Powrót do katalogu

Lekcja 02: Logarytmy i Równania Logarytmiczne

Dział 01: Liczby Rzeczywiste
120 min
53 pkt (36 zadań)

Lekcja 02: Logarytmy i Równania Logarytmiczne

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 53 pkt

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

Logarytmy to gwarantowane punkty na maturze podstawowej (zadania 2–3) oraz kluczowy element zadań rozszerzonych (równania wykładniczo-logarytmiczne i dowody nierówności z tożsamością x+1x≥2x + \frac{1}{x} \ge 2).

3 Kluczowe Patenty

1

Reguła łańcuchowa

log⁡a(b)⋅log⁡b(c)=log⁡a(c)\log_a(b) \cdot \log_b(c) = \log_a(c) (błyskawiczna redukcja iloczynów logarytmów po przekątnej).

2

Zmienna pomocnicza t

W równaniach kwadratowych log⁡a2(x)−3log⁡a(x)+2=0\log_a^2(x) - 3\log_a(x) + 2 = 0 podstaw t=log⁡a(x)t = \log_a(x).

3

Tożsamość potęgowa

alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b oraz aklog⁡ab=bka^{k\log_a b} = b^k (natychmiastowe uproszczenie potęg o równej bazie).

3 Czerwone Flagi

01

Rygor dziedziny: Zanim dotkniesz równania lub nierówności, zapisz założenia (x>0x > 0, podstawa a>0,a≠1a > 0, a \neq 1)! Brak dziedziny = 0 pkt na maturze rozszerzonej.

02

log⁡a(x+y)≠log⁡a(x)+log⁡a(y)\log_a(x + y) \neq \log_a(x) + \log_a(y) (logarytm sumy nie istnieje — nigdy go nie rozbijaj!).

03

log⁡axlog⁡ay≠log⁡a(x−y)\frac{\log_a x}{\log_a y} \neq \log_a(x - y) (iloraz logarytmów to zamiana bazy log⁡y(x)\log_y(x), a nie różnica!).

04

Podstawa ułamkowa a∈(0,1)a \in (0, 1) odwraca nierówność: log⁡af(x)≥log⁡ag(x)  ⟺  f(x)≤g(x)\log_a f(x) \ge \log_a g(x) \iff f(x) \le g(x)!

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Pobierz wideo

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Prędkość:

Rozdziały

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📘 Kompendium Wiedzy: Logarytmy i Równania Logarytmiczne

1. Definicja i Fundamenty Logarytmu

Dla dowolnej podstawy a>0,a≠1a > 0, a \neq 1 oraz liczby logarytmowanej b>0b > 0, logarytmem log⁡ab\log_a b nazywamy wykładnik potęgi cc, do której należy podnieść podstawę aa, aby otrzymać liczbę bb:

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b

  • Podstawa logarytmu (aa): musi spełniać a>0a > 0 oraz a≠1a \neq 1.
  • Liczba logarytmowana (bb): musi być ściśle dodatnia (b>0b > 0).
  • Wartość logarytmu (cc): może być dowolną liczbą rzeczywistą (c∈Rc \in \mathbb{R}: dodatnią, ujemną lub zerem).

Własności elementarne:

  • log⁡a1=0(poniewaz˙ a0=1)\log_a 1 = 0 \quad (\text{ponieważ } a^0 = 1)
  • log⁡aa=1(poniewaz˙ a1=a)\log_a a = 1 \quad (\text{ponieważ } a^1 = a)
  • log⁡a(ak)=k\log_a(a^k) = k
  • alog⁡ab=b(fundamentalna toz˙samosˊcˊ potęgowo-logarytmiczna)a^{\log_a b} = b \quad (\text{fundamentalna tożsamość potęgowo-logarytmiczna})

2. Prawa Działań na Logarytmach o Tej Samej Podstawie

Dla dowolnych liczb x>0,y>0x > 0, y > 0 oraz a>0,a≠1a > 0, a \neq 1:

DziałanieWzór z Tablic CKEZastosowanie / Uwagi
Suma logarytmówlog⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)Zwijanie sumy w logarytm iloczynu
Różnica logarytmówlog⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a\left(\frac{x}{y}\right)Zwijanie różnicy w logarytm ilorazu
Wciąganie współczynnikak⋅log⁡ax=log⁡a(xk)k \cdot \log_a x = \log_a(x^k)Zmiana mnożnika na wykładnik potęgi argumentu

3. Wzory Poziomu Rozszerzonego (Formuła 2015 & 2023)

Zaawansowane przekształcenia bazowe i algebraiczne:

Nazwa wzoruZapis algebraicznyZastosowanie praktyczne
Zamiana podstawylog⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}Sprowadzanie logarytmów do wspólnej bazy cc
Odwracanie podstawylog⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a}Zamiana miejscami podstawy i argumentu
Reguła łańcuchowalog⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a cSkracanie iloczynów logarytmów po przekątnej
Wykładnik w podstawielog⁡akb=1k⋅log⁡ab\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \cdot \log_a bWyciąganie potęgi z podstawy jako odwrotności
Pierwiastek w podstawielog⁡ab=2⋅log⁡ab\log_{\sqrt{a}} b = 2 \cdot \log_a bPrzypadek szczególny wykładnika k=12k = \frac{1}{2}

4. Rygor Dziedziny w Równaniach i Nierównościach

W zadaniach otwartych na maturze rozszerzonej ZASADA DZIEDZINY JEST BEZWZGLĘDNA:

  1. Każde wyrażenie pod logarytmem musi być ściśle dodatnie: f(x)>0f(x) > 0.
  2. Każda podstawa ze zmienną musi spełniać: g(x)>0∧g(x)≠1g(x) > 0 \land g(x) \neq 1.
  3. Każdy mianownik zawierający logarytm nie może być zerem: log⁡af(x)≠0  ⟺  f(x)≠1\log_a f(x) \neq 0 \iff f(x) \neq 1.
  4. Monotoniczność w nierównościach:
    • Dla podstawy a>1a > 1: funkcja jest rosnąca   ⟹  log⁡af(x)≥log⁡ag(x)  ⟺  f(x)≥g(x)\implies \log_a f(x) \ge \log_a g(x) \iff f(x) \ge g(x).
    • Dla podstawy a∈(0,1)a \in (0, 1): funkcja jest malejąca   ⟹  log⁡af(x)≥log⁡ag(x)  ⟺  f(x)≤g(x)\implies \log_a f(x) \ge \log_a g(x) \iff f(x) \le g(x) (ZMIANA ZWROTU!).

5. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typologia Błędów Maturalnych)

L.p.❌ NIE WOLNO! (Błąd kardynalny)✅ PRAWIDŁOWO (Standard CKE)Wyjaśnienie i reguła egzaminatora
1log⁡a(x+y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x + y) = \log_a x + \log_a ylog⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a yLogarytm sumy NIE jest sumą logarytmów! Sumę logarytmów zwijamy w logarytm iloczynu.
2log⁡axlog⁡ay=log⁡a(x−y)\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_a(x - y)log⁡axlog⁡ay=log⁡yx\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y xIloraz dwóch logarytmów o równej bazie to wzór na zamianę podstawy, a NIE logarytm różnicy!
3Rozwiązywanie równania bez założeń dziedzinyKrok 0: x>0∧g(x)>0∧g(x)≠1x > 0 \land g(x) > 0 \land g(x) \neq 1Pominięcie dziedziny na maturze rozszerzonej skutkuje natychmiastową utratą punktów (lub 0 pkt).
4log⁡12f(x)≥log⁡12g(x)  ⟹  f(x)≥g(x)\log_{\frac{1}{2}} f(x) \ge \log_{\frac{1}{2}} g(x) \implies f(x) \ge g(x)f(x)≤g(x)f(x) \le g(x) (oraz f(x)>0,g(x)>0f(x) > 0, g(x) > 0)Dla bazy ułamkowej a∈(0,1)a \in (0, 1) funkcja jest malejąca — BEZWZGLĘDNA zmiana zwrotu nierówności!
5log⁡a(x2)=2log⁡ax\log_a(x^2) = 2\log_a x bez założeńlog⁡a(x2)=2log⁡a∣x∣\log_a(x^2) = 2\log_a \lvert x \rvert dla x≠0x \neq 0Dla x<0x < 0 wyrażenie log⁡a(x2)\log_a(x^2) istnieje, a log⁡ax\log_a x nie! Znoszenie parzystej potęgi wymaga modułu.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 02: Logarytmy i Równania Logarytmiczne

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 53 pkt

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 16 zadań🏆 21 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 21 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Definicja i tożsamości

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b · alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b · log⁡a1=0\log_a 1 = 0 · log⁡aa=1\log_a a = 1 · log⁡a(ak)=k\log_a(a^k) = k

Prawa działań na logarytmach

log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y · log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y · klog⁡ax=log⁡a(xk)k\log_a x = \log_a(x^k)

Wzory rozszerzone CKE

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} · log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} · log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c · log⁡akb=1klog⁡ab\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Reguła łańcuchowa

log⁡a(b)⋅log⁡b(c)=log⁡a(c)\log_a(b) \cdot \log_b(c) = \log_a(c) (błyskawiczna redukcja iloczynów logarytmów po przekątnej).

2. Zmienna pomocnicza t

W równaniach kwadratowych log⁡a2(x)−3log⁡a(x)+2=0\log_a^2(x) - 3\log_a(x) + 2 = 0 podstaw t=log⁡a(x)t = \log_a(x).

3. Tożsamość potęgowa

alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b oraz aklog⁡ab=bka^{k\log_a b} = b^k (natychmiastowe uproszczenie potęg o równej bazie).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Rygor dziedziny: Zanim dotkniesz równania lub nierówności, zapisz założenia (x>0x > 0, podstawa a>0,a≠1a > 0, a \neq 1)! Brak dziedziny = 0 pkt na maturze rozszerzonej.

02

log⁡a(x+y)≠log⁡a(x)+log⁡a(y)\log_a(x + y) \neq \log_a(x) + \log_a(y) (logarytm sumy nie istnieje — nigdy go nie rozbijaj!).

03

log⁡axlog⁡ay≠log⁡a(x−y)\frac{\log_a x}{\log_a y} \neq \log_a(x - y) (iloraz logarytmów to zamiana bazy log⁡y(x)\log_y(x), a nie różnica!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie12345678910111213141516
Maks. pkt1111111111111332
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 17 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2026 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 1: Definicja logarytmu i pierwiastki w liczbie logarytmowanej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡5253\log_5 \sqrt[3]{25} jest równa:
A. 13\frac{1}{3}      B. 23\frac{2}{3}      C. 32\frac{3}{2}      D. 33

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2026 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 2: Różnica logarytmów o tej samej podstawie

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡84−log⁡832\log_8 4 - \log_8 32 jest równa:
A. (−2)(-2)      B. (−1)(-1)      C. 11      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2024 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 3: Logarytm o podstawie niewymiernej sqrt(3)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡39\log_{\sqrt{3}} 9 jest równa:
A. 22      B. 33      C. 44      D. 66

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2023 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 4: Suma logarytmów o tej samej podstawie

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡927+log⁡93\log_9 27 + \log_9 3 jest równa:
A. 8181      B. 99      C. 44      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2015 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 5: Logarytmy o ułamkowych podstawach i iloczyn liczb

Dane są liczby a=−127a = -\frac{1}{27}, b=log⁡1464b = \log_{\frac{1}{4}} 64, c=log⁡1327c = \log_{\frac{1}{3}} 27.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c jest równy:
A. (−9)(-9)      B. (−13)\left(-\frac{1}{3}\right)      C. 13\frac{1}{3}      D. 33

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2025 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 6: Wciąganie współczynnika do potęgi logarytmu

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡3108−2log⁡32\log_3 108 - 2\log_3 2 jest równa:
A. 33      B. 99      C. log⁡3104\log_3 104      D. 2log⁡3542\log_3 54

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2023 r., Zadanie 5 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 7: Logarytmy o różnych podstawach z bazy 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡218+log⁡42\log_2 \frac{1}{8} + \log_4 2 jest równa:
A. −52-\frac{5}{2}      B. (−2)(-2)      C. −12-\frac{1}{2}      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2022 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 8: Mnożenie logarytmu dziesiętnego przez stałą

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba dwukrotnie większa od log⁡3+log⁡2\log 3 + \log 2 jest równa:
A. log⁡12\log 12      B. log⁡36\log 36      C. log⁡10\log 10      D. log⁡25\log 25

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2017 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 9: Zamiana podstawy logarytmu 4 na bazę 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡425+log⁡210\log_4 25 + \log_2 10 jest równa:
A. log⁡215\log_2 15      B. log⁡250\log_2 50      C. log⁡4250\log_4 250      D. log⁡2100\log_2 100

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2018 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 10: Reguła łańcuchowa iloczynu logarytmów

Niech L=log⁡22⋅log⁡23⋅log⁡34L = \log_2 2 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 4.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wtedy:
A. L=1L = 1      B. L=2L = 2      C. L=3L = 3      D. L=4L = 4

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2018 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 11: Odwracanie podstawy logarytmu 1 / log_b a

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia 2log⁡510−1log⁡2052\log_5 10 - \frac{1}{\log_{20} 5} jest równa:
A. (−1)(-1)      B. 00      C. 11      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2019 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 12: Wyrażenia algebraiczne z logarytmami o odwrotnych podstawach

