Powrót do katalogu

Lekcja 12: Funkcja Liniowa, Kąt Nachylenia & Relacje Prostopadłości/Równoległości

Dział 03: Funkcje i Ich Właściwości
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 12: Funkcja Liniowa, Kąt Nachylenia & Relacje Prostopadłości/Równoległości

Postać kierunkowa $y=ax+b$, współczynnik kierunkowy $a = \operatorname{tg} \alpha$, wyraz wolny $b$ (punkt $(0,b)$), warunek równoległości $a_1 = a_2$ i prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$, wyznaczanie wzoru prostej przechodzącej przez dwa punkty. | Postać ogólna prostej $Ax+B...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy: Postać kierunkowa $y=ax+b$, współczynnik kierunkowy $a = \operatorname{tg} \alpha$, wyraz wolny $b$ (punkt $(0,b)$), warunek równoległości $a_1 = a_2$ i prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$, wyznaczanie wzoru prostej przechodzącej przez dwa punkty.

CKE Poziom Rozszerzony: Postać ogólna prostej $Ax+By+C=0$, pęki prostych z parametrem przechodzące przez stały punkt, nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi jako półpłaszczyzny.

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 12

Związek trygonometryczny: a=tg⁡αa = \operatorname{tg} \alpha dla kątów rozwartych tg⁡(180∘−β)=−tg⁡β\operatorname{tg}(180^\circ - \beta) = -\operatorname{tg} \beta.

3 Czerwone Flagi

01

Warunek prostopadłości przy prostych pionowych (x=cx=c, gdzie współczynnik aa nie istnieje).

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Funkcja Liniowa, Kąt Nachylenia & Relacje Prostopadłości/Równoległości

Lekcja 12 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Postać kierunkowa y=ax+by=ax+b, współczynnik kierunkowy a=tg⁡αa = \operatorname{tg} \alpha, wyraz wolny bb (punkt (0,b)(0,b)), warunek równoległości a1=a2a_1 = a_2 i prostopadłości a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1, wyznaczanie wzoru prostej przechodzącej przez dwa punkty.
  • Poziom Rozszerzony: Postać ogólna prostej Ax+By+C=0Ax+By+C=0, pęki prostych z parametrem przechodzące przez stały punkt, nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi jako półpłaszczyzny.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Związek trygonometryczny: a=tg⁡αa = \operatorname{tg} \alpha dla kątów rozwartych tg⁡(180∘−β)=−tg⁡β\operatorname{tg}(180^\circ - \beta) = -\operatorname{tg} \beta.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Warunek prostopadłości przy prostych pionowych (x=cx=c, gdzie współczynnik aa nie istnieje).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 12: Funkcja Liniowa, Kąt Nachylenia & Relacje Prostopadłości/Równoległości

Postać kierunkowa $y=ax+b$, współczynnik kierunkowy $a = \operatorname{tg} \alpha$, wyraz wolny $b$ (punkt $(0,b)$), warunek równoległości $a_1 = a_2$ i prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$, wyznaczanie wzoru prostej przechodzącej przez dwa punkty. | Postać ogólna prostej $Ax+B...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 12

Związek trygonometryczny: a=tg⁡αa = \operatorname{tg} \alpha dla kątów rozwartych tg⁡(180∘−β)=−tg⁡β\operatorname{tg}(180^\circ - \beta) = -\operatorname{tg} \beta.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Warunek prostopadłości przy prostych pionowych (x=cx=c, gdzie współczynnik aa nie istnieje).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 12: Funkcja Liniowa, Kąt Nachylenia & Relacje Prostopadłości/Równoległości

Postać kierunkowa $y=ax+b$, współczynnik kierunkowy $a = \operatorname{tg} \alpha$, wyraz wolny $b$ (punkt $(0,b)$), warunek równoległości $a_1 = a_2$ i prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$, wyznaczanie wzoru prostej przechodzącej przez dwa punkty. | Postać ogólna prostej $Ax+B...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 12

Związek trygonometryczny: a=tg⁡αa = \operatorname{tg} \alpha dla kątów rozwartych tg⁡(180∘−β)=−tg⁡β\operatorname{tg}(180^\circ - \beta) = -\operatorname{tg} \beta.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Warunek prostopadłości przy prostych pionowych (x=cx=c, gdzie współczynnik aa nie istnieje).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 12: Funkcja Liniowa, Kąt Nachylenia & Relacje Prostopadłości/Równoległości

Postać kierunkowa $y=ax+b$, współczynnik kierunkowy $a = \operatorname{tg} \alpha$, wyraz wolny $b$ (punkt $(0,b)$), warunek równoległości $a_1 = a_2$ i prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$, wyznaczanie wzoru prostej przechodzącej przez dwa punkty. | Postać ogólna prostej $Ax+B...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 12

Związek trygonometryczny: a=tg⁡αa = \operatorname{tg} \alpha dla kątów rozwartych tg⁡(180∘−β)=−tg⁡β\operatorname{tg}(180^\circ - \beta) = -\operatorname{tg} \beta.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Warunek prostopadłości przy prostych pionowych (x=cx=c, gdzie współczynnik aa nie istnieje).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 12: Funkcja Liniowa, Kąt Nachylenia & Relacje Prostopadłości/Równoległości

Postać kierunkowa $y=ax+b$, współczynnik kierunkowy $a = \operatorname{tg} \alpha$, wyraz wolny $b$ (punkt $(0,b)$), warunek równoległości $a_1 = a_2$ i prostopadłości $a_1 \cdot a_2 = -1$, wyznaczanie wzoru prostej przechodzącej przez dwa punkty. | Postać ogólna prostej $Ax+B...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 12

Związek trygonometryczny: a=tg⁡αa = \operatorname{tg} \alpha dla kątów rozwartych tg⁡(180∘−β)=−tg⁡β\operatorname{tg}(180^\circ - \beta) = -\operatorname{tg} \beta.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Warunek prostopadłości przy prostych pionowych (x=cx=c, gdzie współczynnik aa nie istnieje).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Funkcja Liniowa, Kąt Nachylenia & Relacje Prostopadłości/Równoległości

Lekcja 12 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Postać kierunkowa y=ax+by=ax+b, współczynnik kierunkowy a=tg⁡αa = \operatorname{tg} \alpha, wyraz wolny bb (punkt (0,b)(0,b)), warunek równoległości a1=a2a_1 = a_2 i prostopadłości a1⋅a2=−1a_1 \cdot a_2 = -1, wyznaczanie wzoru prostej przechodzącej przez dwa punkty.
  • Poziom Rozszerzony: Postać ogólna prostej Ax+By+C=0Ax+By+C=0, pęki prostych z parametrem przechodzące przez stały punkt, nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi jako półpłaszczyzny.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Związek trygonometryczny: a=tg⁡αa = \operatorname{tg} \alpha dla kątów rozwartych tg⁡(180∘−β)=−tg⁡β\operatorname{tg}(180^\circ - \beta) = -\operatorname{tg} \beta.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Warunek prostopadłości przy prostych pionowych (x=cx=c, gdzie współczynnik aa nie istnieje).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.