 - \frac{p}{100})np. −15%  ⟹  0,85-15\% \implies 0{,}85850 zł=0,85x  ⟹  x=1000 zł850\text{ zł} = 0{,}85x \implies x = 1000\text{ zł}
Kolejne zmiany cenx⋅(1±p1)(1±p2)x \cdot (1 \pm p_1)(1 \pm p_2)Iloczyn, nie suma!−10%-10\% i −10%  ⟹  0,9⋅0,9=0,81-10\% \implies 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81 (obniżka o 19%19\%)
Netto →\to Brutto (VAT 23%23\%)Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}⋅1,23\cdot 1{,}23Cnetto=Cbrutto1,23C_{\text{netto}} = \frac{C_{\text{brutto}}}{1{,}23}

3. Baza Odniesienia i Punkty Procentowe (p.p.)

Żelazna reguła mianownika:

Wszelkie pytania o zmianę względną („o ile procent więcej / mniej”) wymagają umieszczenia w mianowniku wartości, DO KTÓREJ się odnosimy (występującej po słowie „od” lub „niż”):

  • O ile procent AA jest większe od BB: A−BB⋅100%\frac{A - B}{B} \cdot 100\%
  • O ile procent BB jest mniejsze od AA: A−BA⋅100%\frac{A - B}{A} \cdot 100\%

Punkty procentowe (p.p.):

  • Zmiana bezwzględna (p.p.): Δp=p2−p1\Delta p = p_2 - p_1. Jeśli stopa procentowa wzrosła z 4%4\% do 5%5\%, to wzrost wynosi 1 punkt procentowy1\text{ punkt procentowy} (1 p.p.1\text{ p.p.}).
  • Względny wzrost procentowy (%): 5%−4%4%⋅100%=14⋅100%=25%\frac{5\% - 4\%}{4\%} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%.

4. Matematyka Finansowa: Kapitalizacja i Procent Składany

Gdy odsetki dopisywane są do kapitału i same pracują na dalsze zyski, stosujemy regułę procentu składanego:

Kn=K0⋅(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m}

  • K0K_0 – kapitał początkowy wpłacony na lokatę
  • pp – roczna nominalna stopa procentowa (w procentach)
  • mm – liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku (m=1m=1 roczna, m=2m=2 półroczna, m=4m=4 kwartalna, m=12m=12 miesięczna)
  • nn – czas trwania lokaty w latach (n⋅mn \cdot m to całkowita liczba kapitalizacji)

Podatek od zysków kapitałowych (podatek Belki 19%19\%):

Podatek potrącany jest wyłącznie z wypracowanych odsetek, nie z całego kapitału:

Knetto=K0+0,81⋅Odsetki BruttoK_{\text{netto}} = K_0 + 0{,}81 \cdot \text{Odsetki Brutto}

5. Teoria Błędów Szacowania (Przybliżeń)

Dla wartości dokładnej xx oraz jej przybliżenia x0x_0:

  • Błąd bezwzględny przybliżenia: Δx=∣x−x0∣\Delta x = |x - x_0|
  • Błąd względny przybliżenia: δ=∣x−x0∣x\delta = \frac{|x - x_0|}{x}
  • Błąd względny wyrażony w procentach: δ%=∣x−x0∣x⋅100%\delta\% = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

⚠️ REDFLAG CKE: W mianowniku błędu względnego stoi ZAWSZE wartość dokładna xx, a nie wartość przybliżona x0x_0!

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 04: Procenty, Punkty Procentowe, Kapitalizacja & Błędy Szacowania

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2010–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 52 pkt

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 16 zadań🏆 21 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 21 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Mnożniki i procenty

Cnowa=(1±p)⋅CC_{\text{nowa}} = (1 \pm p) \cdot C · Dwie obniżki: C(1−p1)(1−p2)C(1-p_1)(1-p_2) · Netto/Brutto: Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}

Baza odniesienia i punkty procentowe

Zmiana względna: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A-B|}{B} \cdot 100\% · Punkty procentowe: Δp=p2−p1 p.p.\Delta p = p_2 - p_1\text{ p.p.} · Wzrost relatywny: Δpp1⋅100%\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%

Kapitalizacja i błędy szacowania

Kn=K0(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m} · Błąd bezwzględny: ∣x−x0∣|x - x_0| · Błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent 1: Metoda Mnożnika Procentowego ($1 \pm \frac{p}{100}$)

Zamiast żmudnych proporcji mnóż od razu przez współczynnik dziesiętny: podwyżka o p%  ⟹  ⋅(1+p100)p\% \implies \cdot (1 + \frac{p}{100}), obniżka   ⟹  ⋅(1−p100)\implies \cdot (1 - \frac{p}{100}). Dwie kolejne obniżki po 10%10\% to x⋅0,902=0,81xx \cdot 0{,}90^2 = 0{,}81x (obniżka o 19%19\%, a NIE o 20%20\%)!

2. Patent 2: Baza Odniesienia & Różnica w Punktach Procentowych (p.p.)

W pytaniach „o ile procent więcej / mniej” w mianowniku ZAWSZE stoi wartość po słowie „od/niż”: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A - B|}{B} \cdot 100\%. Zmiana stopy z 4%4\% na 5%5\% to bezwzględny wzrost o +1 p.p.+1\text{ p.p.}, ale relatywny wzrost o 5−44⋅100%=25%\frac{5-4}{4} \cdot 100\% = 25\%!

3. Patent 3: Procent Składany & Teoria Błędów Szacowania

Kapitalizacja podokresowa: Kn=K0(1+p100m)nmK_n = K_0(1 + \frac{p}{100m})^{nm}. Błąd bezwzględny: Δx=∣x−x0∣\Delta x = |x - x_0|, błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%. W mianowniku błędu względnego ZAWSZE stoi dokładna wartość teoretyczna xx!

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01
  1. Mechaniczne dodawanie procentów kolejnych obniżek/podwyżek (0,80⋅0,70=0,56  ⟹  0{,}80 \cdot 0{,}70 = 0{,}56 \implies spadek o 44%44\%, a NIE o 50%50\%!).
02
  1. Mylenie bazy odniesienia w pytaniach relatywnych (jeśli A=1,25BA = 1{,}25B, to B=0,80AB = 0{,}80A, czyli BB jest mniejsze o 20%20\%, a NIE o 25%25\%!).
03
  1. Utożsamianie punktów procentowych (p.p.) ze zwykłymi procentami (spadek z 4%4\% o 1 p.p.1\text{ p.p.} do 3%3\% to spadek o 25%25\%!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie12345678910111213141516
Maks. pkt1111111111111242
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 17 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2018 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 1: Wyznaczanie ceny pierwotnej po obniżce procentowej

Cena roweru po obniżce o 15%15\% była równa 850 zł850\text{ zł}. Przed obniżką ten rower kosztował:

A. 865,00 zł865{,}00\text{ zł}      B. 850,15 zł850{,}15\text{ zł}      C. 1000,00 zł1000{,}00\text{ zł}      D. 977,50 zł977{,}50\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2014 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 2: Obliczanie liczby powiększonej o dany procent

Jeżeli liczba 7878 jest o 50%50\% większa od liczby cc, to:

A. c=60c = 60      B. c=52c = 52      C. c=48c = 48      D. c=39c = 39

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2016 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 3: Obliczanie procentu obniżki ceny

Buty, które kosztowały 220 złotych220\text{ złotych}, przeceniono i sprzedano za 176 złotych176\text{ złotych}. O ile procent obniżono cenę butów?

A. 80%80\%      B. 20%20\%      C. 22%22\%      D. 44%44\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2016 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 4: Porównywanie wielkości za pomocą procentów

Liczby aa i cc są dodatnie. Liczba bb stanowi 48%48\% liczby aa oraz 32%32\% liczby cc. Wynika stąd, że:

A. c=1,5ac = 1{,}5a      B. c=1,6ac = 1{,}6a      C. c=0,8ac = 0{,}8a      D. c=1,25ac = 1{,}25a

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2019 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 5: Rozróżnianie punktów procentowych (p.p.) i procentów (%)

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%4\%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 11 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów w tym banku zmniejszyła się o:

A. 1%1\%      B. 25%25\%      C. 75%75\%      D. 20%20\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 6: Powrót do ceny wyjściowej po obniżce

Cenę xx pewnego towaru obniżono o 20%20\% i otrzymano cenę yy. Aby przywrócić cenę xx, nową cenę yy należy podnieść o:

A. 25%25\%      B. 20%20\%      C. 15%15\%      D. 12%12\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2022 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 7: Dwie kolejne obniżki procentowe

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10%10\% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78 732 zł78\,732\text{ zł}. Cena tej działki przed obiema obniżkami była równa:

A. 80 000 zł80\,000\text{ zł}      B. 97 200 zł97\,200\text{ zł}      C. 98 415 zł98\,415\text{ zł}      D. 100 000 zł100\,000\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 8: Kapitalizacja roczna odsetek (procent składany po 3 latach)

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości K0 złK_0\text{ zł}. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6%6\% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Kwota na tej lokacie po trzech latach (bez uwzględniania podatków) jest równa:
A. K0⋅(1,06)3K_0 \cdot (1{,}06)^3      B. K0⋅(1,6)3K_0 \cdot (1{,}6)^3      C. K0⋅1,18K_0 \cdot 1{,}18      D. K0⋅(1,02)3K_0 \cdot (1{,}02)^3

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2026 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 9: Kapitalizacja dwuletnia z konkretną kwotą początkową

Klient wpłacił do banku 10 000 zł10\,000\text{ zł} na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6%6\% od kwoty bieżącego kapitału.

Kwota na lokacie po dwóch latach jest równa:
A. 10 000⋅(1,06)2 zł10\,000 \cdot (1{,}06)^2\text{ zł}      B. 10 000⋅1,12 zł10\,000 \cdot 1{,}12\text{ zł}      C. 10 000⋅(1,6)2 zł10\,000 \cdot (1{,}6)^2\text{ zł}      D. 10 000⋅(1,03)4 zł10\,000 \cdot (1{,}03)^4\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Lipiec 2020 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 10: Obliczanie błędu bezwzględnego z notacją wykładniczą

Masę Słońca równą 1,989⋅1030 kg1{,}989 \cdot 10^{30}\text{ kg} przybliżono do 2⋅1030 kg2 \cdot 10^{30}\text{ kg}. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy:

A. 0,0011⋅1030 kg0{,}0011 \cdot 10^{30}\text{ kg}      B. 1,1⋅1030 kg1{,}1 \cdot 10^{30}\text{ kg}      C. 0,11⋅1030 kg0{,}11 \cdot 10^{30}\text{ kg}      D. 0,011⋅1030 kg0{,}011 \cdot 10^{30}\text{ kg}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2015 r., Zadanie 22 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 11: Obliczanie błędu względnego wyrażonego w procentach

Liczba 0,30{,}3 jest jednym z przybliżeń liczby 516\frac{5}{16}. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy:

A. 4%4\%      B. 0,04%0{,}04\%      C. 2,5%2{,}5\%      D. 0,025%0{,}025\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2015 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 12: Wyznaczanie ceny netto przy stawce podatku VAT

Przy 2323-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45 018 zł45\,018\text{ zł}. Jaka jest cena netto tego samochodu?

A. 34 663,86 zł34\,663{,}86\text{ zł}      B. 36 600 zł36\,600\text{ zł}      C. 44 995 zł44\,995\text{ zł}      D. 55 372,14 zł55\,372{,}14\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2015 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 13: Kapitalizacja z uwzględnieniem podatku od zysków kapitałowych (podatek Belki 19%)

Kwotę 1000 zł1000\text{ zł} ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4%4\% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%19\%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku można wypłacić z banku, jest równa:

A. 1000⋅(1−0,19⋅0,04)1000 \cdot (1 - 0{,}19 \cdot 0{,}04)      B. 1000⋅(1+0,19⋅0,04)1000 \cdot (1 + 0{,}19 \cdot 0{,}04)
C. 1000⋅(1+0,81⋅0,04)1000 \cdot (1 + 0{,}81 \cdot 0{,}04)      D. 1000⋅(1−0,81⋅0,04)1000 \cdot (1 - 0{,}81 \cdot 0{,}04)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Podstawa
Średnio-trudne (5/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 32 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 14: Zastosowanie procentów w geometrii (zadanie otwarte)

Dany jest trapez o podstawach długości aa oraz bb i wysokości hh. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%25\%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość tego trapezu.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2016 r., Zadanie 33 / Adaptacja (4 pkt)

4 pkt

Umiejętność 15: Złożone równanie wymierne z procentami i prędkością

Samolot przelatuje stałą trasę o długości ss z planowaną prędkością przelotową vv w czasie tt. Z powodu silnego wiatru czołowego prędkość samolotu zmalała o 20%20\%, w wyniku czego czas przelotu wydłużył się o 30 minut30\text{ minut}.

a) Oblicz, o ile procent wydłużył się czas przelotu w stosunku do planowanego czasu tt.
b) Wyznacz planowany czas przelotu tt (w godzinach).

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 4 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Zaawansowane (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2025 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 16: Model dynamiki wzrostu populacji z procentowym współczynnikiem przyrostu

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność populacji po tt dobach od rozpoczęcia obserwacji opisuje funkcja wykładnicza N(t)=N0⋅2t3N(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{3}}, gdzie N0N_0 to liczebność początkowa.