Dla dowolnych liczb x>0,x≠1,y>0,y≠1x > 0, x \neq 1, y > 0, y \neq 1 wartość wyrażenia log⁡1xy⋅log⁡1yx\log_{\frac{1}{x}} y \cdot \log_{\frac{1}{y}} x jest równa:

A. (−1)(-1)      B. 00      C. x⋅yx \cdot y      D. 11

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2022 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 13: Różnica logarytmów o splątanych podstawach i pierwiastkach

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡327−log⁡273\log_3 \sqrt{27} - \log_{27} \sqrt{3} jest równa:
A. 43\frac{4}{3}      B. 13\frac{1}{3}      C. 00      D. 83\frac{8}{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2024 r., Zadanie 5 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność 14: Dowód tożsamości z ilorazem logarytmów i wyborem bazy 4

Liczby dodatnie aa i bb spełniają warunki: a=log⁡54a = \log_5 4 oraz b=log⁡43b = \log_4 3. Wykaż, że:
log⁡1280=2a+1a(1+b)\log_{12} 80 = \frac{2a + 1}{a(1 + b)}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2025 r., Zadanie 2 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność 15: Wyznaczanie logarytmu ze zmiennymi parametrami

Wykaż, że jeżeli a=log⁡214a = \log_2 14 oraz b=log⁡227b = \log_{\sqrt{2}} 27, to zachodzi równość:
log⁡754=b+22a−2\log_7 54 = \frac{b + 2}{2a - 2}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2023 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 16: Iloraz logarytmów i tożsamość potęgowo-logarytmiczna

Dane są liczby a=4log⁡245a = 4^{\log_2 45} oraz b=log⁡32023log⁡92023b = \frac{\log_3 2023}{\log_9 2023}. Oblicz wartość wyrażenia a−ba - b. Zapisz obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 02: Logarytmy i Równania Logarytmiczne

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 53 pkt

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 16 zadań🏆 21 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 21 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Definicja i tożsamości

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b · alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b · log⁡a1=0\log_a 1 = 0 · log⁡aa=1\log_a a = 1 · log⁡a(ak)=k\log_a(a^k) = k

Prawa działań na logarytmach

log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y · log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y · klog⁡ax=log⁡a(xk)k\log_a x = \log_a(x^k)

Wzory rozszerzone CKE

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} · log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} · log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c · log⁡akb=1klog⁡ab\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Reguła łańcuchowa

log⁡a(b)⋅log⁡b(c)=log⁡a(c)\log_a(b) \cdot \log_b(c) = \log_a(c) (błyskawiczna redukcja iloczynów logarytmów po przekątnej).

2. Zmienna pomocnicza t

W równaniach kwadratowych log⁡a2(x)−3log⁡a(x)+2=0\log_a^2(x) - 3\log_a(x) + 2 = 0 podstaw t=log⁡a(x)t = \log_a(x).

3. Tożsamość potęgowa

alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b oraz aklog⁡ab=bka^{k\log_a b} = b^k (natychmiastowe uproszczenie potęg o równej bazie).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Rygor dziedziny: Zanim dotkniesz równania lub nierówności, zapisz założenia (x>0x > 0, podstawa a>0,a≠1a > 0, a \neq 1)! Brak dziedziny = 0 pkt na maturze rozszerzonej.

02

log⁡a(x+y)≠log⁡a(x)+log⁡a(y)\log_a(x + y) \neq \log_a(x) + \log_a(y) (logarytm sumy nie istnieje — nigdy go nie rozbijaj!).

03

log⁡axlog⁡ay≠log⁡a(x−y)\frac{\log_a x}{\log_a y} \neq \log_a(x - y) (iloraz logarytmów to zamiana bazy log⁡y(x)\log_y(x), a nie różnica!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie12345678910111213141516
Maks. pkt1111111111111332
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 17 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2026 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 1: Definicja logarytmu i pierwiastki w liczbie logarytmowanej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡5253\log_5 \sqrt[3]{25} jest równa:
A. 13\frac{1}{3}      B. 23\frac{2}{3}      C. 32\frac{3}{2}      D. 33

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Definicja logarytmu: log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b
• Wykładnik ułamkowy: amn=amn  ⟹  253=523=523\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} \implies \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}
• Własność potęgi w logarytmie: log⁡a(ak)=k\log_a(a^k) = k

Strategia

  1. Baza 5: 25=52  ⟹  253=52325 = 5^2 \implies \sqrt[3]{25} = 5^{\frac{2}{3}}.
    2. log⁡5523=23\log_5 5^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}.

Pełne obliczenia

  1. Zapisujemy liczbę logarytmowaną jako potęgę bazy 5:
       25=52  ⟹  253=523=52325 = 5^2 \implies \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}
    2. Korzystamy bezpośrednio z definicji logarytmu / własności log⁡a(ak)=k\log_a(a^k) = k:
       log⁡5253=log⁡5(523)=23\log_5 \sqrt[3]{25} = \log_5 \left(5^{\frac{2}{3}}\right) = \frac{2}{3}
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Odwrócenie ułamka: zaznaczenie 32\frac{3}{2} (opcja C).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2026 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 2: Różnica logarytmów o tej samej podstawie

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡84−log⁡832\log_8 4 - \log_8 32 jest równa:
A. (−2)(-2)      B. (−1)(-1)      C. 11      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Różnica logarytmów o wspólnej podstawie: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)
• Wykładnik ujemny: 1a=a−1  ⟹  log⁡aa−1=−1\frac{1}{a} = a^{-1} \implies \log_a a^{-1} = -1

Strategia

  1. Różnica logarytmów: log⁡8432=log⁡818\log_8 \frac{4}{32} = \log_8 \frac{1}{8}.
    2. log⁡88−1=−1\log_8 8^{-1} = -1.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy wzór na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
       log⁡84−log⁡832=log⁡8(432)\log_8 4 - \log_8 32 = \log_8 \left(\frac{4}{32}\right)
    2. Skracamy ułamek przez 4:
       432=18\frac{4}{32} = \frac{1}{8}
    3. Obliczamy wartość logarytmu:
       Ponieważ 8−1=188^{-1} = \frac{1}{8}, to log⁡8(18)=log⁡8(8−1)=−1\log_8 \left(\frac{1}{8}\right) = \log_8(8^{-1}) = -1
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Dzielenie wartości logarytmów zamiast liczb logarytmowanych.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2024 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 3: Logarytm o podstawie niewymiernej sqrt(3)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡39\log_{\sqrt{3}} 9 jest równa:
A. 22      B. 33      C. 44      D. 66

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Definicja logarytmu: log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b
• Baza potęgi: (3)c=(312)c=3c2(\sqrt{3})^c = (3^{\frac{1}{2}})^c = 3^{\frac{c}{2}} oraz 9=329 = 3^2

Strategia

  1. (3)c=9  ⟹  3c2=32(\sqrt{3})^c = 9 \implies 3^{\frac{c}{2}} = 3^2.
    2. c2=2  ⟹  c=4\frac{c}{2} = 2 \implies c = 4.

