Powrót do katalogu

Lekcja 06: Wzory Skróconego Mnożenia & Zaawansowana Faktoryzacja

Dział 02: Wyrażenia Algebraiczne i Równania
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 06: Wzory Skróconego Mnożenia & Zaawansowana Faktoryzacja

Wzory stopnia 2: $(a \pm b)^2$, $a^2 - b^2$, wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów. | Wzory stopnia 3: $(a \pm b)^3$, $a^3 \pm b^3$, wzór na kwadrat sumy trzech składników $(a+b+c)^2$, trójkąt Pascala i dwumian Newtona, dowodzenie nierówności algebraicznych metodą ...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy: Wzory stopnia 2: $(a \pm b)^2$, $a^2 - b^2$, wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów.

CKE Poziom Rozszerzony: Wzory stopnia 3: $(a \pm b)^3$, $a^3 \pm b^3$, wzór na kwadrat sumy trzech składników $(a+b+c)^2$, trójkąt Pascala i dwumian Newtona, dowodzenie nierówności algebraicznych metodą zwijania do sumy kwadratów.

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 06

Dopełnianie do pełnego kwadratu (np. x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9), metoda AM-GM dla dwóch zmiennych.

3 Czerwone Flagi

01

(a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \neq a^2+b^2 (zgubione 2ab2ab!), minus przed nawiasem przy odejmowaniu kwadratów.

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Wzory Skróconego Mnożenia & Zaawansowana Faktoryzacja

Lekcja 06 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Wzory stopnia 2: (a±b)2(a \pm b)^2, a2−b2a^2 - b^2, wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów.
  • Poziom Rozszerzony: Wzory stopnia 3: (a±b)3(a \pm b)^3, a3±b3a^3 \pm b^3, wzór na kwadrat sumy trzech składników (a+b+c)2(a+b+c)^2, trójkąt Pascala i dwumian Newtona, dowodzenie nierówności algebraicznych metodą zwijania do sumy kwadratów.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Dopełnianie do pełnego kwadratu (np. x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9), metoda AM-GM dla dwóch zmiennych.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: (a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \neq a^2+b^2 (zgubione 2ab2ab!), minus przed nawiasem przy odejmowaniu kwadratów.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 06: Wzory Skróconego Mnożenia & Zaawansowana Faktoryzacja

Wzory stopnia 2: $(a \pm b)^2$, $a^2 - b^2$, wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów. | Wzory stopnia 3: $(a \pm b)^3$, $a^3 \pm b^3$, wzór na kwadrat sumy trzech składników $(a+b+c)^2$, trójkąt Pascala i dwumian Newtona, dowodzenie nierówności algebraicznych metodą ...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 06

Dopełnianie do pełnego kwadratu (np. x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9), metoda AM-GM dla dwóch zmiennych.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

(a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \neq a^2+b^2 (zgubione 2ab2ab!), minus przed nawiasem przy odejmowaniu kwadratów.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 06: Wzory Skróconego Mnożenia & Zaawansowana Faktoryzacja

Wzory stopnia 2: $(a \pm b)^2$, $a^2 - b^2$, wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów. | Wzory stopnia 3: $(a \pm b)^3$, $a^3 \pm b^3$, wzór na kwadrat sumy trzech składników $(a+b+c)^2$, trójkąt Pascala i dwumian Newtona, dowodzenie nierówności algebraicznych metodą ...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 06

Dopełnianie do pełnego kwadratu (np. x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9), metoda AM-GM dla dwóch zmiennych.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

(a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \neq a^2+b^2 (zgubione 2ab2ab!), minus przed nawiasem przy odejmowaniu kwadratów.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 06: Wzory Skróconego Mnożenia & Zaawansowana Faktoryzacja

Wzory stopnia 2: $(a \pm b)^2$, $a^2 - b^2$, wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów. | Wzory stopnia 3: $(a \pm b)^3$, $a^3 \pm b^3$, wzór na kwadrat sumy trzech składników $(a+b+c)^2$, trójkąt Pascala i dwumian Newtona, dowodzenie nierówności algebraicznych metodą ...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 06

Dopełnianie do pełnego kwadratu (np. x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9), metoda AM-GM dla dwóch zmiennych.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

(a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \neq a^2+b^2 (zgubione 2ab2ab!), minus przed nawiasem przy odejmowaniu kwadratów.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 06: Wzory Skróconego Mnożenia & Zaawansowana Faktoryzacja

Wzory stopnia 2: $(a \pm b)^2$, $a^2 - b^2$, wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów. | Wzory stopnia 3: $(a \pm b)^3$, $a^3 \pm b^3$, wzór na kwadrat sumy trzech składników $(a+b+c)^2$, trójkąt Pascala i dwumian Newtona, dowodzenie nierówności algebraicznych metodą ...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 06

Dopełnianie do pełnego kwadratu (np. x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9), metoda AM-GM dla dwóch zmiennych.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

(a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \neq a^2+b^2 (zgubione 2ab2ab!), minus przed nawiasem przy odejmowaniu kwadratów.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Wzory Skróconego Mnożenia & Zaawansowana Faktoryzacja

Lekcja 06 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Wzory stopnia 2: (a±b)2(a \pm b)^2, a2−b2a^2 - b^2, wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów.
  • Poziom Rozszerzony: Wzory stopnia 3: (a±b)3(a \pm b)^3, a3±b3a^3 \pm b^3, wzór na kwadrat sumy trzech składników (a+b+c)2(a+b+c)^2, trójkąt Pascala i dwumian Newtona, dowodzenie nierówności algebraicznych metodą zwijania do sumy kwadratów.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Dopełnianie do pełnego kwadratu (np. x2+6x=(x+3)2−9x^2 + 6x = (x+3)^2 - 9), metoda AM-GM dla dwóch zmiennych.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: (a+b)2≠a2+b2(a+b)^2 \neq a^2+b^2 (zgubione 2ab2ab!), minus przed nawiasem przy odejmowaniu kwadratów.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.