Oblicz, o ile procent wzrasta liczebność tej populacji po upływie każdych kolejnych 66 dób w stosunku do stanu z początku tego okresu.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 04: Procenty, Punkty Procentowe, Kapitalizacja & Błędy Szacowania

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2010–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 52 pkt

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 16 zadań🏆 21 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 21 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Mnożniki i procenty

Cnowa=(1±p)⋅CC_{\text{nowa}} = (1 \pm p) \cdot C · Dwie obniżki: C(1−p1)(1−p2)C(1-p_1)(1-p_2) · Netto/Brutto: Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}

Baza odniesienia i punkty procentowe

Zmiana względna: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A-B|}{B} \cdot 100\% · Punkty procentowe: Δp=p2−p1 p.p.\Delta p = p_2 - p_1\text{ p.p.} · Wzrost relatywny: Δpp1⋅100%\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%

Kapitalizacja i błędy szacowania

Kn=K0(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m} · Błąd bezwzględny: ∣x−x0∣|x - x_0| · Błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent 1: Metoda Mnożnika Procentowego ($1 \pm \frac{p}{100}$)

Zamiast żmudnych proporcji mnóż od razu przez współczynnik dziesiętny: podwyżka o p%  ⟹  ⋅(1+p100)p\% \implies \cdot (1 + \frac{p}{100}), obniżka   ⟹  ⋅(1−p100)\implies \cdot (1 - \frac{p}{100}). Dwie kolejne obniżki po 10%10\% to x⋅0,902=0,81xx \cdot 0{,}90^2 = 0{,}81x (obniżka o 19%19\%, a NIE o 20%20\%)!

2. Patent 2: Baza Odniesienia & Różnica w Punktach Procentowych (p.p.)

W pytaniach „o ile procent więcej / mniej” w mianowniku ZAWSZE stoi wartość po słowie „od/niż”: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A - B|}{B} \cdot 100\%. Zmiana stopy z 4%4\% na 5%5\% to bezwzględny wzrost o +1 p.p.+1\text{ p.p.}, ale relatywny wzrost o 5−44⋅100%=25%\frac{5-4}{4} \cdot 100\% = 25\%!

3. Patent 3: Procent Składany & Teoria Błędów Szacowania

Kapitalizacja podokresowa: Kn=K0(1+p100m)nmK_n = K_0(1 + \frac{p}{100m})^{nm}. Błąd bezwzględny: Δx=∣x−x0∣\Delta x = |x - x_0|, błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%. W mianowniku błędu względnego ZAWSZE stoi dokładna wartość teoretyczna xx!

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01
  1. Mechaniczne dodawanie procentów kolejnych obniżek/podwyżek (0,80⋅0,70=0,56  ⟹  0{,}80 \cdot 0{,}70 = 0{,}56 \implies spadek o 44%44\%, a NIE o 50%50\%!).
02
  1. Mylenie bazy odniesienia w pytaniach relatywnych (jeśli A=1,25BA = 1{,}25B, to B=0,80AB = 0{,}80A, czyli BB jest mniejsze o 20%20\%, a NIE o 25%25\%!).
03
  1. Utożsamianie punktów procentowych (p.p.) ze zwykłymi procentami (spadek z 4%4\% o 1 p.p.1\text{ p.p.} do 3%3\% to spadek o 25%25\%!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie12345678910111213141516
Maks. pkt1111111111111242
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 17 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2018 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 1: Wyznaczanie ceny pierwotnej po obniżce procentowej

Cena roweru po obniżce o 15%15\% była równa 850 zł850\text{ zł}. Przed obniżką ten rower kosztował:

A. 865,00 zł865{,}00\text{ zł}      B. 850,15 zł850{,}15\text{ zł}      C. 1000,00 zł1000{,}00\text{ zł}      D. 977,50 zł977{,}50\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Mnożnik procentowy obniżki: Cena po obniżce o p%p\% wynosi (1−p100)⋅x(1 - \frac{p}{100}) \cdot x

Strategia

  1. Oznacz cenę początkową jako xx.
    2. Obniżka o 15%15\% oznacza, że zapłacono 85%85\% ceny początkowej: 0,85x=8500{,}85x = 850.
    3. Podziel obustronnie przez 0,850{,}85: x=8500,85=1000 złx = \frac{850}{0{,}85} = 1000\text{ zł}.

Pełne obliczenia

  1. Układamy równanie ze współczynnikiem procentowym:
       0,85⋅x=8500{,}85 \cdot x = 850
    2. Wyznaczamy xx:
       x=8500,85=8500085=1000 złx = \frac{850}{0{,}85} = \frac{85000}{85} = 1000\text{ zł}
    Poprawna odpowiedź: C (1000,00 zł1000{,}00\text{ zł})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Dodanie 15%15\% do ceny 850 zł850\text{ zł} (850⋅1,15=977,50 zł850 \cdot 1{,}15 = 977{,}50\text{ zł}) — to kardynalny błąd błędnej bazy odniesienia!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2014 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 2: Obliczanie liczby powiększonej o dany procent

Jeżeli liczba 7878 jest o 50%50\% większa od liczby cc, to:

A. c=60c = 60      B. c=52c = 52      C. c=48c = 48      D. c=39c = 39

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzrost o p%p\%: y=(1+p100)⋅c=1,50⋅cy = (1 + \frac{p}{100}) \cdot c = 1{,}50 \cdot c

Strategia

  1. Liczba o 50%50\% większa od cc to 1,5c1{,}5c.
    2. Przyrównaj do 7878: 1,5c=781{,}5c = 78.
    3. Oblicz c=78:1,5=52c = 78 : 1{,}5 = 52.

Pełne obliczenia

  1. Zapisujemy warunek zadania:
       78=c+0,5c=1,5c78 = c + 0{,}5c = 1{,}5c
    2. Dzielimy przez 1,51{,}5 (czyli mnożymy przez 23\frac{2}{3}):
       c=781,5=78⋅23=26⋅2=52c = \frac{78}{1{,}5} = 78 \cdot \frac{2}{3} = 26 \cdot 2 = 52
    Poprawna odpowiedź: B (c=52c = 52)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Obliczenie 50%50\% z liczby 7878 i odjęcie (78−39=3978 - 39 = 39, opcja D) — bazą procentową jest liczba cc, a nie 7878!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2016 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 3: Obliczanie procentu obniżki ceny

Buty, które kosztowały 220 złotych220\text{ złotych}, przeceniono i sprzedano za 176 złotych176\text{ złotych}. O ile procent obniżono cenę butów?

A. 80%80\%      B. 20%20\%      C. 22%22\%      D. 44%44\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Procentowa zmiana wartości: ∣xnowa−xstara∣xstara⋅100%\frac{|x_{\text{nowa}} - x_{\text{stara}}|}{x_{\text{stara}}} \cdot 100\%

Strategia

  1. Oblicz kwotę obniżki: 220−176=44 zł220 - 176 = 44\text{ zł}.
    2. Odnieś kwotę obniżki do ceny pierwotnej (220 zł220\text{ zł}): 44220\frac{44}{220}.
    3. Zamień na procenty: 44220=15=20%\frac{44}{220} = \frac{1}{5} = 20\%.

Pełne obliczenia

  1. Kwota obniżki wynosi:
       ΔC=220−176=44 zł\Delta C = 220 - 176 = 44\text{ zł}
    2. Obliczamy procent obniżki względem ceny początkowej:
       p=44220⋅100%=15⋅100%=20%p = \frac{44}{220} \cdot 100\% = \frac{1}{5} \cdot 100\% = 20\%
    Poprawna odpowiedź: B (20%20\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Pomylenie nowej ceny ze starą w mianowniku: 44176=25%\frac{44}{176} = 25\%. W mianowniku ZAWSZE stoi cena PRZED obniżką!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2016 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 4: Porównywanie wielkości za pomocą procentów

Liczby aa i cc są dodatnie. Liczba bb stanowi 48%48\% liczby aa oraz 32%32\% liczby cc. Wynika stąd, że:

A. c=1,5ac = 1{,}5a      B. c=1,6ac = 1{,}6a      C. c=0,8ac = 0{,}8a      D. c=1,25ac = 1{,}25a

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Zapis procentowy: b=0,48ab = 0{,}48a oraz b=0,32cb = 0{,}32c

Strategia

  1. Przyrównaj oba wyrażenia opisujące bb: 0,32c=0,48a0{,}32c = 0{,}48a.
    2. Podziel obustronnie przez 0,320{,}32: c=0,480,32ac = \frac{0{,}48}{0{,}32}a.
    3. Uprość ułamek: 4832=32=1,5\frac{48}{32} = \frac{3}{2} = 1{,}5.

Pełne obliczenia

  1. Zapisujemy układ zależności:
       b=0,48aorazb=0,32cb = 0{,}48a \quad \text{oraz} \quad b = 0{,}32c
    2. Ponieważ lewe strony są równe, przyrównujemy prawe strony:
       0,32c=0,48a0{,}32c = 0{,}48a
    3. Wyznaczamy cc w zależności od aa:
       c=0,480,32a=4832a=32a=1,5ac = \frac{0{,}48}{0{,}32}a = \frac{48}{32}a = \frac{3}{2}a = 1{,}5a
    Poprawna odpowiedź: A (c=1,5ac = 1{,}5a)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne odwrócenie ilorazu (a=3248c=23ca = \frac{32}{48}c = \frac{2}{3}c) i pomylenie zmiennej po lewej stronie równania.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2019 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 5: Rozróżnianie punktów procentowych (p.p.) i procentów (%)

W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa 4%4\%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o 11 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów w tym banku zmniejszyła się o:

A. 1%1\%      B. 25%25\%      C. 75%75\%      D. 20%20\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Punkty procentowe (bezwzględne): Δp=4%−3%=1 p.p.\Delta p = 4\% - 3\% = 1\text{ p.p.}
• Względna zmiana procentowa: δ=Δppstara⋅100%\delta = \frac{\Delta p}{p_{\text{stara}}} \cdot 100\%

Strategia

  1. Początkowa stawka: 4%4\%.
    2. Obniżka o 1 p.p.1\text{ p.p.} oznacza nową stawkę: 4%−1%=3%4\% - 1\% = 3\%.
    3. Spadek relatywny to stosunek zmiany do wartości wyjściowej: 1%4%=25%\frac{1\%}{4\%} = 25\%.

Pełne obliczenia

  1. Prowizja początkowa wynosiła 4%4\%.
    2. Obniżka o 1 punkt procentowy1\text{ punkt procentowy} daje nową prowizję 3%3\%.
    3. Obliczamy, o ile procent zmniejszyła się prowizja:
       4%−3%4%⋅100%=14⋅100%=25%\frac{4\% - 3\%}{4\%} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%
    Poprawna odpowiedź: B (25%25\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zaznaczenie odpowiedzi A (1%1\%) — to najpowszechniejsza pułapka maturalna polegająca na myleniu punktów procentowych z procentem względnym!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 6: Powrót do ceny wyjściowej po obniżce

Cenę xx pewnego towaru obniżono o 20%20\% i otrzymano cenę yy. Aby przywrócić cenę xx, nową cenę yy należy podnieść o:

A. 25%25\%      B. 20%20\%      C. 15%15\%      D. 12%12\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Związek cen: y=0,80⋅x  ⟺  x=10,80⋅y=1,25⋅yy = 0{,}80 \cdot x \iff x = \frac{1}{0{,}80} \cdot y = 1{,}25 \cdot y

Strategia

  1. Wyraź nową cenę przez starą: y=0,8xy = 0{,}8x.
    2. Wyznacz starą cenę przez nową: x=y0,8=1,25yx = \frac{y}{0{,}8} = 1{,}25y.
    3. Zauważ, że mnożnik 1,251{,}25 oznacza podwyżkę o 25%25\%.

Pełne obliczenia

  1. Cena po obniżce o 20%20\% wynosi:
       y=0,8x=45xy = 0{,}8x = \frac{4}{5}x
    2. Wyznaczamy xx jako funkcję yy:
       x=54y=1,25y=(1+0,25)yx = \frac{5}{4}y = 1{,}25y = (1 + 0{,}25)y
    3. Oznacza to, że nową cenę yy należy podnieść o 25%25\%.
    Poprawna odpowiedź: A (25%25\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zaznaczenie opcji B (20%20\%). Podwyżka o 20%20\% z nowej, niższej ceny nie przywraca ceny początkowej (0,8⋅1,2=0,96≠10{,}8 \cdot 1{,}2 = 0{,}96 \neq 1)!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2022 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 7: Dwie kolejne obniżki procentowe

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o 10%10\% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa 78 732 zł78\,732\text{ zł}. Cena tej działki przed obiema obniżkami była równa:

A. 80 000 zł80\,000\text{ zł}      B. 97 200 zł97\,200\text{ zł}      C. 98 415 zł98\,415\text{ zł}      D. 100 000 zł100\,000\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Dwie kolejne obniżki: Ckonˊcowa=x⋅(1−0,10)⋅(1−0,10)=0,81⋅xC_{\text{końcowa}} = x \cdot (1 - 0{,}10) \cdot (1 - 0{,}10) = 0{,}81 \cdot x

Strategia

  1. Zapisz równanie podwójnego mnożnika: 0,9⋅0,9⋅x=78 7320{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot x = 78\,732.
    2. Oblicz łączny współczynnik: 0,81x=78 7320{,}81x = 78\,732.
    3. Podziel 78 732:0,81=97 200 zł78\,732 : 0{,}81 = 97\,200\text{ zł}.

Pełne obliczenia

  1. Po pierwszej obniżce cena wynosiła 0,9x0{,}9x, a po drugiej obniżce 0,9⋅0,9x=0,81x0{,}9 \cdot 0{,}9x = 0{,}81x.
    2. Układamy równanie:
       0,81x=78 7320{,}81x = 78\,732
    3. Dzielimy obustronnie przez 0,810{,}81:
       x=78 7320,81=7 873 20081=97 200 złx = \frac{78\,732}{0{,}81} = \frac{7\,873\,200}{81} = 97\,200\text{ zł}
    Poprawna odpowiedź: B (97 200 zł97\,200\text{ zł})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Uznanie, że dwie obniżki po 10%10\% to obniżka o 20%20\%, i dzielenie przez 0,800{,}80 (78732/0,8=98415 zł78732 / 0{,}8 = 98415\text{ zł}, opcja C). Procenty z kolejnych etapów się NIE sumują!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 8: Kapitalizacja roczna odsetek (procent składany po 3 latach)

Klient wpłacił do banku na trzyletnią lokatę kwotę w wysokości K0 złK_0\text{ zł}. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6%6\% od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie.