Pełne obliczenia

  1. Niech szukana wartość wynosi cc, czyli log⁡39=c\log_{\sqrt{3}} 9 = c.
    2. Z definicji logarytmu wynika równanie potęgowe:
       (3)c=9(\sqrt{3})^c = 9
    3. Przedstawiamy obie strony jako potęgi liczby 3:
       (3)c=(312)c=3c2(\sqrt{3})^c = (3^{\frac{1}{2}})^c = 3^{\frac{c}{2}}
       9=329 = 3^2
    4. Przyrównujemy wykładniki potęg o tej samej podstawie:
       c2=2  ⟹  c=2⋅2=4\frac{c}{2} = 2 \implies c = 2 \cdot 2 = 4
    Poprawna odpowiedź: C

Pułapka egzaminatora

• Zaznaczenie odpowiedzi 2 (mylenie log⁡39=2\log_3 9 = 2 z log⁡39=4\log_{\sqrt{3}} 9 = 4).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2023 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 4: Suma logarytmów o tej samej podstawie

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡927+log⁡93\log_9 27 + \log_9 3 jest równa:
A. 8181      B. 99      C. 44      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Suma logarytmów o wspólnej podstawie: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)
• Wartość logarytmu: log⁡a(a2)=2\log_a(a^2) = 2

Strategia

  1. Wzór na sumę logarytmów: log⁡9(27⋅3)=log⁡981\log_9(27 \cdot 3) = \log_9 81.
    2. Ponieważ 92=819^2 = 81, to log⁡981=2\log_9 81 = 2.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy wzór na sumę logarytmów o tej samej podstawie:
       log⁡927+log⁡93=log⁡9(27⋅3)\log_9 27 + \log_9 3 = \log_9 (27 \cdot 3)
    2. Mnożymy liczby logarytmowane:
       27⋅3=8127 \cdot 3 = 81
    3. Obliczamy wartość log⁡981\log_9 81:
       Ponieważ 92=819^2 = 81, to log⁡981=2\log_9 81 = 2
    Poprawna odpowiedź: D

Pułapka egzaminatora

• Dodawanie liczb logarytmowanych bez logarytmu iloczynu (27+3=3027 + 3 = 30).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2015 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 5: Logarytmy o ułamkowych podstawach i iloczyn liczb

Dane są liczby a=−127a = -\frac{1}{27}, b=log⁡1464b = \log_{\frac{1}{4}} 64, c=log⁡1327c = \log_{\frac{1}{3}} 27.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c jest równy:
A. (−9)(-9)      B. (−13)\left(-\frac{1}{3}\right)      C. 13\frac{1}{3}      D. 33

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Definicja logarytmu z podstawy ułamkowej: log⁡1k(kn)=−n\log_{\frac{1}{k}} (k^n) = -n, bo (1k)−n=kn\left(\frac{1}{k}\right)^{-n} = k^n
• Mnożenie liczb ujemnych: (−1)⋅(−1)=+1(-1) \cdot (-1) = +1

Strategia

  1. b=log⁡1464=−3b = \log_{\frac{1}{4}} 64 = -3, bo (1/4)−3=43=64(1/4)^{-3} = 4^3 = 64.
    2. c=log⁡1327=−3c = \log_{\frac{1}{3}} 27 = -3, bo (1/3)−3=33=27(1/3)^{-3} = 3^3 = 27.
    3. a⋅b⋅c=(−127)⋅(−3)⋅(−3)=−927=−13a \cdot b \cdot c = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot (-3) \cdot (-3) = -\frac{9}{27} = -\frac{1}{3}.

Pełne obliczenia

  1. Wyznaczamy wartość liczby b=log⁡1464b = \log_{\frac{1}{4}} 64:
       (14)x=64  ⟹  (4−1)x=43  ⟹  4−x=43  ⟹  −x=3  ⟹  x=−3\left(\frac{1}{4}\right)^x = 64 \implies (4^{-1})^x = 4^3 \implies 4^{-x} = 4^3 \implies -x = 3 \implies x = -3
       Zatem b=−3b = -3.
    2. Wyznaczamy wartość liczby c=log⁡1327c = \log_{\frac{1}{3}} 27:
       (13)y=27  ⟹  (3−1)y=33  ⟹  3−y=33  ⟹  −y=3  ⟹  y=−3\left(\frac{1}{3}\right)^y = 27 \implies (3^{-1})^y = 3^3 \implies 3^{-y} = 3^3 \implies -y = 3 \implies y = -3
       Zatem c=−3c = -3.
    3. Obliczamy iloczyn a⋅b⋅ca \cdot b \cdot c:
       a⋅b⋅c=(−127)⋅(−3)⋅(−3)=(−127)⋅9=−927=−13a \cdot b \cdot c = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot (-3) \cdot (-3) = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot 9 = -\frac{9}{27} = -\frac{1}{3}
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Pomyłka ze znakiem przy mnożeniu trzech liczb ujemnych (iloczyn trzech liczb ujemnych jest ujemny!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2025 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 6: Wciąganie współczynnika do potęgi logarytmu

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡3108−2log⁡32\log_3 108 - 2\log_3 2 jest równa:
A. 33      B. 99      C. log⁡3104\log_3 104      D. 2log⁡3542\log_3 54

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wciąganie współczynnika: k⋅log⁡ax=log⁡a(xk)  ⟹  2log⁡32=log⁡3(22)=log⁡34k \cdot \log_a x = \log_a(x^k) \implies 2\log_3 2 = \log_3(2^2) = \log_3 4
• Różnica logarytmów: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)

Strategia

  1. 2log⁡32=log⁡3(22)=log⁡342\log_3 2 = \log_3(2^2) = \log_3 4.
    2. log⁡3108−log⁡34=log⁡3(1084)=log⁡327\log_3 108 - \log_3 4 = \log_3 \left(\frac{108}{4}\right) = \log_3 27.
    3. log⁡327=3\log_3 27 = 3, bo 33=273^3 = 27.

