Powrót do katalogu

Lekcja 39: Równanie Okręgu – Postać Kanoniczna, Ogólna & Wzajemne Położenie z Prostą

Dział 07: Geometria Analityczna
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 39: Równanie Okręgu – Postać Kanoniczna, Ogólna & Wzajemne Położenie z Prostą

Odczytywanie środka $S=(a, b)$ i promienia $r$ z postaci kanonicznej $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. | Sprowadzanie postaci ogólnej $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ do kanonicznej (metoda zwijania w kwadraty), warunek istnienia okręgu $r^2 = a^2 + b^2 - c > 0$, badanie liczby punktó...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy: Odczytywanie środka $S=(a, b)$ i promienia $r$ z postaci kanonicznej $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.

CKE Poziom Rozszerzony: Sprowadzanie postaci ogólnej $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ do kanonicznej (metoda zwijania w kwadraty), warunek istnienia okręgu $r^2 = a^2 + b^2 - c > 0$, badanie liczby punktów wspólnych prostej i okręgu (porównanie odległości $d(S, k)$ z promieniem $r$: $d < r \implies 2$ punkty, $d = r \implies 1$ punkt, $d > r \implies 0$ punktów).

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 39

Zwijanie do kwadratów: x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9.

3 Czerwone Flagi

01

Mylenie r2r^2 z rr (np. (x−1)2+(y+2)2=16  ⟹  r=4(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16 \implies r = 4, a nie 1616).

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Równanie Okręgu – Postać Kanoniczna, Ogólna & Wzajemne Położenie z Prostą

Lekcja 39 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Odczytywanie środka S=(a,b)S=(a, b) i promienia rr z postaci kanonicznej (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
  • Poziom Rozszerzony: Sprowadzanie postaci ogólnej x2+y2−2ax−2by+c=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 do kanonicznej (metoda zwijania w kwadraty), warunek istnienia okręgu r2=a2+b2−c>0r^2 = a^2 + b^2 - c > 0, badanie liczby punktów wspólnych prostej i okręgu (porównanie odległości d(S,k)d(S, k) z promieniem rr: d<r  ⟹  2d < r \implies 2 punkty, d=r  ⟹  1d = r \implies 1 punkt, d>r  ⟹  0d > r \implies 0 punktów).

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Zwijanie do kwadratów: x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Mylenie r2r^2 z rr (np. (x−1)2+(y+2)2=16  ⟹  r=4(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16 \implies r = 4, a nie 1616).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 39: Równanie Okręgu – Postać Kanoniczna, Ogólna & Wzajemne Położenie z Prostą

Odczytywanie środka $S=(a, b)$ i promienia $r$ z postaci kanonicznej $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. | Sprowadzanie postaci ogólnej $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ do kanonicznej (metoda zwijania w kwadraty), warunek istnienia okręgu $r^2 = a^2 + b^2 - c > 0$, badanie liczby punktó...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 39

Zwijanie do kwadratów: x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mylenie r2r^2 z rr (np. (x−1)2+(y+2)2=16  ⟹  r=4(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16 \implies r = 4, a nie 1616).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 39: Równanie Okręgu – Postać Kanoniczna, Ogólna & Wzajemne Położenie z Prostą

Odczytywanie środka $S=(a, b)$ i promienia $r$ z postaci kanonicznej $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. | Sprowadzanie postaci ogólnej $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ do kanonicznej (metoda zwijania w kwadraty), warunek istnienia okręgu $r^2 = a^2 + b^2 - c > 0$, badanie liczby punktó...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 39

Zwijanie do kwadratów: x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mylenie r2r^2 z rr (np. (x−1)2+(y+2)2=16  ⟹  r=4(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16 \implies r = 4, a nie 1616).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 39: Równanie Okręgu – Postać Kanoniczna, Ogólna & Wzajemne Położenie z Prostą

Odczytywanie środka $S=(a, b)$ i promienia $r$ z postaci kanonicznej $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. | Sprowadzanie postaci ogólnej $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ do kanonicznej (metoda zwijania w kwadraty), warunek istnienia okręgu $r^2 = a^2 + b^2 - c > 0$, badanie liczby punktó...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 39

Zwijanie do kwadratów: x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mylenie r2r^2 z rr (np. (x−1)2+(y+2)2=16  ⟹  r=4(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16 \implies r = 4, a nie 1616).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 39: Równanie Okręgu – Postać Kanoniczna, Ogólna & Wzajemne Położenie z Prostą

Odczytywanie środka $S=(a, b)$ i promienia $r$ z postaci kanonicznej $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$. | Sprowadzanie postaci ogólnej $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ do kanonicznej (metoda zwijania w kwadraty), warunek istnienia okręgu $r^2 = a^2 + b^2 - c > 0$, badanie liczby punktó...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 39

Zwijanie do kwadratów: x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mylenie r2r^2 z rr (np. (x−1)2+(y+2)2=16  ⟹  r=4(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16 \implies r = 4, a nie 1616).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Równanie Okręgu – Postać Kanoniczna, Ogólna & Wzajemne Położenie z Prostą

Lekcja 39 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Odczytywanie środka S=(a,b)S=(a, b) i promienia rr z postaci kanonicznej (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
  • Poziom Rozszerzony: Sprowadzanie postaci ogólnej x2+y2−2ax−2by+c=0x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 do kanonicznej (metoda zwijania w kwadraty), warunek istnienia okręgu r2=a2+b2−c>0r^2 = a^2 + b^2 - c > 0, badanie liczby punktów wspólnych prostej i okręgu (porównanie odległości d(S,k)d(S, k) z promieniem rr: d<r  ⟹  2d < r \implies 2 punkty, d=r  ⟹  1d = r \implies 1 punkt, d>r  ⟹  0d > r \implies 0 punktów).

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Zwijanie do kwadratów: x2−6x=(x−3)2−9x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Mylenie r2r^2 z rr (np. (x−1)2+(y+2)2=16  ⟹  r=4(x-1)^2 + (y+2)^2 = 16 \implies r = 4, a nie 1616).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.