Kwota na tej lokacie po trzech latach (bez uwzględniania podatków) jest równa:
A. K0⋅(1,06)3K_0 \cdot (1{,}06)^3      B. K0⋅(1,6)3K_0 \cdot (1{,}6)^3      C. K0⋅1,18K_0 \cdot 1{,}18      D. K0⋅(1,02)3K_0 \cdot (1{,}02)^3

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzór na procent składany: Kn=K0⋅(1+p100)nK_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Strategia

  1. Podstaw dane do wzoru CKE: p=6p = 6, n=3n = 3.
    2. Mnożnik roczny wynosi 1+6100=1,061 + \frac{6}{100} = 1{,}06.
    3. Po trzech latach kapitał wynosi K0⋅(1,06)3K_0 \cdot (1{,}06)^3.

Pełne obliczenia

  1. Po pierwszym roku kapitał wynosi K1=K0⋅1,06K_1 = K_0 \cdot 1{,}06.
    2. Po drugim roku: K2=K1⋅1,06=K0⋅(1,06)2K_2 = K_1 \cdot 1{,}06 = K_0 \cdot (1{,}06)^2.
    3. Po trzecim roku: K3=K2⋅1,06=K0⋅(1,06)3K_3 = K_2 \cdot 1{,}06 = K_0 \cdot (1{,}06)^3.
    Poprawna odpowiedź: A (K0⋅(1,06)3K_0 \cdot (1{,}06)^3)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zastosowanie procentu prostego K3=K0⋅(1+3⋅0,06)=1,18K0K_3 = K_0 \cdot (1 + 3 \cdot 0{,}06) = 1{,}18 K_0 (opcja C) — kapitalizacja oznacza doliczanie odsetek do kapitału bieżącego!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2026 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 9: Kapitalizacja dwuletnia z konkretną kwotą początkową

Klient wpłacił do banku 10 000 zł10\,000\text{ zł} na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości 6%6\% od kwoty bieżącego kapitału.

Kwota na lokacie po dwóch latach jest równa:
A. 10 000⋅(1,06)2 zł10\,000 \cdot (1{,}06)^2\text{ zł}      B. 10 000⋅1,12 zł10\,000 \cdot 1{,}12\text{ zł}      C. 10 000⋅(1,6)2 zł10\,000 \cdot (1{,}6)^2\text{ zł}      D. 10 000⋅(1,03)4 zł10\,000 \cdot (1{,}03)^4\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzór na kapitał końcowy: Kn=K0⋅(1+p100)nK_n = K_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n

Strategia

  1. Wartość początkowa K0=10 000K_0 = 10\,000, p=6%p = 6\%, okres n=2n = 2 lata.
    2. Mnożnik po każdym roku to 1,061{,}06.
    3. Kapitał po 2 latach: 10 000⋅(1,06)210\,000 \cdot (1{,}06)^2.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy wzór na procent składany:
       K2=K0⋅(1+p100)2=10 000⋅(1,06)2K_2 = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = 10\,000 \cdot (1{,}06)^2
    2. Wartość liczbowa to 10 000⋅1,1236=11 236 zł10\,000 \cdot 1{,}1236 = 11\,236\text{ zł}.
    Poprawna odpowiedź: A (10 000⋅(1,06)2 zł10\,000 \cdot (1{,}06)^2\text{ zł})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Wybór opcji B (1,121{,}12), czyli policzenie 2⋅6%=12%2 \cdot 6\% = 12\% procentem prostym.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Lipiec 2020 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 10: Obliczanie błędu bezwzględnego z notacją wykładniczą

Masę Słońca równą 1,989⋅1030 kg1{,}989 \cdot 10^{30}\text{ kg} przybliżono do 2⋅1030 kg2 \cdot 10^{30}\text{ kg}. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy:

A. 0,0011⋅1030 kg0{,}0011 \cdot 10^{30}\text{ kg}      B. 1,1⋅1030 kg1{,}1 \cdot 10^{30}\text{ kg}      C. 0,11⋅1030 kg0{,}11 \cdot 10^{30}\text{ kg}      D. 0,011⋅1030 kg0{,}011 \cdot 10^{30}\text{ kg}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Definicja błędu bezwzględnego: Δx=∣x−x0∣\Delta x = |x - x_0|

Strategia

  1. Wartość dokładna: x=1,989⋅1030x = 1{,}989 \cdot 10^{30}.
    2. Przybliżenie: x0=2⋅1030x_0 = 2 \cdot 10^{30}.
    3. Oblicz różnicę modułową: ∣1,989⋅1030−2⋅1030∣=(2−1,989)⋅1030=0,011⋅1030|1{,}989 \cdot 10^{30} - 2 \cdot 10^{30}| = (2 - 1{,}989) \cdot 10^{30} = 0{,}011 \cdot 10^{30}.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy definicję błędu bezwzględnego:
       Δx=∣x−x0∣=∣1,989⋅1030−2,000⋅1030∣\Delta x = |x - x_0| = |1{,}989 \cdot 10^{30} - 2{,}000 \cdot 10^{30}|
    2. Wyłączamy wspólny czynnik 103010^{30}:
       Δx=∣1,989−2,000∣⋅1030=∣−0,011∣⋅1030=0,011⋅1030 kg\Delta x = |1{,}989 - 2{,}000| \cdot 10^{30} = |-0{,}011| \cdot 10^{30} = 0{,}011 \cdot 10^{30}\text{ kg}
    Poprawna odpowiedź: D (0,011⋅1030 kg0{,}011 \cdot 10^{30}\text{ kg})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne odejmowanie w pamięci 2−1,989=0,00112 - 1{,}989 = 0{,}0011 (brakujące zero w ułamku dziesiętnym, opcja A).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2015 r., Zadanie 22 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 11: Obliczanie błędu względnego wyrażonego w procentach

Liczba 0,30{,}3 jest jednym z przybliżeń liczby 516\frac{5}{16}. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy:

A. 4%4\%      B. 0,04%0{,}04\%      C. 2,5%2{,}5\%      D. 0,025%0{,}025\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%, gdzie xx to wartość dokładna, a x0x_0 to przybliżenie

Strategia

  1. Zamień ułamek zwykły na dziesiętny: 516=0,3125\frac{5}{16} = 0{,}3125.
    2. Oblicz błąd bezwzględny: ∣0,3125−0,3∣=0,0125|0{,}3125 - 0{,}3| = 0{,}0125.
    3. Podziel przez wartość dokładną: 0,01250,3125=1253125=125=0,04=4%\frac{0{,}0125}{0{,}3125} = \frac{125}{3125} = \frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%.

Pełne obliczenia

  1. Wartość dokładna to x=516=0,3125x = \frac{5}{16} = 0{,}3125, a przybliżenie to x0=0,3x_0 = 0{,}3.
    2. Błąd bezwzględny:
       Δx=∣0,3125−0,3∣=0,0125\Delta x = |0{,}3125 - 0{,}3| = 0{,}0125
    3. Błąd względny wyrażony w procentach:
       δ=Δxx⋅100%=0,01250,3125⋅100%=1253125⋅100%=125⋅100%=4%\delta = \frac{\Delta x}{x} \cdot 100\% = \frac{0{,}0125}{0{,}3125} \cdot 100\% = \frac{125}{3125} \cdot 100\% = \frac{1}{25} \cdot 100\% = 4\%
    Poprawna odpowiedź: A (4%4\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Podzielenie przez przybliżenie 0,30{,}3 zamiast przez dokładną wartość 516\frac{5}{16} lub pomylenie ułamka 0,040{,}04 z 0,04%0{,}04\% (opcja B) — pomnożenie przez 100%100\% daje 4%4\%, a nie 0,04%0{,}04\%!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2015 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 12: Wyznaczanie ceny netto przy stawce podatku VAT

Przy 2323-procentowej stawce podatku VAT cena brutto samochodu jest równa 45 018 zł45\,018\text{ zł}. Jaka jest cena netto tego samochodu?

A. 34 663,86 zł34\,663{,}86\text{ zł}      B. 36 600 zł36\,600\text{ zł}      C. 44 995 zł44\,995\text{ zł}      D. 55 372,14 zł55\,372{,}14\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Zależność Netto-Brutto: Cbrutto=Cnetto⋅(1+VAT100)=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = C_{\text{netto}} \cdot (1 + \frac{\text{VAT}}{100}) = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}

Strategia

  1. Zapisz równanie: 1,23⋅Cnetto=45 0181{,}23 \cdot C_{\text{netto}} = 45\,018.
    2. Wyznacz cenę netto dzieląc przez 1,231{,}23: Cnetto=450181,23C_{\text{netto}} = \frac{45018}{1{,}23}.
    3. Oblicz wynik: 36 600 zł36\,600\text{ zł}.

Pełne obliczenia

  1. Cena brutto to cena netto powiększona o 23%23\% podatku VAT:
       Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}
    2. Wyznaczamy cenę netto:
       Cnetto=45 0181,23=4 501 800123=36 600 złC_{\text{netto}} = \frac{45\,018}{1{,}23} = \frac{4\,501\,800}{123} = 36\,600\text{ zł}
    3. Sprawdzenie: 36 600⋅1,23=36 600+8 418=45 018 zł36\,600 \cdot 1{,}23 = 36\,600 + 8\,418 = 45\,018\text{ zł}.
    Poprawna odpowiedź: B (36 600 zł36\,600\text{ zł})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Obliczenie 23%23\% z ceny brutto i odjęcie: 45018−0,23⋅45018=34 663,86 zł45018 - 0{,}23 \cdot 45018 = 34\,663{,}86\text{ zł} (opcja A) — podatek VAT jest zawsze naliczany od ceny NETTO, a nie brutto!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2015 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 13: Kapitalizacja z uwzględnieniem podatku od zysków kapitałowych (podatek Belki 19%)

Kwotę 1000 zł1000\text{ zł} ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4%4\% w stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%19\%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku można wypłacić z banku, jest równa:

A. 1000⋅(1−0,19⋅0,04)1000 \cdot (1 - 0{,}19 \cdot 0{,}04)      B. 1000⋅(1+0,19⋅0,04)1000 \cdot (1 + 0{,}19 \cdot 0{,}04)
C. 1000⋅(1+0,81⋅0,04)1000 \cdot (1 + 0{,}81 \cdot 0{,}04)      D. 1000⋅(1−0,81⋅0,04)1000 \cdot (1 - 0{,}81 \cdot 0{,}04)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Odsetki brutto: O=K0⋅p100O = K_0 \cdot \frac{p}{100}
• Odsetki netto po podatku 19%19\%: Onetto=O⋅(1−0,19)=O⋅0,81O_{\text{netto}} = O \cdot (1 - 0{,}19) = O \cdot 0{,}81

Strategia

  1. Oblicz odsetki brutto: 1000⋅0,041000 \cdot 0{,}04.
    2. Ponieważ podatek wynosi 19%19\%, z odsetek zostaje 100%−19%=81%=0,81100\% - 19\% = 81\% = 0{,}81.
    3. Zysk netto: 0,81⋅0,04⋅10000{,}81 \cdot 0{,}04 \cdot 1000.
    4. Całkowita wypłata: 1000+1000⋅(0,81⋅0,04)=1000(1+0,81⋅0,04)1000 + 1000 \cdot (0{,}81 \cdot 0{,}04) = 1000(1 + 0{,}81 \cdot 0{,}04).

Pełne obliczenia

  1. Bank nalicza odsetki w wysokości 4%4\% z 1000 zł1000\text{ zł}:
       O=1000⋅0,04O = 1000 \cdot 0{,}04
    2. Podatek wynosi 19%19\% od odsetek, zatem klient otrzymuje 81%81\% wypracowanych odsetek:
       Onetto=0,81⋅O=0,81⋅0,04⋅1000O_{\text{netto}} = 0{,}81 \cdot O = 0{,}81 \cdot 0{,}04 \cdot 1000
    3. Wypłacana kwota to kapitał początkowy powiększony o odsetki netto:
       K=1000+1000⋅(0,81⋅0,04)=1000⋅(1+0,81⋅0,04)K = 1000 + 1000 \cdot (0{,}81 \cdot 0{,}04) = 1000 \cdot (1 + 0{,}81 \cdot 0{,}04)
    Poprawna odpowiedź: C

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Odjęcie podatku od całego kapitału zamiast od samych odsetek (opcja A lub D).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Podstawa
Średnio-trudne (5/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 32 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 14: Zastosowanie procentów w geometrii (zadanie otwarte)

Dany jest trapez o podstawach długości aa oraz bb i wysokości hh. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%25\%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość tego trapezu.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Pole trapezu wyjściowego: P=a+b2⋅hP = \frac{a + b}{2} \cdot h
• Nowe podstawy: a′=1,25aa' = 1{,}25a, b′=1,25bb' = 1{,}25b

Strategia

  1. Zapisz pole trapezu początkowego P=a+b2⋅hP = \frac{a+b}{2} \cdot h.
    2. Wyznacz sumę nowych podstaw: a′+b′=1,25(a+b)a' + b' = 1{,}25(a + b).
    3. Zapisz warunek równości pól: 1,25(a+b)2⋅h′=a+b2⋅h\frac{1{,}25(a+b)}{2} \cdot h' = \frac{a+b}{2} \cdot h.
    4. Uprość i wyznacz h′=h1,25=0,8hh' = \frac{h}{1{,}25} = 0{,}8h.
    5. Oblicz zmianę procentową: 1−0,8=0,2=20%1 - 0{,}8 = 0{,}2 = 20\%.