Pełne obliczenia

  1. Wciągamy liczbę 2 stojącą przed logarytmem do wykładnika liczby logarytmowanej:
       2log⁡32=log⁡3(22)=log⁡342\log_3 2 = \log_3 (2^2) = \log_3 4
    2. Stosujemy wzór na różnicę logarytmów o tej samej podstawie:
       log⁡3108−log⁡34=log⁡3(1084)\log_3 108 - \log_3 4 = \log_3 \left(\frac{108}{4}\right)
    3. Wykonujemy dzielenie:
       1084=27\frac{108}{4} = 27
    4. Obliczamy wartość log⁡327\log_3 27:
       Ponieważ 33=273^3 = 27, to log⁡327=3\log_3 27 = 3
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• Odejmowanie liczb logarytmowanych przed wciągnięciem współczynnika: 108−4=104108 - 4 = 104 (błędna opcja C!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2023 r., Zadanie 5 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 7: Logarytmy o różnych podstawach z bazy 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡218+log⁡42\log_2 \frac{1}{8} + \log_4 2 jest równa:
A. −52-\frac{5}{2}      B. (−2)(-2)      C. −12-\frac{1}{2}      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Potęgi dwójki: 18=2−3  ⟹  log⁡218=−3\frac{1}{8} = 2^{-3} \implies \log_2 \frac{1}{8} = -3
• Pierwiastek w podstawie: 412=4=2  ⟹  log⁡42=124^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2 \implies \log_4 2 = \frac{1}{2}

Strategia

  1. log⁡218=−3\log_2 \frac{1}{8} = -3.
    2. log⁡42=12\log_4 2 = \frac{1}{2}.
    3. Suma: −3+12=−52-3 + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}.

Pełne obliczenia

  1. Obliczamy wartość pierwszego składnika log⁡218\log_2 \frac{1}{8}:
       Ponieważ 2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}, to log⁡2(18)=−3\log_2 \left(\frac{1}{8}\right) = -3
    2. Obliczamy wartość drugiego składnika log⁡42\log_4 2:
       Szukamy takiego xx, że 4x=24^x = 2. Ponieważ (22)x=21  ⟹  22x=21  ⟹  2x=1  ⟹  x=12(2^2)^x = 2^1 \implies 2^{2x} = 2^1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}, to log⁡42=12\log_4 2 = \frac{1}{2}
    3. Dodajemy obie wartości:
       −3+12=−62+12=−52-3 + \frac{1}{2} = -\frac{6}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• Zaznaczenie log⁡42=2\log_4 2 = 2 (błędna zamiana podstawy z liczbą logarytmowaną; to log⁡24=2\log_2 4 = 2, a nie log⁡42\log_4 2).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2022 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 8: Mnożenie logarytmu dziesiętnego przez stałą

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba dwukrotnie większa od log⁡3+log⁡2\log 3 + \log 2 jest równa:
A. log⁡12\log 12      B. log⁡36\log 36      C. log⁡10\log 10      D. log⁡25\log 25

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Suma logarytmów dziesiętnych: log⁡3+log⁡2=log⁡(3⋅2)=log⁡6\log 3 + \log 2 = \log(3 \cdot 2) = \log 6
• Liczba dwukrotnie większa: 2⋅log⁡6=log⁡(62)=log⁡362 \cdot \log 6 = \log(6^2) = \log 36

Strategia

  1. log⁡3+log⁡2=log⁡6\log 3 + \log 2 = \log 6.
    2. Dwukrotność: 2log⁡6=log⁡(62)=log⁡362 \log 6 = \log (6^2) = \log 36.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy wzór na sumę logarytmów dziesiętnych:
       log⁡3+log⁡2=log⁡(3⋅2)=log⁡6\log 3 + \log 2 = \log (3 \cdot 2) = \log 6
    2. Liczba dwukrotnie większa oznacza pomnożenie wyrażenia przez 2:
       2⋅(log⁡3+log⁡2)=2⋅log⁡62 \cdot (\log 3 + \log 2) = 2 \cdot \log 6
    3. Wciągamy czynnik 2 do wykładnika liczby logarytmowanej:
       2⋅log⁡6=log⁡(62)=log⁡362 \cdot \log 6 = \log (6^2) = \log 36
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Mnożenie wnętrza logarytmu przez 2: 2⋅log⁡6=log⁡(2⋅6)=log⁡122 \cdot \log 6 = \log(2 \cdot 6) = \log 12 (szkolny błąd dający mylną opcję A!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2017 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 9: Zamiana podstawy logarytmu 4 na bazę 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡425+log⁡210\log_4 25 + \log_2 10 jest równa:
A. log⁡215\log_2 15      B. log⁡250\log_2 50      C. log⁡4250\log_4 250      D. log⁡2100\log_2 100

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzór na zamianę podstawy logarytmu: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca  ⟹  log⁡425=log⁡225log⁡24=log⁡2(52)2=2log⁡252=log⁡25\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \implies \log_4 25 = \frac{\log_2 25}{\log_2 4} = \frac{\log_2(5^2)}{2} = \frac{2\log_2 5}{2} = \log_2 5
• Suma logarytmów o bazie 2: log⁡25+log⁡210=log⁡2(5⋅10)=log⁡250\log_2 5 + \log_2 10 = \log_2(5 \cdot 10) = \log_2 50

Strategia

  1. log⁡425=log⁡25\log_4 25 = \log_2 5.
    2. log⁡25+log⁡210=log⁡2(5⋅10)=log⁡250\log_2 5 + \log_2 10 = \log_2 (5 \cdot 10) = \log_2 50.

Pełne obliczenia

  1. Zamieniamy podstawę w pierwszym logarytmie na bazę 2:
       log⁡425=log⁡225log⁡24=log⁡2(52)log⁡2(22)=2log⁡252=log⁡25\log_4 25 = \frac{\log_2 25}{\log_2 4} = \frac{\log_2 (5^2)}{\log_2 (2^2)} = \frac{2\log_2 5}{2} = \log_2 5
    2. Dodajemy logarytmy o wspólnej podstawie 2:
       log⁡25+log⁡210=log⁡2(5⋅10)=log⁡250\log_2 5 + \log_2 10 = \log_2 (5 \cdot 10) = \log_2 50
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Dodawanie liczb pod logarytmami z różnymi podstawami bez sprowadzenia do wspólnej bazy (25+10=3525 + 10 = 35 lub 25⋅10=25025 \cdot 10 = 250).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2018 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 10: Reguła łańcuchowa iloczynu logarytmów

Niech L=log⁡22⋅log⁡23⋅log⁡34L = \log_2 2 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 4.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wtedy:
A. L=1L = 1      B. L=2L = 2      C. L=3L = 3      D. L=4L = 4

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Reguła łańcuchowa (z zamiany podstawy logarytmu): log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c
• Własność: log⁡aa=1,log⁡24=log⁡2(22)=2\log_a a = 1, \quad \log_2 4 = \log_2(2^2) = 2

Strategia

  1. log⁡22=1\log_2 2 = 1.
    2. log⁡23⋅log⁡34=log⁡24=2\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4 = 2.
    3. L=1⋅2=2L = 1 \cdot 2 = 2.

