Powrót do katalogu

Lekcja 23: Trygonometria Kąta Ostrego & Jedynka Trygonometryczna

Dział 05: Trygonometria
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 23: Trygonometria Kąta Ostrego & Jedynka Trygonometryczna

Definicje $\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha$ w trójkącie prostokątnym, wartości dla $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$, tożsamości: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, obliczanie wartości pozostałych ...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy: Definicje $\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha$ w trójkącie prostokątnym, wartości dla $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$, tożsamości: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, obliczanie wartości pozostałych funkcji przy danej jednej.

CKE Poziom Rozszerzony: Obliczanie wartości wyrażeń symetrycznych (np. $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{4}{3} \implies \sin \alpha \cos \alpha$, $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$).

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 23

Podnoszenie równania sin⁡α+cos⁡α=k\sin \alpha + \cos \alpha = k obustronnie do kwadratu: (sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α=k2  ⟹  sin⁡αcos⁡α=k2−12(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = k^2 \implies \sin \alpha \cos \alpha = \frac{k^2 - 1}{2}

3 Czerwone Flagi

01

Przyjmowanie cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} z minusem dla kąta ostrego (α∈(0∘,90∘)  ⟹  \alpha \in (0^\circ, 90^\circ) \implies wszystkie funkcje są ściśle dodatnie!).

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Trygonometria Kąta Ostrego & Jedynka Trygonometryczna

Lekcja 23 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Definicje sin⁡α,cos⁡α,tg⁡α\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha w trójkącie prostokątnym, wartości dla 30∘,45∘,60∘30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, tożsamości: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, obliczanie wartości pozostałych funkcji przy danej jednej.
  • Poziom Rozszerzony: Obliczanie wartości wyrażeń symetrycznych (np. sin⁡α+cos⁡α=43  ⟹  sin⁡αcos⁡α\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{4}{3} \implies \sin \alpha \cos \alpha, sin⁡3α+cos⁡3α\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha).

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Podnoszenie równania sin⁡α+cos⁡α=k\sin \alpha + \cos \alpha = k obustronnie do kwadratu: (sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α=k2  ⟹  sin⁡αcos⁡α=k2−12(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = k^2 \implies \sin \alpha \cos \alpha = \frac{k^2 - 1}{2}

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Przyjmowanie cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} z minusem dla kąta ostrego (α∈(0∘,90∘)  ⟹  \alpha \in (0^\circ, 90^\circ) \implies wszystkie funkcje są ściśle dodatnie!).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 23: Trygonometria Kąta Ostrego & Jedynka Trygonometryczna

Definicje $\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha$ w trójkącie prostokątnym, wartości dla $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$, tożsamości: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, obliczanie wartości pozostałych ...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 23

Podnoszenie równania sin⁡α+cos⁡α=k\sin \alpha + \cos \alpha = k obustronnie do kwadratu: (sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α=k2  ⟹  sin⁡αcos⁡α=k2−12(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = k^2 \implies \sin \alpha \cos \alpha = \frac{k^2 - 1}{2}

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Przyjmowanie cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} z minusem dla kąta ostrego (α∈(0∘,90∘)  ⟹  \alpha \in (0^\circ, 90^\circ) \implies wszystkie funkcje są ściśle dodatnie!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 23: Trygonometria Kąta Ostrego & Jedynka Trygonometryczna

Definicje $\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha$ w trójkącie prostokątnym, wartości dla $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$, tożsamości: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, obliczanie wartości pozostałych ...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 23

Podnoszenie równania sin⁡α+cos⁡α=k\sin \alpha + \cos \alpha = k obustronnie do kwadratu: (sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α=k2  ⟹  sin⁡αcos⁡α=k2−12(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = k^2 \implies \sin \alpha \cos \alpha = \frac{k^2 - 1}{2}

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Przyjmowanie cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} z minusem dla kąta ostrego (α∈(0∘,90∘)  ⟹  \alpha \in (0^\circ, 90^\circ) \implies wszystkie funkcje są ściśle dodatnie!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 23: Trygonometria Kąta Ostrego & Jedynka Trygonometryczna

Definicje $\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha$ w trójkącie prostokątnym, wartości dla $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$, tożsamości: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, obliczanie wartości pozostałych ...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 23

Podnoszenie równania sin⁡α+cos⁡α=k\sin \alpha + \cos \alpha = k obustronnie do kwadratu: (sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α=k2  ⟹  sin⁡αcos⁡α=k2−12(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = k^2 \implies \sin \alpha \cos \alpha = \frac{k^2 - 1}{2}

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Przyjmowanie cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} z minusem dla kąta ostrego (α∈(0∘,90∘)  ⟹  \alpha \in (0^\circ, 90^\circ) \implies wszystkie funkcje są ściśle dodatnie!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 23: Trygonometria Kąta Ostrego & Jedynka Trygonometryczna

Definicje $\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha$ w trójkącie prostokątnym, wartości dla $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$, tożsamości: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, obliczanie wartości pozostałych ...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 23

Podnoszenie równania sin⁡α+cos⁡α=k\sin \alpha + \cos \alpha = k obustronnie do kwadratu: (sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α=k2  ⟹  sin⁡αcos⁡α=k2−12(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = k^2 \implies \sin \alpha \cos \alpha = \frac{k^2 - 1}{2}

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Przyjmowanie cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} z minusem dla kąta ostrego (α∈(0∘,90∘)  ⟹  \alpha \in (0^\circ, 90^\circ) \implies wszystkie funkcje są ściśle dodatnie!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Trygonometria Kąta Ostrego & Jedynka Trygonometryczna

Lekcja 23 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Definicje sin⁡α,cos⁡α,tg⁡α\sin \alpha, \cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha w trójkącie prostokątnym, wartości dla 30∘,45∘,60∘30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, tożsamości: sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1, tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, obliczanie wartości pozostałych funkcji przy danej jednej.
  • Poziom Rozszerzony: Obliczanie wartości wyrażeń symetrycznych (np. sin⁡α+cos⁡α=43  ⟹  sin⁡αcos⁡α\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{4}{3} \implies \sin \alpha \cos \alpha, sin⁡3α+cos⁡3α\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha).

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Podnoszenie równania sin⁡α+cos⁡α=k\sin \alpha + \cos \alpha = k obustronnie do kwadratu: (sin⁡α+cos⁡α)2=1+2sin⁡αcos⁡α=k2  ⟹  sin⁡αcos⁡α=k2−12(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = k^2 \implies \sin \alpha \cos \alpha = \frac{k^2 - 1}{2}

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Przyjmowanie cos⁡α=±1−sin⁡2α\cos \alpha = \pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} z minusem dla kąta ostrego (α∈(0∘,90∘)  ⟹  \alpha \in (0^\circ, 90^\circ) \implies wszystkie funkcje są ściśle dodatnie!).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.