Pełne obliczenia

  1. Pole wyjściowego trapezu:
       P=a+b2⋅hP = \frac{a + b}{2} \cdot h
    2. Podstawy nowego trapezu po wydłużeniu o 25%25\%:
       a′=1,25a,b′=1,25b  ⟹  a′+b′=1,25(a+b)a' = 1{,}25a, \quad b' = 1{,}25b \implies a' + b' = 1{,}25(a + b)
    3. Pole nowego trapezu o wysokości h′h' wynosi:
       P′=a′+b′2⋅h′=1,25(a+b)2⋅h′=1,25⋅(a+b2)⋅h′P' = \frac{a' + b'}{2} \cdot h' = \frac{1{,}25(a + b)}{2} \cdot h' = 1{,}25 \cdot \left(\frac{a + b}{2}\right) \cdot h'
    4. Ponieważ pole nie uległo zmianie (P′=PP' = P):
       1,25⋅a+b2⋅h′=a+b2⋅h1{,}25 \cdot \frac{a + b}{2} \cdot h' = \frac{a + b}{2} \cdot h
       1,25⋅h′=h  ⟹  h′=h1,25=h54=45h=0,80h1{,}25 \cdot h' = h \implies h' = \frac{h}{1{,}25} = \frac{h}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}h = 0{,}80h
    5. Nowa wysokość stanowi 80%80\% wysokości początkowej, zatem wysokość skrócono o:
       100%−80%=20%100\% - 80\% = 20\%
    Odpowiedź: Wysokość trapezu skrócono o 20%20\%.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne założenie, że skoro podstawy wydłużono o 25%25\%, to wysokość należy skrócić również o 25%25\%. Zmiana wynosi 20%20\%, ponieważ bazą jest powiększona suma podstaw!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2016 r., Zadanie 33 / Adaptacja (4 pkt)

4 pkt

Umiejętność 15: Złożone równanie wymierne z procentami i prędkością

Samolot przelatuje stałą trasę o długości ss z planowaną prędkością przelotową vv w czasie tt. Z powodu silnego wiatru czołowego prędkość samolotu zmalała o 20%20\%, w wyniku czego czas przelotu wydłużył się o 30 minut30\text{ minut}.

a) Oblicz, o ile procent wydłużył się czas przelotu w stosunku do planowanego czasu tt.
b) Wyznacz planowany czas przelotu tt (w godzinach).

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Droga w ruchu jednostajnym: s=v⋅ts = v \cdot t
• Prędkość rzeczywista: v1=0,80vv_1 = 0{,}80v
• Czas rzeczywisty: t1=t+0,5 ht_1 = t + 0{,}5\text{ h}

Strategia

  1. Zapisz równość dróg: s=v⋅t=v1⋅t1s = v \cdot t = v_1 \cdot t_1.
    2. Podstaw v1=0,8vv_1 = 0{,}8v: v⋅t=0,8v⋅t1v \cdot t = 0{,}8v \cdot t_1.
    3. Wyznacz t1=t0,8=1,25tt_1 = \frac{t}{0{,}8} = 1{,}25t, co oznacza wydłużenie czasu o 25%25\%.
    4. Przyrównaj przyrost czasu 0,25t0{,}25t do 0,5 h0{,}5\text{ h} i oblicz tt.

Pełne obliczenia

  1. Trasa przelotu jest stała, zatem droga początkowa równa się drodze przy wietrze:
       s=v⋅t=v1⋅t1s = v \cdot t = v_1 \cdot t_1
    2. Skoro prędkość zmalała o 20%20\%, to v1=0,80vv_1 = 0{,}80v. Podstawiamy:
       v⋅t=0,80v⋅t1v \cdot t = 0{,}80v \cdot t_1
       t=0,80t1  ⟹  t1=10,80t=1,25tt = 0{,}80 t_1 \implies t_1 = \frac{1}{0{,}80} t = 1{,}25 t
    3. Odpowiedź a): Czas przelotu wydłużył się o 1,25t−t=0,25t1{,}25t - t = 0{,}25t, czyli o 25%25\%.

    4. Rozwiązanie b): Różnica czasu wynosi 30 minut=0,5 h30\text{ minut} = 0{,}5\text{ h}:
       t1−t=0,5t_1 - t = 0{,}5
       1,25t−t=0,5  ⟹  0,25t=0,51{,}25t - t = 0{,}5 \implies 0{,}25t = 0{,}5
       t=0,50,25=2 godzinyt = \frac{0{,}5}{0{,}25} = 2\text{ godziny}
    Odpowiedź b): Planowany czas przelotu wynosił 2 godziny2\text{ godziny}.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Założenie, że spadek prędkości o 20%20\% powoduje wzrost czasu o 20%20\%. Zależność między prędkością a czasem jest odwrotnie proporcjonalna (t∼1vt \sim \frac{1}{v}), więc spadek prędkości o 20%20\% (0,80{,}8) wydłuża czas o 10,8−1=25%\frac{1}{0{,}8} - 1 = 25\%!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 4 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Zaawansowane (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2025 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 16: Model dynamiki wzrostu populacji z procentowym współczynnikiem przyrostu

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność populacji po tt dobach od rozpoczęcia obserwacji opisuje funkcja wykładnicza N(t)=N0⋅2t3N(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{3}}, gdzie N0N_0 to liczebność początkowa.

Oblicz, o ile procent wzrasta liczebność tej populacji po upływie każdych kolejnych 66 dób w stosunku do stanu z początku tego okresu.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzór na liczebność: N(t)=N0⋅2t3N(t) = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{3}}
• Wzrost po 66 dobach: iloraz N(t+6)N(t)\frac{N(t + 6)}{N(t)}

Strategia

  1. Zbadaj iloraz N(t+6)N(t)\frac{N(t + 6)}{N(t)}.
    2. Zastosuj prawa działań na potęgach: 2t+63=2t3+2=2t3⋅22=4⋅2t32^{\frac{t+6}{3}} = 2^{\frac{t}{3} + 2} = 2^{\frac{t}{3}} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{\frac{t}{3}}.
    3. Iloraz wynosi 44, co oznacza, że populacja staje się 44-krotnie większa.
    4. Oblicz wzrost procentowy: (4−1)⋅100%=300%(4 - 1) \cdot 100\% = 300\%.

Pełne obliczenia

  1. Wyznaczamy liczebność populacji po kolejnych 66 dobach (t+6t + 6):
       N(t+6)=N0⋅2t+63=N0⋅2t3+2N(t + 6) = N_0 \cdot 2^{\frac{t + 6}{3}} = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{3} + 2}
    2. Rozbijamy potęgę sumy na iloczyn potęg:
       N0⋅2t3+2=N0⋅2t3⋅22=N(t)⋅4N_0 \cdot 2^{\frac{t}{3} + 2} = N_0 \cdot 2^{\frac{t}{3}} \cdot 2^2 = N(t) \cdot 4
    3. Iloraz liczebności wynosi:
       N(t+6)N(t)=4\frac{N(t + 6)}{N(t)} = 4
    4. Obliczamy, o ile procent wzrosła liczebność:
       N(t+6)−N(t)N(t)⋅100%=(4−1)⋅100%=300%\frac{N(t + 6) - N(t)}{N(t)} \cdot 100\% = (4 - 1) \cdot 100\% = 300\%
    Odpowiedź: Liczebność populacji wzrasta o 300%300\%.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne podanie odpowiedzi 400%400\% zamiast 300%300\%. Populacja jest 44-krotnie większa (stanowi 400%400\% stanu wyjściowego), ale WZRASTA o 400%−100%=300%400\% - 100\% = 300\%!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 04: Procenty, Punkty Procentowe, Kapitalizacja & Błędy Szacowania

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2010–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 52 pkt

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 20 zadań🏆 31 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 31 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Mnożniki i procenty

Cnowa=(1±p)⋅CC_{\text{nowa}} = (1 \pm p) \cdot C · Dwie obniżki: C(1−p1)(1−p2)C(1-p_1)(1-p_2) · Netto/Brutto: Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}

Baza odniesienia i punkty procentowe

Zmiana względna: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A-B|}{B} \cdot 100\% · Punkty procentowe: Δp=p2−p1 p.p.\Delta p = p_2 - p_1\text{ p.p.} · Wzrost relatywny: Δpp1⋅100%\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%

Kapitalizacja i błędy szacowania

Kn=K0(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m} · Błąd bezwzględny: ∣x−x0∣|x - x_0| · Błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent 1: Metoda Mnożnika Procentowego ($1 \pm \frac{p}{100}$)

Zamiast żmudnych proporcji mnóż od razu przez współczynnik dziesiętny: podwyżka o p%  ⟹  ⋅(1+p100)p\% \implies \cdot (1 + \frac{p}{100}), obniżka   ⟹  ⋅(1−p100)\implies \cdot (1 - \frac{p}{100}). Dwie kolejne obniżki po 10%10\% to x⋅0,902=0,81xx \cdot 0{,}90^2 = 0{,}81x (obniżka o 19%19\%, a NIE o 20%20\%)!

2. Patent 2: Baza Odniesienia & Różnica w Punktach Procentowych (p.p.)

W pytaniach „o ile procent więcej / mniej” w mianowniku ZAWSZE stoi wartość po słowie „od/niż”: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A - B|}{B} \cdot 100\%. Zmiana stopy z 4%4\% na 5%5\% to bezwzględny wzrost o +1 p.p.+1\text{ p.p.}, ale relatywny wzrost o 5−44⋅100%=25%\frac{5-4}{4} \cdot 100\% = 25\%!

3. Patent 3: Procent Składany & Teoria Błędów Szacowania

Kapitalizacja podokresowa: Kn=K0(1+p100m)nmK_n = K_0(1 + \frac{p}{100m})^{nm}. Błąd bezwzględny: Δx=∣x−x0∣\Delta x = |x - x_0|, błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%. W mianowniku błędu względnego ZAWSZE stoi dokładna wartość teoretyczna xx!

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01
  1. Mechaniczne dodawanie procentów kolejnych obniżek/podwyżek (0,80⋅0,70=0,56  ⟹  0{,}80 \cdot 0{,}70 = 0{,}56 \implies spadek o 44%44\%, a NIE o 50%50\%!).
02
  1. Mylenie bazy odniesienia w pytaniach relatywnych (jeśli A=1,25BA = 1{,}25B, to B=0,80AB = 0{,}80A, czyli BB jest mniejsze o 20%20\%, a NIE o 25%25\%!).
03
  1. Utożsamianie punktów procentowych (p.p.) ze zwykłymi procentami (spadek z 4%4\% o 1 p.p.1\text{ p.p.} do 3%3\% to spadek o 25%25\%!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie1234567891011121314151617181920
Maks. pkt11111111111111232334
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 21 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2018 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N1: Wyznaczanie nowej ceny, gdy dana jest kwota obniżki

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10%10\% zmniejszyła się o 2018 zł2018\text{ zł}. Ten towar po tej obniżce kosztował:

A. 20 180 zł20\,180\text{ zł}      B. 18 162 zł18\,162\text{ zł}      C. 18 000 zł18\,000\text{ zł}      D. 22 198 zł22\,198\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2018 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N2: Odwracanie podwójnej obniżki o 10%

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10%10\% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote1944\text{ złote}. Przed obiema obniżkami ten komputer kosztował:

A. 2332,80 zł2332{,}80\text{ zł}      B. 2400 zł2400\text{ zł}      C. 2430 zł2430\text{ zł}      D. 3000 zł3000\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2016 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N3: Dwie kolejne podwyżki procentowe

Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%20\%, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o 30%30\%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić jedną podwyżką o:

A. 50%50\%      B. 56%56\%      C. 60%60\%      D. 66%66\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2012 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N4: Dwie kolejne obniżki procentowe (zastąpienie jedną)

Cenę nart obniżono o 20%20\%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%30\%. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o:

A. 44%44\%      B. 50%50\%      C. 56%56\%      D. 60%60\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2011 r., Zadanie 5 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N5: Złożenie obniżki i podwyżki

Cenę pewnego towaru najpierw obniżono o 20%20\%, a następnie nową cenę podwyższono o 10%10\%. W wyniku obu tych zmian cena towaru:

A. zmalała o 10%10\%      B. zmalała o 12%12\%      C. wzrosła o 10%10\%      D. wzrosła o 12%12\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2012 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N6: Zmiana procentowa pola kwadratu przy zmianie boku

Długość boku kwadratu k2k_2 jest o 10%10\% większa od długości boku kwadratu k1k_1. Wówczas pole kwadratu k2k_2 jest większe od pola kwadratu k1k_1 o:

A. 10%10\%      B. 20%20\%      C. 21%21\%      D. 100%100\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2017 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N7: Zmiana procentowa pola koła

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%30\%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła o:

A. 30%30\%      B. 60%60\%      C. 69%69\%      D. 90%90\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2015 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N8: Zmiana pola prostokąta przy asymetrycznych zmianach wymiarów

Dany jest prostokąt o wymiarach 40 cm×100 cm40\text{ cm} \times 100\text{ cm}. Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o 20%20\%, a każdy z krótszych skrócimy o 20%20\%, to pole tego prostokąta:

A. nie zmieni się      B. zmniejszy się o 4%4\%      C. zwiększy się o 4%4\%      D. zmniejszy się o 8%8\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2014 r. (Próbna), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N9: Błąd względny przybliżenia ułamka zwykłego

Liczba 0,60{,}6 jest jednym z przybliżeń liczby 58\frac{5}{8}. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy:

A. 0,025%0{,}025\%      B. 2,5%2{,}5\%      C. 0,04%0{,}04\%      D. 4%4\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2014 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N10: Udział procentowy w podziale proporcjonalnym

Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym wyraża stosunek 12:8:3:212 : 8 : 3 : 2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi największy udział?