Pełne obliczenia

  1. Obliczamy pierwszy czynnik:
       log⁡22=1\log_2 2 = 1
    2. Przekształcamy iloczyn dwóch kolejnych czynników z reguły łańcuchowej (wzór na zamianę podstawy):
       log⁡23⋅log⁡34=log⁡23⋅log⁡24log⁡23=log⁡24\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 4}{\log_2 3} = \log_2 4
    3. Obliczamy wartość log⁡24\log_2 4:
       log⁡24=log⁡2(22)=2\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2
    4. Mnożymy wszystkie czynniki:
       L=1⋅2=2L = 1 \cdot 2 = 2
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• Próba przybliżania wartości logarytmów zamiast zastosowania tożsamości zamiany podstawy.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2018 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 11: Odwracanie podstawy logarytmu 1 / log_b a

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia 2log⁡510−1log⁡2052\log_5 10 - \frac{1}{\log_{20} 5} jest równa:
A. (−1)(-1)      B. 00      C. 11      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Tożsamość odwrotności logarytmu: 1log⁡ba=log⁡ab  ⟹  1log⁡205=log⁡520\frac{1}{\log_b a} = \log_a b \implies \frac{1}{\log_{20} 5} = \log_5 20
• Wciąganie współczynnika: 2log⁡510=log⁡5(102)=log⁡51002\log_5 10 = \log_5(10^2) = \log_5 100
• Różnica logarytmów: log⁡5100−log⁡520=log⁡5(10020)=log⁡55=1\log_5 100 - \log_5 20 = \log_5 \left(\frac{100}{20}\right) = \log_5 5 = 1

Strategia

  1. 1log⁡205=log⁡520\frac{1}{\log_{20} 5} = \log_5 20.
    2. 2log⁡510=log⁡51002\log_5 10 = \log_5 100.
    3. log⁡5100−log⁡520=log⁡55=1\log_5 100 - \log_5 20 = \log_5 5 = 1.

Pełne obliczenia

  1. Korzystamy z tożsamości odwrotności logarytmu 1log⁡ba=log⁡ab\frac{1}{\log_b a} = \log_a b dla odjemnika:
       1log⁡205=log⁡520\frac{1}{\log_{20} 5} = \log_5 20
    2. Wciągamy czynnik 2 w pierwszym składniku do potęgi liczby logarytmowanej:
       2log⁡510=log⁡5(102)=log⁡51002\log_5 10 = \log_5 (10^2) = \log_5 100
    3. Wykonujemy odejmowanie logarytmów o podstawie 5:
       log⁡5100−log⁡520=log⁡5(10020)=log⁡55\log_5 100 - \log_5 20 = \log_5 \left(\frac{100}{20}\right) = \log_5 5
    4. Ponieważ log⁡aa=1\log_a a = 1, to:
       log⁡55=1\log_5 5 = 1
    Poprawna odpowiedź: C

Pułapka egzaminatora

• Próba zamiany 1log⁡205\frac{1}{\log_{20} 5} na ułamek dziesiętny.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2019 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 12: Wyrażenia algebraiczne z logarytmami o odwrotnych podstawach

Dla dowolnych liczb x>0,x≠1,y>0,y≠1x > 0, x \neq 1, y > 0, y \neq 1 wartość wyrażenia log⁡1xy⋅log⁡1yx\log_{\frac{1}{x}} y \cdot \log_{\frac{1}{y}} x jest równa:

A. (−1)(-1)      B. 00      C. x⋅yx \cdot y      D. 11

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Logarytm z odwrotności podstawy: log⁡1ab=log⁡a−1b=log⁡ab−1=−log⁡ab\log_{\frac{1}{a}} b = \log_{a^{-1}} b = \frac{\log_a b}{-1} = -\log_a b
• Tożsamość iloczynu logarytmów wzajemnie odwrotnych: log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b \cdot \log_b a = 1

Strategia

  1. log⁡x−1y=−log⁡xy\log_{x^{-1}} y = -\log_x y.
    2. log⁡y−1x=−log⁡yx\log_{y^{-1}} x = -\log_y x.
    3. (−log⁡xy)⋅(−log⁡yx)=log⁡xy⋅log⁡yx=1(-\log_x y) \cdot (-\log_y x) = \log_x y \cdot \log_y x = 1.

Pełne obliczenia

  1. Przekształcamy pierwszy czynnik ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu:
       log⁡1xy=log⁡x−1y=log⁡xylog⁡x(x−1)=log⁡xy−1=−log⁡xy\log_{\frac{1}{x}} y = \log_{x^{-1}} y = \frac{\log_x y}{\log_x (x^{-1})} = \frac{\log_x y}{-1} = -\log_x y
    2. Analogicznie przekształcamy drugi czynnik:
       log⁡1yx=log⁡y−1x=log⁡yxlog⁡y(y−1)=log⁡yx−1=−log⁡yx\log_{\frac{1}{y}} x = \log_{y^{-1}} x = \frac{\log_y x}{\log_y (y^{-1})} = \frac{\log_y x}{-1} = -\log_y x
    3. Mnożymy oba przekształcone wyrażenia (iloczyn dwóch minusów daje plus):
       (−log⁡xy)⋅(−log⁡yx)=log⁡xy⋅log⁡yx(-\log_x y) \cdot (-\log_y x) = \log_x y \cdot \log_y x
    4. Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy log⁡yx=1log⁡xy\log_y x = \frac{1}{\log_x y}:
       log⁡xy⋅1log⁡xy=1\log_x y \cdot \frac{1}{\log_x y} = 1
    Poprawna odpowiedź: D

Pułapka egzaminatora

• Pomyłka ze znakiem: zaznaczenie −1-1 z powodu nieuwzględnienia, że oba czynniki generują minus, co daje (−1)⋅(−1)=+1(-1) \cdot (-1) = +1.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2022 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 13: Różnica logarytmów o splątanych podstawach i pierwiastkach

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡327−log⁡273\log_3 \sqrt{27} - \log_{27} \sqrt{3} jest równa:
A. 43\frac{4}{3}      B. 13\frac{1}{3}      C. 00      D. 83\frac{8}{3}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Potęgi trójki: 27=33=332  ⟹  log⁡3(332)=32\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}} \implies \log_3 (3^{\frac{3}{2}}) = \frac{3}{2}
• Zamiana podstawy na 3: log⁡273=log⁡33log⁡327=123=16\log_{27} \sqrt{3} = \frac{\log_3 \sqrt{3}}{\log_3 27} = \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{6}

Strategia

  1. log⁡327=32\log_3 \sqrt{27} = \frac{3}{2}.
    2. log⁡273=16\log_{27} \sqrt{3} = \frac{1}{6}.
    3. 32−16=96−16=86=43\frac{3}{2} - \frac{1}{6} = \frac{9}{6} - \frac{1}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.

Pełne obliczenia

  1. Obliczamy wartość odjemnika log⁡327\log_3 \sqrt{27}:
       27=33=332  ⟹  log⁡3(332)=32\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}} \implies \log_3 \left(3^{\frac{3}{2}}\right) = \frac{3}{2}
    2. Obliczamy wartość odjemnej log⁡273\log_{27} \sqrt{3} poprzez zamianę podstawy na 3:
       log⁡273=log⁡33log⁡327=log⁡3(312)log⁡3(33)=123=12⋅13=16\log_{27} \sqrt{3} = \frac{\log_3 \sqrt{3}}{\log_3 27} = \frac{\log_3 (3^{\frac{1}{2}})}{\log_3 (3^3)} = \frac{\frac{1}{2}}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}
    3. Odejmujemy oba ułamki sprowadzając do wspólnego mianownika 6:
       32−16=3⋅32⋅3−16=96−16=9−16=86\frac{3}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} = \frac{9}{6} - \frac{1}{6} = \frac{9 - 1}{6} = \frac{8}{6}
    4. Skracamy ułamek przez 2:
       86=43\frac{8}{6} = \frac{4}{3}
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• Mylenie kolejności dzielenia w ułamku piętrowym 1/23=16\frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}, a nie 32\frac{3}{2}.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2024 r., Zadanie 5 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność 14: Dowód tożsamości z ilorazem logarytmów i wyborem bazy 4

Liczby dodatnie aa i bb spełniają warunki: a=log⁡54a = \log_5 4 oraz b=log⁡43b = \log_4 3. Wykaż, że:
log⁡1280=2a+1a(1+b)\log_{12} 80 = \frac{2a + 1}{a(1 + b)}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzór na zamianę podstawy logarytmu: log⁡cx=log⁡pxlog⁡pc\log_c x = \frac{\log_p x}{\log_p c}
• Rozkład na czynniki: 80=16⋅5=42⋅5,12=4⋅380 = 16 \cdot 5 = 4^2 \cdot 5, \quad 12 = 4 \cdot 3
• Związek odwrotności: log⁡45=1log⁡54=1a\log_4 5 = \frac{1}{\log_5 4} = \frac{1}{a}

Strategia

  1. Wybór optymalnej bazy: Sprowadzamy log⁡1280\log_{12} 80 do podstawy 4.
    2. Rozkład liczb: log⁡480=log⁡416+log⁡45=2+1a\log_4 80 = \log_4 16 + \log_4 5 = 2 + \frac{1}{a}, log⁡412=log⁡44+log⁡43=1+b\log_4 12 = \log_4 4 + \log_4 3 = 1 + b.
    3. Ułamek piętrowy: 2+1/a1+b=(2a+1)/a1+b=2a+1a(1+b)\frac{2 + 1/a}{1 + b} = \frac{(2a+1)/a}{1+b} = \frac{2a+1}{a(1+b)}.

Pełne obliczenia

  1. Krok 1: Wybór bazy i zamiana podstawy logarytmu
       Zauważamy, że w warunkach zadania występuje liczba 4 jako liczba logarytmowana w a=log⁡54a = \log_5 4 oraz jako podstawa w b=log⁡43b = \log_4 3. Zamieniamy podstawę log⁡1280\log_{12} 80 na podstawę 4:
       log⁡1280=log⁡480log⁡412\log_{12} 80 = \frac{\log_4 80}{\log_4 12}
    2. Krok 2: Rozkład liczb 80 i 12 na potęgi bazy 4 i liczby z założeń
       • Licznik: 80=16⋅5=42⋅580 = 16 \cdot 5 = 4^2 \cdot 5
         log⁡480=log⁡4(42⋅5)=log⁡4(42)+log⁡45=2+log⁡45\log_4 80 = \log_4 (4^2 \cdot 5) = \log_4 (4^2) + \log_4 5 = 2 + \log_4 5
       • Mianownik: 12=4⋅312 = 4 \cdot 3
         log⁡412=log⁡4(4⋅3)=log⁡44+log⁡43=1+log⁡43\log_4 12 = \log_4 (4 \cdot 3) = \log_4 4 + \log_4 3 = 1 + \log_4 3
    3. Krok 3: Wyrażenie składników za pomocą danych aa i bb
       • Z założenia b=log⁡43b = \log_4 3, więc mianownik to 1+b1 + b.
       • Z założenia a=log⁡54a = \log_5 4. Ze wzoru na odwrotność logarytmu:
         log⁡45=1log⁡54=1a\log_4 5 = \frac{1}{\log_5 4} = \frac{1}{a}
       • Zatem licznik wynosi 2+1a2 + \frac{1}{a}.
    4. Krok 4: Uproszczenie ułamka piętrowego
       log⁡1280=2+1a1+b=2a+1a1+b=2a+1a(1+b)\log_{12} 80 = \frac{2 + \frac{1}{a}}{1 + b} = \frac{\frac{2a + 1}{a}}{1 + b} = \frac{2a + 1}{a(1 + b)}
    Co kończy dowód.

Pułapka egzaminatora

• Próba zamiany podstawy na bazę 10 lub e – powoduje powstanie skomplikowanych wyrażeń, z których trudno wyeliminować niewiadome.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2025 r., Zadanie 2 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność 15: Wyznaczanie logarytmu ze zmiennymi parametrami

Wykaż, że jeżeli a=log⁡214a = \log_2 14 oraz b=log⁡227b = \log_{\sqrt{2}} 27, to zachodzi równość:
log⁡754=b+22a−2\log_7 54 = \frac{b + 2}{2a - 2}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Rozkład na czynniki: 14=2⋅7,54=2⋅27=2⋅3314 = 2 \cdot 7, \quad 54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3
• Własności logarytmu z pierwiastka w podstawie: log⁡2x=log⁡21/2x=2log⁡2x\log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = 2\log_2 x
• Zamiana podstawy: log⁡754=log⁡254log⁡27\log_7 54 = \frac{\log_2 54}{\log_2 7}

Strategia

  1. Z pierwszego założenia: a=1+log⁡27  ⟹  log⁡27=a−1a = 1 + \log_2 7 \implies \log_2 7 = a - 1.
    2. Z drugiego założenia: b=2log⁡227  ⟹  log⁡227=b2b = 2\log_2 27 \implies \log_2 27 = \frac{b}{2}.
    3. Zamiana podstawy log⁡754\log_7 54 na 2: log⁡254log⁡27=1+b/2a−1=b+22a−2\frac{\log_2 54}{\log_2 7} = \frac{1 + b/2}{a - 1} = \frac{b+2}{2a-2}.