A. 12%12\%      B. 24%24\%      C. 48%48\%      D. 50%50\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Średnie (4/10)

Matura CKE – Sierpień 2013 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N11: Przemienność iloczynu procentowego

Gdy od 17%17\% liczby 2121 odejmiemy 21%21\% liczby 1717, to otrzymamy:

A. 00      B. 4100\frac{4}{100}      C. 3,573{,}57      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Średnie (4/10)

Matura CKE – Czerwiec 2019 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N12: Zmiana procentowa ułamka przy jednoczesnej modyfikacji licznika i mianownika

Liczba dodatnia aa jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%50\%, a jego mianownik zwiększymy o 50%50\%, to wartość tego ułamka:

A. nie zmieni się      B. zmniejszy się o 50%50\%
C. zmniejszy się o 6623%66\frac{2}{3}\%      D. zmniejszy się o 75%75\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Średnie (3/10)

Matura CKE – Grudzień 2024 r. (Próbna), Zadanie 5 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N13: Parametryczny wzór kapitalizacji dwuletniej

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę 60 000 zł60\,000\text{ zł} na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości p%p\% w skali roku od kwoty bieżącego kapitału. Po dwóch latach kwota na lokacie jest równa:

A. 60 000⋅(1+p100)260\,000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2      B. 60 000⋅(1+2p100)60\,000 \cdot \left(1 + \frac{2p}{100}\right)
C. 60 000⋅(1+p200)460\,000 \cdot \left(1 + \frac{p}{200}\right)^4      D. 60 000⋅(1+p2100)60\,000 \cdot \left(1 + \frac{p^2}{100}\right)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Średnie (3/10)

Matura CKE – Grudzień 2022 r. (Próbna), Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N14: Kapitalizacja roczna obligacji skarbowych

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40 000 zł40\,000\text{ zł} oprocentowane 7%7\% w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Wartość obligacji po nn latach bez uwzględnienia podatku opisuje wyrażenie:

A. 40 000⋅(1,07)n40\,000 \cdot (1{,}07)^n      B. 40 000⋅(1,7)n40\,000 \cdot (1{,}7)^n
C. 40 000⋅(1+0,07n)40\,000 \cdot (1 + 0{,}07n)      D. 40 000⋅(1,007)n40\,000 \cdot (1{,}007)^n

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Autentyczne Zadanie Dowodowe (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N15: Dowodzenie tożsamości procentowej dla kolejnych operacji

Wykaż, że dla dowolnej ceny początkowej C>0C > 0 oraz dowolnej stopy procentowej p∈(0,100)p \in (0, 100), cena po podwyżce o p%p\%, a następnie obniżce nowej kwoty o p%p\%, jest zawsze mniejsza od ceny początkowej CC dokładnie o p2100%\frac{p^2}{100}\% ceny CC.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Zadanie z Matematyki Finansowej (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N16: Kapitalizacja podokresowa (kwartalna) i efektywna stopa procentowa

Inwestor złożył w banku kapitał w wysokości K0=20 000 złK_0 = 20\,000\text{ zł} na 22 lata przy nominalnej rocznej stopie procentowej 8%8\%, z kapitalizacją odsetek co kwartał.

a) Oblicz stan konta po 22 latach oszczędzania (zaokrąglij wynik do groszy).
b) Oblicz roczną efektywną stopę procentową tej lokaty z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16
Zadanie 17
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Błędy Szacowania w Fizyce i Matematyce (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N17: Propagacja błędu względnego w iloczynie wielkości

Długości boków prostokątnej działki zmierzono z błędami względnymi: boku aa z błędem względnym δa=2%\delta_a = 2\%, a boku bb z błędem względnym δb=3%\delta_b = 3\%. Oblicz maksymalny błąd względny oszacowania pola powierzchni P=a⋅bP = a \cdot b tej działki, wyrażony w procentach.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 17
Zadanie 18
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Stężenia Procentowe Mieszanin (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N18: Bilans masy substancji rozpuszczonej w zadaniach o stężeniach procentowych

Zmieszano 4 kg4\text{ kg} roztworu soli o stężeniu 10%10\% z 6 kg6\text{ kg} roztworu soli o stężeniu 20%20\%. Ile kilogramów czystej wody należy odparować z powstałej mieszaniny, aby otrzymać roztwór o stężeniu 25%25\%?

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 18
Zadanie 19
Rozszerzona
Zaawansowane (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Analiza Ekonomiczna: Marża vs Narzut (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N19: Analityczny związek między marżą handlową a narzutem

W handlu cenę sprzedaży SS ustala się przez powiększenie ceny zakupu ZZ o narzut n⋅100%n \cdot 100\% (S=Z(1+n)S = Z(1 + n)). Marżę handlową m⋅100%m \cdot 100\% definiuje się jako stosunek zysku handlowego (S−ZS - Z) do ceny sprzedaży SS.

a) Udowodnij, że relację między marżą mm a narzutem nn wyraża wzór m=n1+nm = \frac{n}{1 + n}.
b) Oblicz, jaki narzut procentowy musi zastosować przedsiębiorca, aby uzyskać marżę równą 20%20\%.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 19
Zadanie 20
Rozszerzona
Zaawansowane (9/10)

Matura Rozszerzona CKE – Finanse i Amortyzacja Geometryczna (4 pkt)

4 pkt

Umiejętność N20: Model geometryczny amortyzacji z uwzględnieniem inflacji (wzór Fishera)

Firma zakupiła specjalistyczną maszynę za kwotę 100 000 zł100\,000\text{ zł}. Wartość księgowa tej maszyny maleje co roku w wyniku amortyzacji o 15%15\% w odniesieniu do wartości z roku poprzedniego.

a) Wyznacz wzór opisujący wartość księgową maszyny W(t)W(t) po upływie tt lat (t∈Nt \in \mathbb{N}).
b) Oblicz wartość księgową maszyny po 33 latach.
c) Załóżmy, że skumulowana inflacja w ciągu tych 33 lat wynosiła średniorocznie 5%5\%. Oblicz realną wartość rynkową maszyny po 33 latach w cenach z momentu zakupu (zaokrąglij do pełnych złotych).

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 4 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 20

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 04: Procenty, Punkty Procentowe, Kapitalizacja & Błędy Szacowania

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2010–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 52 pkt

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 20 zadań🏆 31 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 31 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Mnożniki i procenty

Cnowa=(1±p)⋅CC_{\text{nowa}} = (1 \pm p) \cdot C · Dwie obniżki: C(1−p1)(1−p2)C(1-p_1)(1-p_2) · Netto/Brutto: Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}

Baza odniesienia i punkty procentowe

Zmiana względna: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A-B|}{B} \cdot 100\% · Punkty procentowe: Δp=p2−p1 p.p.\Delta p = p_2 - p_1\text{ p.p.} · Wzrost relatywny: Δpp1⋅100%\frac{\Delta p}{p_1} \cdot 100\%

Kapitalizacja i błędy szacowania

Kn=K0(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m} · Błąd bezwzględny: ∣x−x0∣|x - x_0| · Błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent 1: Metoda Mnożnika Procentowego ($1 \pm \frac{p}{100}$)

Zamiast żmudnych proporcji mnóż od razu przez współczynnik dziesiętny: podwyżka o p%  ⟹  ⋅(1+p100)p\% \implies \cdot (1 + \frac{p}{100}), obniżka   ⟹  ⋅(1−p100)\implies \cdot (1 - \frac{p}{100}). Dwie kolejne obniżki po 10%10\% to x⋅0,902=0,81xx \cdot 0{,}90^2 = 0{,}81x (obniżka o 19%19\%, a NIE o 20%20\%)!

2. Patent 2: Baza Odniesienia & Różnica w Punktach Procentowych (p.p.)

W pytaniach „o ile procent więcej / mniej” w mianowniku ZAWSZE stoi wartość po słowie „od/niż”: ∣A−B∣B⋅100%\frac{|A - B|}{B} \cdot 100\%. Zmiana stopy z 4%4\% na 5%5\% to bezwzględny wzrost o +1 p.p.+1\text{ p.p.}, ale relatywny wzrost o 5−44⋅100%=25%\frac{5-4}{4} \cdot 100\% = 25\%!

3. Patent 3: Procent Składany & Teoria Błędów Szacowania

Kapitalizacja podokresowa: Kn=K0(1+p100m)nmK_n = K_0(1 + \frac{p}{100m})^{nm}. Błąd bezwzględny: Δx=∣x−x0∣\Delta x = |x - x_0|, błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%. W mianowniku błędu względnego ZAWSZE stoi dokładna wartość teoretyczna xx!

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01
  1. Mechaniczne dodawanie procentów kolejnych obniżek/podwyżek (0,80⋅0,70=0,56  ⟹  0{,}80 \cdot 0{,}70 = 0{,}56 \implies spadek o 44%44\%, a NIE o 50%50\%!).
02
  1. Mylenie bazy odniesienia w pytaniach relatywnych (jeśli A=1,25BA = 1{,}25B, to B=0,80AB = 0{,}80A, czyli BB jest mniejsze o 20%20\%, a NIE o 25%25\%!).
03
  1. Utożsamianie punktów procentowych (p.p.) ze zwykłymi procentami (spadek z 4%4\% o 1 p.p.1\text{ p.p.} do 3%3\% to spadek o 25%25\%!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie1234567891011121314151617181920
Maks. pkt11111111111111232334
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 21 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2018 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N1: Wyznaczanie nowej ceny, gdy dana jest kwota obniżki

Cena pewnego towaru w wyniku obniżki o 10%10\% zmniejszyła się o 2018 zł2018\text{ zł}. Ten towar po tej obniżce kosztował:

A. 20 180 zł20\,180\text{ zł}      B. 18 162 zł18\,162\text{ zł}      C. 18 000 zł18\,000\text{ zł}      D. 22 198 zł22\,198\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Kwota obniżki: ΔC=0,10⋅x=2018 zł\Delta C = 0{,}10 \cdot x = 2018\text{ zł}
• Cena po obniżce: Cnowa=0,90⋅x=x−ΔCC_{\text{nowa}} = 0{,}90 \cdot x = x - \Delta C

Strategia

  1. Oblicz cenę początkową: 0,1x=2018  ⟹  x=20 180 zł0{,}1x = 2018 \implies x = 20\,180\text{ zł}.
    2. Oblicz cenę po obniżce: 20 180−2018=18 162 zł20\,180 - 2018 = 18\,162\text{ zł} (lub 0,9⋅20 1800{,}9 \cdot 20\,180).

Pełne obliczenia

  1. Skoro 10%10\% ceny początkowej xx to 2018 zł2018\text{ zł}:
       0,10x=2018  ⟹  x=20 180 zł0{,}10x = 2018 \implies x = 20\,180\text{ zł}
    2. Pytanie dotyczy ceny po obniżce:
       Cnowa=20 180−2018=18 162 złC_{\text{nowa}} = 20\,180 - 2018 = 18\,162\text{ zł}
    Poprawna odpowiedź: B (18 162 zł18\,162\text{ zł})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zaznaczenie ceny początkowej 20 180 zł20\,180\text{ zł} (opcja A) zamiast ceny końcowej po obniżce!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2018 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N2: Odwracanie podwójnej obniżki o 10%

Po dwukrotnej obniżce, za każdym razem o 10%10\% w stosunku do ceny obowiązującej w chwili obniżki, komputer kosztuje 1944 złote1944\text{ złote}. Przed obiema obniżkami ten komputer kosztował:

A. 2332,80 zł2332{,}80\text{ zł}      B. 2400 zł2400\text{ zł}      C. 2430 zł2430\text{ zł}      D. 3000 zł3000\text{ zł}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Mnożnik podwójnej obniżki: 0,90⋅0,90=0,810{,}90 \cdot 0{,}90 = 0{,}81

Strategia

  1. Zapisz równanie: 0,81x=19440{,}81x = 1944.
    2. Podziel 1944:0,81=2400 zł1944 : 0{,}81 = 2400\text{ zł}.

Pełne obliczenia

  1. Podwójna obniżka o 10%10\% daje współczynnik końcowy:
       0,9⋅0,9⋅x=0,81x0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot x = 0{,}81x
    2. Obliczamy cenę początkową:
       x=19440,81=194 40081=2400 złx = \frac{1944}{0{,}81} = \frac{194\,400}{81} = 2400\text{ zł}
    Poprawna odpowiedź: B (2400 zł2400\text{ zł})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne sumowanie procentów do 20%20\% i dzielenie przez 0,800{,}80 (1944/0,8=2430 zł1944 / 0{,}8 = 2430\text{ zł}, opcja C).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2016 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N3: Dwie kolejne podwyżki procentowe

Cenę pewnego towaru podwyższono o 20%20\%, a następnie nową cenę tego towaru podwyższono o 30%30\%. Takie dwie podwyżki ceny tego towaru można zastąpić jedną podwyżką o:

A. 50%50\%      B. 56%56\%      C. 60%60\%      D. 66%66\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Mnożnik kolejnych podwyżek: (1+p1)⋅(1+p2)=1,20⋅1,30=1,56(1 + p_1) \cdot (1 + p_2) = 1{,}20 \cdot 1{,}30 = 1{,}56

Strategia

  1. Przemnóż mnożniki podwyżek: 1,20⋅1,30=1,561{,}20 \cdot 1{,}30 = 1{,}56.
    2. Odejmij 11: 1,56−1=0,56=56%1{,}56 - 1 = 0{,}56 = 56\%.

Pełne obliczenia

  1. Po pierwszej podwyżce cena wynosi 1,20x1{,}20x.
    2. Po drugiej podwyżce cena wynosi 1,30⋅(1,20x)=1,56x1{,}30 \cdot (1{,}20x) = 1{,}56x.
    3. Mnożnik 1,561{,}56 oznacza wzrost o:
       (1,56−1)⋅100%=56%(1{,}56 - 1) \cdot 100\% = 56\%
    Poprawna odpowiedź: B (56%56\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Naiwne dodanie 20%+30%=50%20\% + 30\% = 50\% (opcja A) — druga podwyżka jest naliczana od wyższej bazy!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2012 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N4: Dwie kolejne obniżki procentowe (zastąpienie jedną)

Cenę nart obniżono o 20%20\%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%30\%. W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o:

A. 44%44\%      B. 50%50\%      C. 56%56\%      D. 60%60\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Mnożnik kolejnych obniżek: (1−0,20)⋅(1−0,30)=0,80⋅0,70=0,56(1 - 0{,}20) \cdot (1 - 0{,}30) = 0{,}80 \cdot 0{,}70 = 0{,}56

Strategia

  1. Oblicz końcowy udział ceny: 0,80⋅0,70=0,560{,}80 \cdot 0{,}70 = 0{,}56.
    2. Oblicz łączny spadek: 1−0,56=0,44=44%1 - 0{,}56 = 0{,}44 = 44\%.

Pełne obliczenia

  1. Cena po dwóch obniżkach wynosi:
       0,80⋅0,70⋅x=0,56x0{,}80 \cdot 0{,}70 \cdot x = 0{,}56x
    2. Oznacza to, że z pierwotnej ceny pozostało 56%56\%, zatem cena zmniejszyła się o:
       100%−56%=44%100\% - 56\% = 44\%
    Poprawna odpowiedź: A (44%44\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zaznaczenie opcji B (50%50\%) przez dodanie 20%+30%20\% + 30\% lub C (56%56\%), czyli ceny pozostałej zamiast kwoty obniżki!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2011 r., Zadanie 5 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N5: Złożenie obniżki i podwyżki

Cenę pewnego towaru najpierw obniżono o 20%20\%, a następnie nową cenę podwyższono o 10%10\%. W wyniku obu tych zmian cena towaru:

A. zmalała o 10%10\%      B. zmalała o 12%12\%      C. wzrosła o 10%10\%      D. wzrosła o 12%12\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Łączny mnożnik: 0,80⋅1,10=0,880{,}80 \cdot 1{,}10 = 0{,}88

Strategia

  1. Mnożnik obniżki: 0,800{,}80.
    2. Mnożnik podwyżki: 1,101{,}10.
    3. Iloczyn: 0,80⋅1,10=0,880{,}80 \cdot 1{,}10 = 0{,}88, co oznacza spadek o 12%12\%.

Pełne obliczenia

  1. Wyznaczamy współczynnik końcowy:
       Ckonˊc=(1−0,20)⋅(1+0,10)⋅C=0,80⋅1,10⋅C=0,88CC_{\text{końc}} = (1 - 0{,}20) \cdot (1 + 0{,}10) \cdot C = 0{,}80 \cdot 1{,}10 \cdot C = 0{,}88C
    2. Końcowa cena stanowi 88%88\% ceny początkowej, więc cena zmalała o:
       100%−88%=12%100\% - 88\% = 12\%
    Poprawna odpowiedź: B (zmalała o 12%12\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Odjęcie w pamięci −20%+10%=−10%-20\% + 10\% = -10\% (opcja A) — to kardynalny błąd ignorowania faktu, że podwyżka dotyczyła kwoty już obniżonej!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2012 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N6: Zmiana procentowa pola kwadratu przy zmianie boku

Długość boku kwadratu k2k_2 jest o 10%10\% większa od długości boku kwadratu k1k_1. Wówczas pole kwadratu k2k_2 jest większe od pola kwadratu k1k_1 o:

A. 10%10\%      B. 20%20\%      C. 21%21\%      D. 100%100\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Skalowanie pola figury podobnej: P2=(1,10⋅a)2=1,21⋅a2=1,21P1P_2 = (1{,}10 \cdot a)^2 = 1{,}21 \cdot a^2 = 1{,}21 P_1

Strategia

  1. Oznacz bok pierwszego kwadratu jako aa, jego pole P1=a2P_1 = a^2.
    2. Bok drugiego to 1,1a1{,}1a, a pole P2=(1,1a)2=1,21a2P_2 = (1{,}1a)^2 = 1{,}21a^2.
    3. Pole wzrosło o 1,21−1=0,21=21%1{,}21 - 1 = 0{,}21 = 21\%.

Pełne obliczenia

  1. Niech a1=aa_1 = a, wtedy P1=a2P_1 = a^2.
    2. Bok powiększony o 10%10\% ma długość a2=1,10aa_2 = 1{,}10a.
    3. Pole kwadratu k2k_2 wynosi:
       P2=(1,10a)2=1,21a2=1,21P1P_2 = (1{,}10a)^2 = 1{,}21a^2 = 1{,}21P_1
    4. Wzrost procentowy pola:
       (1,21−1)⋅100%=21%(1{,}21 - 1) \cdot 100\% = 21\%
    Poprawna odpowiedź: C (21%21\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Wybór opcji B (20%20\%) przez podwojenie 10%10\% lub A (10%10\%) — pole skaluje się z kwadratem skali podobieństwa (k2k^2)!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2017 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N7: Zmiana procentowa pola koła

Dane są dwa koła. Promień pierwszego koła jest większy od promienia drugiego koła o 30%30\%. Wynika stąd, że pole pierwszego koła jest większe od pola drugiego koła o:

A. 30%30\%      B. 60%60\%      C. 69%69\%      D. 90%90\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Pole koła: P=πr2P = \pi r^2
• Współczynnik skali pola: (1+0,30)2=(1,30)2=1,69(1 + 0{,}30)^2 = (1{,}30)^2 = 1{,}69

Strategia

  1. Promień drugiego koła: R=1,3rR = 1{,}3r.
    2. Pole drugiego koła: π(1,3r)2=1,69πr2=1,69P1\pi (1{,}3r)^2 = 1{,}69 \pi r^2 = 1{,}69 P_1.
    3. Wzrost pola: 1,69−1=0,69=69%1{,}69 - 1 = 0{,}69 = 69\%.

Pełne obliczenia

  1. Pole koła o promieniu rr wynosi P1=πr2P_1 = \pi r^2.
    2. Nowy promień po powiększeniu o 30%30\% wynosi R=1,30rR = 1{,}30r.
    3. Pole powiększonego koła wynosi:
       P2=πR2=π(1,30r)2=1,69πr2=1,69P1P_2 = \pi R^2 = \pi (1{,}30r)^2 = 1{,}69 \pi r^2 = 1{,}69 P_1
    4. Pole wzrosło o:
       (1,69−1)⋅100%=69%(1{,}69 - 1) \cdot 100\% = 69\%
    Poprawna odpowiedź: C (69%69\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zaznaczenie 60%60\% (opcja B) przez pomnożenie 2⋅30%2 \cdot 30\% — zapomnienie o składniku kwadratowym 0,32=0,090{,}3^2 = 0{,}09!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2015 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N8: Zmiana pola prostokąta przy asymetrycznych zmianach wymiarów

Dany jest prostokąt o wymiarach 40 cm×100 cm40\text{ cm} \times 100\text{ cm}. Jeżeli każdy z dłuższych boków tego prostokąta wydłużymy o 20%20\%, a każdy z krótszych skrócimy o 20%20\%, to pole tego prostokąta:

A. nie zmieni się      B. zmniejszy się o 4%4\%      C. zwiększy się o 4%4\%      D. zmniejszy się o 8%8\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Pole początkowe: P0=a⋅bP_0 = a \cdot b
• Pole nowe: P=(1,20a)⋅(0,80b)=0,96⋅ab=0,96P0P = (1{,}20a) \cdot (0{,}80b) = 0{,}96 \cdot ab = 0{,}96 P_0

Strategia

  1. Mnożnik dłuższego boku: 1,201{,}20.
    2. Mnożnik krótszego boku: 0,800{,}80.
    3. Mnożnik pola: 1,20⋅0,80=0,961{,}20 \cdot 0{,}80 = 0{,}96, co oznacza spadek o 4%4\%.

Pełne obliczenia

  1. Wyznaczamy nowe pole prostokąta:
       P=(1,20⋅a)⋅(0,80⋅b)=1,20⋅0,80⋅(a⋅b)=0,96⋅P0P = (1{,}20 \cdot a) \cdot (0{,}80 \cdot b) = 1{,}20 \cdot 0{,}80 \cdot (a \cdot b) = 0{,}96 \cdot P_0
    2. Nowe pole stanowi 96%96\% pola pierwotnego, zatem pole zmniejszyło się o:
       100%−96%=4%100\% - 96\% = 4\%
    Poprawna odpowiedź: B (zmniejszy się o 4%4\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Intuicyjny wybór opcji A („nie zmieni się”), zakładający, że wydłużenie o 20%20\% i skrócenie o 20%20\% znoszą się wzajemnie!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2014 r. (Próbna), Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N9: Błąd względny przybliżenia ułamka zwykłego

Liczba 0,60{,}6 jest jednym z przybliżeń liczby 58\frac{5}{8}. Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy:

A. 0,025%0{,}025\%      B. 2,5%2{,}5\%      C. 0,04%0{,}04\%      D. 4%4\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wartość dokładna: 58=0,625\frac{5}{8} = 0{,}625
• Błąd względny: δ=∣x−x0∣x⋅100%\delta = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

Strategia

  1. Wartość dokładna: 0,6250{,}625, przybliżenie: 0,6000{,}600.
    2. Błąd bezwzględny: 0,625−0,6=0,0250{,}625 - 0{,}6 = 0{,}025.
    3. Błąd względny: 0,0250,625=125=0,04=4%\frac{0{,}025}{0{,}625} = \frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%.

Pełne obliczenia

  1. Wartość dokładna x=58=0,625x = \frac{5}{8} = 0{,}625, przybliżenie x0=0,6x_0 = 0{,}6.
    2. Błąd bezwzględny:
       Δx=∣0,625−0,6∣=0,025\Delta x = |0{,}625 - 0{,}6| = 0{,}025
    3. Błąd względny:
       δ=0,0250,625⋅100%=25625⋅100%=125⋅100%=4%\delta = \frac{0{,}025}{0{,}625} \cdot 100\% = \frac{25}{625} \cdot 100\% = \frac{1}{25} \cdot 100\% = 4\%
    Poprawna odpowiedź: D (4%4\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Mylenie błędu bezwzględnego (0,0250{,}025) z błędem względnym i wybór opcji B (2,5%2{,}5\%)!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2014 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N10: Udział procentowy w podziale proporcjonalnym

Czterech przyjaciół zarejestrowało spółkę. Wysokość udziałów poszczególnych wspólników w kapitale zakładowym wyraża stosunek 12:8:3:212 : 8 : 3 : 2. Jaką część kapitału zakładowego stanowi największy udział?

A. 12%12\%      B. 24%24\%      C. 48%48\%      D. 50%50\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Suma części: S=12+8+3+2=25S = 12 + 8 + 3 + 2 = 25
• Udział największy: 12S⋅100%\frac{12}{S} \cdot 100\%

Strategia

  1. Zsumuj wszystkie części: 12+8+3+2=2512 + 8 + 3 + 2 = 25.
    2. Największy udział to 1212 części z 2525.
    3. Przelicz na procenty: 1225⋅100%=48%\frac{12}{25} \cdot 100\% = 48\%.

Pełne obliczenia

  1. Całkowita liczba części kapitału wynosi:
       12+8+3+2=2512 + 8 + 3 + 2 = 25
    2. Największy udział przypada na pierwszego wspólnika i wynosi 1212 części.
    3. Udział procentowy:
       1225⋅100%=12⋅4%=48%\frac{12}{25} \cdot 100\% = 12 \cdot 4\% = 48\%
    Poprawna odpowiedź: C (48%48\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Utożsamienie liczby części z procentem i wybór 12%12\% (opcja A) bez sumowania mianownika!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Średnie (4/10)

Matura CKE – Sierpień 2013 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N11: Przemienność iloczynu procentowego

Gdy od 17%17\% liczby 2121 odejmiemy 21%21\% liczby 1717, to otrzymamy:

A. 00      B. 4100\frac{4}{100}      C. 3,573{,}57      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Tożsamość symetrii: p%⋅q=p⋅q100=q⋅p100=q%⋅pp\% \cdot q = \frac{p \cdot q}{100} = \frac{q \cdot p}{100} = q\% \cdot p

Strategia

  1. Zapisz pierwsze wyrażenie: 17100⋅21=17⋅21100\frac{17}{100} \cdot 21 = \frac{17 \cdot 21}{100}.
    2. Zapisz drugie: 21100⋅17=21⋅17100\frac{21}{100} \cdot 17 = \frac{21 \cdot 17}{100}.
    3. Ponieważ mnożenie liczb jest przemienne, oba wyrażenia są identyczne, a ich różnica to 00.

Pełne obliczenia

  1. Przekształcamy różnicę algebraicznie:
       17%⋅21−21%⋅17=17⋅21100−21⋅17100=357−357100=017\% \cdot 21 - 21\% \cdot 17 = \frac{17 \cdot 21}{100} - \frac{21 \cdot 17}{100} = \frac{357 - 357}{100} = 0
    Poprawna odpowiedź: A (00)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Uleganie złudzeniu optycznemu, że 17%≠21%17\% \neq 21\% i próba odejmowania 21−17=421 - 17 = 4.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Średnie (4/10)

Matura CKE – Czerwiec 2019 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N12: Zmiana procentowa ułamka przy jednoczesnej modyfikacji licznika i mianownika

Liczba dodatnia aa jest zapisana w postaci ułamka zwykłego. Jeżeli licznik tego ułamka zmniejszymy o 50%50\%, a jego mianownik zwiększymy o 50%50\%, to wartość tego ułamka:

A. nie zmieni się      B. zmniejszy się o 50%50\%
C. zmniejszy się o 6623%66\frac{2}{3}\%      D. zmniejszy się o 75%75\%

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wartość początkowa: a=LMa = \frac{L}{M}
• Wartość nowa: a′=0,50L1,50M=0,51,5⋅LM=13aa' = \frac{0{,}50L}{1{,}50M} = \frac{0{,}5}{1{,}5} \cdot \frac{L}{M} = \frac{1}{3}a

Strategia

  1. Zapisz ułamek początkowy a=LMa = \frac{L}{M}.
    2. Nowy licznik to 0,5L0{,}5L, nowy mianownik to 1,5M1{,}5M.
    3. Nowy ułamek: 0,51,5LM=13a\frac{0{,}5}{1{,}5} \frac{L}{M} = \frac{1}{3}a.
    4. Spadek wartości: 1−13=23=6623%1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = 66\frac{2}{3}\%.

Pełne obliczenia

  1. Niech a=LMa = \frac{L}{M} dla L,M>0L, M > 0.
    2. Po zmianach otrzymujemy nowy ułamek a′a':
       a′=L−0,5LM+0,5M=0,5L1,5M=13⋅LM=13aa' = \frac{L - 0{,}5L}{M + 0{,}5M} = \frac{0{,}5L}{1{,}5M} = \frac{1}{3} \cdot \frac{L}{M} = \frac{1}{3}a
    3. Spadek wartości ułamka wynosi:
       a−a′a⋅100%=(1−13)⋅100%=23⋅100%=6623%\frac{a - a'}{a} \cdot 100\% = \left(1 - \frac{1}{3}\right) \cdot 100\% = \frac{2}{3} \cdot 100\% = 66\frac{2}{3}\%
    Poprawna odpowiedź: C (zmniejszy się o 6623%66\frac{2}{3}\%)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne twierdzenie, że skoro licznik i mianownik zmieniły się o tyle samo (50%50\%), to ułamek się nie zmieni (opcja A) lub zmieni się o 50%50\% (opcja B).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Średnie (3/10)

Matura CKE – Grudzień 2024 r. (Próbna), Zadanie 5 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N13: Parametryczny wzór kapitalizacji dwuletniej

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę 60 000 zł60\,000\text{ zł} na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank dolicza odsetki w wysokości p%p\% w skali roku od kwoty bieżącego kapitału. Po dwóch latach kwota na lokacie jest równa:

A. 60 000⋅(1+p100)260\,000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2      B. 60 000⋅(1+2p100)60\,000 \cdot \left(1 + \frac{2p}{100}\right)
C. 60 000⋅(1+p200)460\,000 \cdot \left(1 + \frac{p}{200}\right)^4      D. 60 000⋅(1+p2100)60\,000 \cdot \left(1 + \frac{p^2}{100}\right)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzór na procent składany: Kn=K0⋅(1+p100)nK_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Strategia

  1. Wartość K0=60 000K_0 = 60\,000, stopa p%p\%, liczba lat n=2n = 2.
    2. Wzór daje bezpośrednio 60 000⋅(1+p100)260\,000 \cdot (1 + \frac{p}{100})^2.

Pełne obliczenia

  1. Zgodnie z definicją kapitalizacji rocznej po 22 latach kapitał końcowy wynosi:
       K2=60 000⋅(1+p100)2K_2 = 60\,000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Wybór opcji B odpowiadającej procentowi prostemu bez kapitalizacji.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Średnie (3/10)

Matura CKE – Grudzień 2022 r. (Próbna), Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N14: Kapitalizacja roczna obligacji skarbowych

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40 000 zł40\,000\text{ zł} oprocentowane 7%7\% w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Wartość obligacji po nn latach bez uwzględnienia podatku opisuje wyrażenie:

A. 40 000⋅(1,07)n40\,000 \cdot (1{,}07)^n      B. 40 000⋅(1,7)n40\,000 \cdot (1{,}7)^n
C. 40 000⋅(1+0,07n)40\,000 \cdot (1 + 0{,}07n)      D. 40 000⋅(1,007)n40\,000 \cdot (1{,}007)^n

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzór ogólny: Kn=K0⋅(1+r)n=40 000⋅(1,07)nK_n = K_0 \cdot (1 + r)^n = 40\,000 \cdot (1{,}07)^n

Strategia

  1. Stopa roczna 7%=0,077\% = 0{,}07.
    2. Mnożnik roczny to 1+0,07=1,071 + 0{,}07 = 1{,}07.
    3. Po nn latach: 40 000⋅(1,07)n40\,000 \cdot (1{,}07)^n.

Pełne obliczenia

  1. Każdego roku kapitał wzrasta o 7%7\%, czyli mnożony jest przez 1,071{,}07.
    2. Po nn latach wynosi:
       Kn=40 000⋅(1,07)nK_n = 40\,000 \cdot (1{,}07)^n
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne zamienienie 7%7\% na 0,70{,}7 (1,71{,}7, opcja B) lub 0,0070{,}007 (opcja D).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Autentyczne Zadanie Dowodowe (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N15: Dowodzenie tożsamości procentowej dla kolejnych operacji

Wykaż, że dla dowolnej ceny początkowej C>0C > 0 oraz dowolnej stopy procentowej p∈(0,100)p \in (0, 100), cena po podwyżce o p%p\%, a następnie obniżce nowej kwoty o p%p\%, jest zawsze mniejsza od ceny początkowej CC dokładnie o p2100%\frac{p^2}{100}\% ceny CC.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Mnożnik podwyżki i obniżki: (1+p100)⋅(1−p100)=1−p210 000(1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 - \frac{p}{100}) = 1 - \frac{p^2}{10\,000}

Strategia

  1. Wyznacz cenę po podwyżce: C1=C(1+p100)C_1 = C(1 + \frac{p}{100}).
    2. Wyznacz cenę po obniżce: C2=C1(1−p100)=C(1−p210000)C_2 = C_1(1 - \frac{p}{100}) = C(1 - \frac{p^2}{10000}).
    3. Oblicz różnicę C−C2=C⋅p210000C - C_2 = C \cdot \frac{p^2}{10000}.
    4. Wyraź ułamek w procentach: p210000⋅100%=p2100%\frac{p^2}{10000} \cdot 100\% = \frac{p^2}{100}\%.

Pełne obliczenia

  1. Zapisujemy cenę po podwyżce o p%p\%:
       C1=C⋅(1+p100)C_1 = C \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)
    2. Zapisujemy cenę po następczej obniżce o p%p\%:
       C2=C1⋅(1−p100)=C⋅(1+p100)(1−p100)C_2 = C_1 \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = C \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)\left(1 - \frac{p}{100}\right)
    3. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2:
       C2=C⋅(1−p210 000)C_2 = C \cdot \left(1 - \frac{p^2}{10\,000}\right)
    4. Obliczamy bezwzględny spadek ceny:
       ΔC=C−C2=C−C⋅(1−p210 000)=C⋅p210 000\Delta C = C - C_2 = C - C \cdot \left(1 - \frac{p^2}{10\,000}\right) = C \cdot \frac{p^2}{10\,000}
    5. Wyrażamy ten spadek jako procent ceny początkowej CC:
       ΔCC⋅100%=p210 000⋅100%=p2100%ceny C\frac{\Delta C}{C} \cdot 100\% = \frac{p^2}{10\,000} \cdot 100\% = \frac{p^2}{100}\% \quad \text{ceny } C
    Co kończy dowód. Ponieważ dla p>0p > 0 zachodzi p2100>0\frac{p^2}{100} > 0, cena końcowa jest zawsze ściśle mniejsza od ceny początkowej.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Mylenie dzielnika w ułamku — p210000\frac{p^2}{10000} w zapisie dziesiętnym po pomnożeniu przez 100%100\% daje p2100%\frac{p^2}{100}\%, a nie p210000%\frac{p^2}{10000}\%!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Zadanie z Matematyki Finansowej (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N16: Kapitalizacja podokresowa (kwartalna) i efektywna stopa procentowa

Inwestor złożył w banku kapitał w wysokości K0=20 000 złK_0 = 20\,000\text{ zł} na 22 lata przy nominalnej rocznej stopie procentowej 8%8\%, z kapitalizacją odsetek co kwartał.

a) Oblicz stan konta po 22 latach oszczędzania (zaokrąglij wynik do groszy).
b) Oblicz roczną efektywną stopę procentową tej lokaty z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Kapitalizacja podokresowa: Kn=K0⋅(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m}, gdzie m=4m=4, n=2n=2
• Roczna efektywna stopa: ref=(1+p100m)m−1r_{\text{ef}} = \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^m - 1

Strategia

  1. Liczba okresów kapitalizacji w ciągu 2 lat: n⋅m=2⋅4=8n \cdot m = 2 \cdot 4 = 8 kwartałów.
    2. Oprocentowanie kwartalne: 8%4=2%=0,02\frac{8\%}{4} = 2\% = 0{,}02.
    3. Kapitał po 2 latach: 20 000⋅(1,02)820\,000 \cdot (1{,}02)^8.
    4. Efektywna stopa roczna: (1,02)4−1(1{,}02)^4 - 1.

Pełne obliczenia

  1. Część a):
    Kapitalizacja odbywa się m=4m = 4 razy w roku przez n=2n = 2 lata, więc łączna liczba kapitalizacji wynosi N=4⋅2=8N = 4 \cdot 2 = 8.
    Kwartalna stopa procentowa wynosi 8%4=2%\frac{8\%}{4} = 2\%.
       K8=20 000⋅(1+0,02)8=20 000⋅(1,02)8K_8 = 20\,000 \cdot (1 + 0{,}02)^8 = 20\,000 \cdot (1{,}02)^8
    Obliczamy wartość potęgi: (1,02)8≈1,171659(1{,}02)^8 \approx 1{,}171659.
       K8≈20 000⋅1,171659=23 433,19 złK_8 \approx 20\,000 \cdot 1{,}171659 = 23\,433{,}19\text{ zł}

    2. Część b):
    Roczna efektywna stopa procentowa wynosi:
       ref=(1,02)4−1≈1,082432−1=0,0824=8,24%r_{\text{ef}} = (1{,}02)^4 - 1 \approx 1{,}082432 - 1 = 0{,}0824 = 8{,}24\%
    Odpowiedź: a) 23 433,19 zł23\,433{,}19\text{ zł}, b) 8,24%8{,}24\%.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Użycie wykładnika n=2n = 2 zamiast liczby podokresów m⋅n=8m \cdot n = 8 lub pomnożenie stopy rocznej przez 22 bez dzielenia przez 44.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16
Zadanie 17
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Błędy Szacowania w Fizyce i Matematyce (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N17: Propagacja błędu względnego w iloczynie wielkości

Długości boków prostokątnej działki zmierzono z błędami względnymi: boku aa z błędem względnym δa=2%\delta_a = 2\%, a boku bb z błędem względnym δb=3%\delta_b = 3\%. Oblicz maksymalny błąd względny oszacowania pola powierzchni P=a⋅bP = a \cdot b tej działki, wyrażony w procentach.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Propagacja błędu iloczynu: Pmax⁡=a(1+δa)⋅b(1+δb)=ab(1+δa+δb+δaδb)P_{\max} = a(1 + \delta_a) \cdot b(1 + \delta_b) = ab(1 + \delta_a + \delta_b + \delta_a \delta_b)
• Błąd względny iloczynu: δP=δa+δb+δa⋅δb\delta_P = \delta_a + \delta_b + \delta_a \cdot \delta_b

Strategia

  1. Zapisz maksymalne wartości pomiarów: amax⁡=1,02aa_{\max} = 1{,}02a oraz bmax⁡=1,03bb_{\max} = 1{,}03b.
    2. Oblicz maksymalne pole: Pmax⁡=1,02⋅1,03⋅ab=1,0506abP_{\max} = 1{,}02 \cdot 1{,}03 \cdot ab = 1{,}0506 ab.
    3. Błąd względny pola wynosi 1,0506−1=0,0506=5,06%1{,}0506 - 1 = 0{,}0506 = 5{,}06\%.

Pełne obliczenia

  1. Niech aa i bb będą wartościami dokładnymi. Maksymalne wartości zmierzone to:
       a0=a(1+δa)=1,02a,b0=b(1+δb)=1,03ba_0 = a(1 + \delta_a) = 1{,}02a, \quad b_0 = b(1 + \delta_b) = 1{,}03b
    2. Maksymalne pole obliczone na podstawie pomiarów wynosi:
       P0=a0⋅b0=1,02a⋅1,03b=(1,02⋅1,03)⋅ab=1,0506PP_0 = a_0 \cdot b_0 = 1{,}02a \cdot 1{,}03b = (1{,}02 \cdot 1{,}03) \cdot ab = 1{,}0506 P
    3. Maksymalny błąd względny oszacowania pola:
       δP=∣P−P0∣P⋅100%=1,0506P−PP⋅100%=0,0506⋅100%=5,06%\delta_P = \frac{|P - P_0|}{P} \cdot 100\% = \frac{1{,}0506P - P}{P} \cdot 100\% = 0{,}0506 \cdot 100\% = 5{,}06\%
    Odpowiedź: Maksymalny błąd względny wynosi 5,06%5{,}06\%.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Proste dodanie błędów bez uwzględnienia iloczynu wyższego rzędu: 2%+3%=5%2\% + 3\% = 5\% (w przybliżeniu liniowym to 5%5\%, ale dokładny błąd maksymalny wynosi 5,06%5{,}06\%).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 17
Zadanie 18
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Stężenia Procentowe Mieszanin (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N18: Bilans masy substancji rozpuszczonej w zadaniach o stężeniach procentowych

Zmieszano 4 kg4\text{ kg} roztworu soli o stężeniu 10%10\% z 6 kg6\text{ kg} roztworu soli o stężeniu 20%20\%. Ile kilogramów czystej wody należy odparować z powstałej mieszaniny, aby otrzymać roztwór o stężeniu 25%25\%?

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Masa substancji w roztworze: ms=cp⋅mrm_s = c_p \cdot m_r
• Bilans substancji rozpuszczonej: ms1+ms2=ckonˊc⋅(mr1+mr2−mwody)m_{s1} + m_{s2} = c_{\text{końc}} \cdot (m_{r1} + m_{r2} - m_{\text{wody}})

Strategia

  1. Oblicz masę soli w pierwszym roztworze: 0,10⋅4=0,4 kg0{,}10 \cdot 4 = 0{,}4\text{ kg}.
    2. Oblicz masę soli w drugim roztworze: 0,20⋅6=1,2 kg0{,}20 \cdot 6 = 1{,}2\text{ kg}.
    3. Łączna masa soli: 0,4+1,2=1,6 kg0{,}4 + 1{,}2 = 1{,}6\text{ kg}.
    4. Łączna masa roztworów: 4+6=10 kg4 + 6 = 10\text{ kg}.
    5. Oznacz masę odparowanej wody jako xx: 1,610−x=0,25\frac{1{,}6}{10 - x} = 0{,}25.
    6. Rozwiąż równanie: 10−x=1,60,25=6,4  ⟹  x=3,6 kg10 - x = \frac{1{,}6}{0{,}25} = 6{,}4 \implies x = 3{,}6\text{ kg}.

Pełne obliczenia

  1. Obliczamy całkowitą masę soli w obu roztworach:
       ms1=0,10⋅4=0,4 kgm_{s1} = 0{,}10 \cdot 4 = 0{,}4\text{ kg}
       ms2=0,20⋅6=1,2 kgm_{s2} = 0{,}20 \cdot 6 = 1{,}2\text{ kg}
       ms=0,4+1,2=1,6 kgm_s = 0{,}4 + 1{,}2 = 1{,}6\text{ kg}
    2. Całkowita masa początkowa zmieszanych roztworów:
       mr=4+6=10 kgm_{r} = 4 + 6 = 10\text{ kg}
    3. Niech xx oznacza masę odparowanej czystej wody (x<10x < 10). Odparowanie wody nie zmienia masy soli msm_s.
    4. Po odparowaniu masa nowego roztworu to 10−x10 - x, a jego stężenie ma wynosić 25%25\% (0,250{,}25):
       1,610−x=0,25\frac{1{,}6}{10 - x} = 0{,}25
       1,6=0,25(10−x)1{,}6 = 0{,}25(10 - x)
       1,6=2,5−0,25x1{,}6 = 2{,}5 - 0{,}25x
       0,25x=2,5−1,6=0,90{,}25x = 2{,}5 - 1{,}6 = 0{,}9
       x=0,90,25=3,6 kgx = \frac{0{,}9}{0{,}25} = 3{,}6\text{ kg}
    Odpowiedź: Należy odparować 3,6 kg3{,}6\text{ kg} wody.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Założenie, że odparowanie wody zmienia masę soli. Sól nie paruje, maleje jedynie mianownik ułamka stężenia!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 18
Zadanie 19
Rozszerzona
Zaawansowane (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Analiza Ekonomiczna: Marża vs Narzut (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N19: Analityczny związek między marżą handlową a narzutem

W handlu cenę sprzedaży SS ustala się przez powiększenie ceny zakupu ZZ o narzut n⋅100%n \cdot 100\% (S=Z(1+n)S = Z(1 + n)). Marżę handlową m⋅100%m \cdot 100\% definiuje się jako stosunek zysku handlowego (S−ZS - Z) do ceny sprzedaży SS.

a) Udowodnij, że relację między marżą mm a narzutem nn wyraża wzór m=n1+nm = \frac{n}{1 + n}.
b) Oblicz, jaki narzut procentowy musi zastosować przedsiębiorca, aby uzyskać marżę równą 20%20\%.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Cena sprzedaży: S=Z(1+n)S = Z(1 + n)
• Zysk handlowy: Zzysk=S−Z=n⋅ZZ_{\text{zysk}} = S - Z = n \cdot Z
• Marża: m=S−ZS=nZZ(1+n)=n1+nm = \frac{S - Z}{S} = \frac{nZ}{Z(1 + n)} = \frac{n}{1 + n}

Strategia

  1. Podstaw S=Z(1+n)S = Z(1 + n) do definicji marży m=S−ZSm = \frac{S - Z}{S}.
    2. Skróć przez ZZ i wykaż tożsamość m=n1+nm = \frac{n}{1+n}.
    3. Dla m=0,20m = 0{,}20 rozwiąż równanie 0,20=n1+n  ⟹  0,20(1+n)=n  ⟹  0,20=0,80n  ⟹  n=0,25=25%0{,}20 = \frac{n}{1+n} \implies 0{,}20(1+n) = n \implies 0{,}20 = 0{,}80n \implies n = 0{,}25 = 25\%.

Pełne obliczenia

  1. Część a) – Dowód:
    Z definicji narzutu:
       S=Z+n⋅Z=Z(1+n)S = Z + n \cdot Z = Z(1 + n)
    Zysk handlowy wynosi S−Z=n⋅ZS - Z = n \cdot Z.
    Podstawiamy do definicji marży mm:
       m=S−ZS=n⋅ZZ(1+n)m = \frac{S - Z}{S} = \frac{n \cdot Z}{Z(1 + n)}
    Ponieważ cena zakupu Z>0Z > 0, możemy uprościć ułamek przez ZZ:
       m=n1+nm = \frac{n}{1 + n}
    Co kończy dowód podpunktu a).

    2. Część b) – Obliczenie narzutu:
    Mamy m=20%=0,20m = 20\% = 0{,}20. Podstawiamy do wyznaczonego wzoru:
       0,20=n1+n0{,}20 = \frac{n}{1 + n}
       0,20(1+n)=n0{,}20(1 + n) = n
       0,20+0,20n=n0{,}20 + 0{,}20n = n
       0,80n=0,20  ⟹  n=0,200,80=14=0,25=25%0{,}80n = 0{,}20 \implies n = \frac{0{,}20}{0{,}80} = \frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\%
    Odpowiedź: Przedsiębiorca musi zastosować narzut równy 25%25\%.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Utożsamianie marży z narzutem! Marża 20%20\% wymaga narzutu 25%25\%, ponieważ marżę liczy się od ceny SPRZEDAŻY, a narzut od ceny ZAKUPU!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 19
Zadanie 20
Rozszerzona
Zaawansowane (9/10)

Matura Rozszerzona CKE – Finanse i Amortyzacja Geometryczna (4 pkt)

4 pkt

Umiejętność N20: Model geometryczny amortyzacji z uwzględnieniem inflacji (wzór Fishera)

Firma zakupiła specjalistyczną maszynę za kwotę 100 000 zł100\,000\text{ zł}. Wartość księgowa tej maszyny maleje co roku w wyniku amortyzacji o 15%15\% w odniesieniu do wartości z roku poprzedniego.

a) Wyznacz wzór opisujący wartość księgową maszyny W(t)W(t) po upływie tt lat (t∈Nt \in \mathbb{N}).
b) Oblicz wartość księgową maszyny po 33 latach.
c) Załóżmy, że skumulowana inflacja w ciągu tych 33 lat wynosiła średniorocznie 5%5\%. Oblicz realną wartość rynkową maszyny po 33 latach w cenach z momentu zakupu (zaokrąglij do pełnych złotych).

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wartość księgowa: W(t)=W0⋅(1−0,15)t=100 000⋅(0,85)tW(t) = W_0 \cdot (1 - 0{,}15)^t = 100\,000 \cdot (0{,}85)^t
• Wartość urealniona inflacją: Wreal(t)=W(t)(1+rinf)tW_{\text{real}}(t) = \frac{W(t)}{(1 + r_{\text{inf}})^t}

Strategia

  1. Każdego roku maszyna zachowuje 100%−15%=85%=0,85100\% - 15\% = 85\% = 0{,}85 wartości.
    2. Po 3 latach: 100 000⋅(0,85)3=100 000⋅0,614125=61 412,50 zł100\,000 \cdot (0{,}85)^3 = 100\,000 \cdot 0{,}614125 = 61\,412{,}50\text{ zł}.
    3. Współczynnik inflacji po 3 latach: (1,05)3=1,157625(1{,}05)^3 = 1{,}157625.
    4. Wartość realna: 61 412,501,157625≈53 050 zł\frac{61\,412{,}50}{1{,}157625} \approx 53\,050\text{ zł}.

Pełne obliczenia

  1. Część a):
    Wartość początkowa to W0=100 000 złW_0 = 100\,000\text{ zł}.
    Roczny mnożnik amortyzacji wynosi 1−0,15=0,851 - 0{,}15 = 0{,}85.
    Wzór opisujący wartość po tt latach:
       W(t)=100 000⋅(0,85)tW(t) = 100\,000 \cdot (0{,}85)^t

    2. Część b):
    Dla t=3t = 3:
       W(3)=100 000⋅(0,85)3=100 000⋅0,614125=61 412,50 złW(3) = 100\,000 \cdot (0{,}85)^3 = 100\,000 \cdot 0{,}614125 = 61\,412{,}50\text{ zł}

    3. Część c):
    Średnioroczna inflacja 5%5\% oznacza, że poziom cen wzrósł po 33 latach o współczynnik:
       (1+0,05)3=(1,05)3=1,157625(1 + 0{,}05)^3 = (1{,}05)^3 = 1{,}157625
    Realna wartość maszyny w cenach początkowych wynosi:
       Wreal(3)=W(3)(1,05)3=61 412,501,157625≈53 050,45 zł≈53 050 złW_{\text{real}}(3) = \frac{W(3)}{(1{,}05)^3} = \frac{61\,412{,}50}{1{,}157625} \approx 53\,050{,}45\text{ zł} \approx 53\,050\text{ zł}
    Odpowiedź: a) W(t)=100 000⋅(0,85)tW(t) = 100\,000 \cdot (0{,}85)^t, b) 61 412,50 zł61\,412{,}50\text{ zł}, c) 53 050 zł53\,050\text{ zł}.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zastosowanie amortyzacji liniowej (3⋅15%=45%3 \cdot 15\% = 45\%, co dałoby 55 000 zł55\,000\text{ zł}) zamiast geometrycznej lub pomnożenie przez współczynnik inflacji zamiast podzielenia (inflacja obniża realną siłę nabywczą!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 4 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 20

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📘 Kompendium Wiedzy: Procenty, Punkty Procentowe, Kapitalizacja & Błędy Szacowania

1. Definicja i Fundamenty Obliczeń Procentowych

Procent (oznaczany symbolem %\% z łac. per centum — „na sto”) to ułamek o mianowniku 100100:

1%=1100=0,011\% = \frac{1}{100} = 0{,}01

  • Obliczanie procentu danej liczby: p%p\% z liczby xx wynosi p100⋅x\frac{p}{100} \cdot x.
  • Obliczanie liczby z danego jej procentu: Jeśli p%p\% liczby xx wynosi bb, to x=bp⋅100x = \frac{b}{p} \cdot 100.
  • Jakim procentem jednej liczby jest druga: Liczba aa stanowi ab⋅100%\frac{a}{b} \cdot 100\% liczby bb (dla b≠0b \neq 0).

2. Metoda Mnożnika Procentowego (1±p1001 \pm \frac{p}{100})

Zamiast tradycyjnych proporcji, każde działanie procentowe reprezentujemy mnożnikiem dziesiętnym:

OperacjaZapis analitycznyMnożnik dziesiętnyPrzykład praktyczny
Podwyżka o p%p\%x⋅(1+p100)x \cdot (1 + \frac{p}{100})np. +20%  ⟹  1,20+20\% \implies 1{,}20200 zł⋅1,20=240 zł200\text{ zł} \cdot 1{,}20 = 240\text{ zł}
Obniżka o p%p\%x⋅(1−p100)x \cdot (1 - \frac{p}{100})np. −15%  ⟹  0,85-15\% \implies 0{,}85850 zł=0,85x  ⟹  x=1000 zł850\text{ zł} = 0{,}85x \implies x = 1000\text{ zł}
Kolejne zmiany cenx⋅(1±p1)(1±p2)x \cdot (1 \pm p_1)(1 \pm p_2)Iloczyn, nie suma!−10%-10\% i −10%  ⟹  0,9⋅0,9=0,81-10\% \implies 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}81 (obniżka o 19%19\%)
Netto →\to Brutto (VAT 23%23\%)Cbrutto=1,23⋅CnettoC_{\text{brutto}} = 1{,}23 \cdot C_{\text{netto}}⋅1,23\cdot 1{,}23Cnetto=Cbrutto1,23C_{\text{netto}} = \frac{C_{\text{brutto}}}{1{,}23}

3. Baza Odniesienia i Punkty Procentowe (p.p.)

Żelazna reguła mianownika:

Wszelkie pytania o zmianę względną („o ile procent więcej / mniej”) wymagają umieszczenia w mianowniku wartości, DO KTÓREJ się odnosimy (występującej po słowie „od” lub „niż”):

  • O ile procent AA jest większe od BB: A−BB⋅100%\frac{A - B}{B} \cdot 100\%
  • O ile procent BB jest mniejsze od AA: A−BA⋅100%\frac{A - B}{A} \cdot 100\%

Punkty procentowe (p.p.):

  • Zmiana bezwzględna (p.p.): Δp=p2−p1\Delta p = p_2 - p_1. Jeśli stopa procentowa wzrosła z 4%4\% do 5%5\%, to wzrost wynosi 1 punkt procentowy1\text{ punkt procentowy} (1 p.p.1\text{ p.p.}).
  • Względny wzrost procentowy (%): 5%−4%4%⋅100%=14⋅100%=25%\frac{5\% - 4\%}{4\%} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%.

4. Matematyka Finansowa: Kapitalizacja i Procent Składany

Gdy odsetki dopisywane są do kapitału i same pracują na dalsze zyski, stosujemy regułę procentu składanego:

Kn=K0⋅(1+p100m)n⋅mK_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100m}\right)^{n \cdot m}

  • K0K_0 – kapitał początkowy wpłacony na lokatę
  • pp – roczna nominalna stopa procentowa (w procentach)
  • mm – liczba okresów kapitalizacji w ciągu roku (m=1m=1 roczna, m=2m=2 półroczna, m=4m=4 kwartalna, m=12m=12 miesięczna)
  • nn – czas trwania lokaty w latach (n⋅mn \cdot m to całkowita liczba kapitalizacji)

Podatek od zysków kapitałowych (podatek Belki 19%19\%):

Podatek potrącany jest wyłącznie z wypracowanych odsetek, nie z całego kapitału:

Knetto=K0+0,81⋅Odsetki BruttoK_{\text{netto}} = K_0 + 0{,}81 \cdot \text{Odsetki Brutto}

5. Teoria Błędów Szacowania (Przybliżeń)

Dla wartości dokładnej xx oraz jej przybliżenia x0x_0:

  • Błąd bezwzględny przybliżenia: Δx=∣x−x0∣\Delta x = |x - x_0|
  • Błąd względny przybliżenia: δ=∣x−x0∣x\delta = \frac{|x - x_0|}{x}
  • Błąd względny wyrażony w procentach: δ%=∣x−x0∣x⋅100%\delta\% = \frac{|x - x_0|}{x} \cdot 100\%

⚠️ REDFLAG CKE: W mianowniku błędu względnego stoi ZAWSZE wartość dokładna xx, a nie wartość przybliżona x0x_0!