Pełne obliczenia

  1. Krok 1: Przekształcenie pierwszego założenia
       a=log⁡214=log⁡2(2⋅7)=log⁡22+log⁡27=1+log⁡27a = \log_2 14 = \log_2 (2 \cdot 7) = \log_2 2 + \log_2 7 = 1 + \log_2 7
       Wyznaczamy stąd log⁡27\log_2 7:
       log⁡27=a−1\log_2 7 = a - 1
    2. Krok 2: Przekształcenie drugiego założenia
       b=log⁡227=log⁡227log⁡22=log⁡22712=2log⁡227b = \log_{\sqrt{2}} 27 = \frac{\log_2 27}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 27}{\frac{1}{2}} = 2\log_2 27
       Wyznaczamy stąd log⁡227\log_2 27:
       log⁡227=b2\log_2 27 = \frac{b}{2}
    3. Krok 3: Zamiana podstawy wyrażenia log⁡754\log_7 54 na podstawę 2
       log⁡754=log⁡254log⁡27\log_7 54 = \frac{\log_2 54}{\log_2 7}
       Rozkładamy liczbę 54 w liczniku: 54=2⋅2754 = 2 \cdot 27:
       log⁡254=log⁡2(2⋅27)=log⁡22+log⁡227=1+log⁡227\log_2 54 = \log_2 (2 \cdot 27) = \log_2 2 + \log_2 27 = 1 + \log_2 27
    4. Krok 4: Podstawienie wyznaczonych wielkości do ułamka
       log⁡754=1+b2a−1=2+b2a−1=b+22(a−1)=b+22a−2\log_7 54 = \frac{1 + \frac{b}{2}}{a - 1} = \frac{\frac{2 + b}{2}}{a - 1} = \frac{b + 2}{2(a - 1)} = \frac{b + 2}{2a - 2}
    Co należało wykazać.

Pułapka egzaminatora

• Pomyłka przy dzieleniu przez 12\frac{1}{2} w podstawie 2\sqrt{2} (mnożymy przez 2, a nie dzielimy!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2023 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 16: Iloraz logarytmów i tożsamość potęgowo-logarytmiczna

Dane są liczby a=4log⁡245a = 4^{\log_2 45} oraz b=log⁡32023log⁡92023b = \frac{\log_3 2023}{\log_9 2023}. Oblicz wartość wyrażenia a−ba - b. Zapisz obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Tożsamość potęgowo-logarytmiczna: 2log⁡2x=x2^{\log_2 x} = x
• Potęgowanie potęgi: 4=22  ⟹  4log⁡245=(22)log⁡245=22log⁡245=2log⁡2(452)=4524 = 2^2 \implies 4^{\log_2 45} = (2^2)^{\log_2 45} = 2^{2\log_2 45} = 2^{\log_2(45^2)} = 45^2
• Wzór na zamianę podstawy: log⁡cxlog⁡c2x=log⁡c(c2)=2\frac{\log_c x}{\log_{c^2} x} = \log_c (c^2) = 2

Strategia

  1. Liczba aa: 4=22  ⟹  (22)log⁡245=(2log⁡245)2=452=20254 = 2^2 \implies (2^2)^{\log_2 45} = (2^{\log_2 45})^2 = 45^2 = 2025.
    2. Liczba bb: log⁡92023=log⁡32023log⁡39=log⁡320232  ⟹  b=log⁡32023log⁡320232=2\log_9 2023 = \frac{\log_3 2023}{\log_3 9} = \frac{\log_3 2023}{2} \implies b = \frac{\log_3 2023}{\frac{\log_3 2023}{2}} = 2.
    3. Różnica: 2025−2=20232025 - 2 = 2023.

Pełne obliczenia

  1. Krok 1: Obliczenie wartości liczby aa
       Przedstawiamy podstawę 4 jako potęgę dwójki:
       a=4log⁡245=(22)log⁡245=(2log⁡245)2a = 4^{\log_2 45} = (2^2)^{\log_2 45} = (2^{\log_2 45})^2
       Stosujemy tożsamość 2log⁡2x=x2^{\log_2 x} = x dla x=45x = 45:
       a=(45)2=45⋅45=2025a = (45)^2 = 45 \cdot 45 = 2025
    2. Krok 2: Obliczenie wartości liczby bb
       Zamieniamy podstawę logarytmu w mianowniku na bazę 3:
       log⁡92023=log⁡32023log⁡39=log⁡320232\log_9 2023 = \frac{\log_3 2023}{\log_3 9} = \frac{\log_3 2023}{2}
       Wstawiamy do wyrażenia na bb:
       b=log⁡32023log⁡92023=log⁡32023log⁡320232=log⁡32023⋅2log⁡32023=2b = \frac{\log_3 2023}{\log_9 2023} = \frac{\log_3 2023}{\frac{\log_3 2023}{2}} = \log_3 2023 \cdot \frac{2}{\log_3 2023} = 2
    3. Krok 3: Obliczenie różnicy a−ba - b
       a−b=2025−2=2023a - b = 2025 - 2 = 2023
    Odpowiedź: a−b=2023a - b = 2023

Pułapka egzaminatora

• Próba obliczania przybliżenia log⁡32023\log_3 2023 na kalkulatorze zamiast skorzystania ze skracania ułamka.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 02: Logarytmy i Równania Logarytmiczne

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 53 pkt

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 20 zadań🏆 32 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 32 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Definicja i tożsamości

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b · alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b · log⁡a1=0\log_a 1 = 0 · log⁡aa=1\log_a a = 1 · log⁡a(ak)=k\log_a(a^k) = k

Prawa działań na logarytmach

log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y · log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y · klog⁡ax=log⁡a(xk)k\log_a x = \log_a(x^k)

Wzory rozszerzone CKE

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} · log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} · log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c · log⁡akb=1klog⁡ab\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Reguła łańcuchowa

log⁡a(b)⋅log⁡b(c)=log⁡a(c)\log_a(b) \cdot \log_b(c) = \log_a(c) (błyskawiczna redukcja iloczynów logarytmów po przekątnej).

2. Zmienna pomocnicza t

W równaniach kwadratowych log⁡a2(x)−3log⁡a(x)+2=0\log_a^2(x) - 3\log_a(x) + 2 = 0 podstaw t=log⁡a(x)t = \log_a(x).

3. Tożsamość potęgowa

alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b oraz aklog⁡ab=bka^{k\log_a b} = b^k (natychmiastowe uproszczenie potęg o równej bazie).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Rygor dziedziny: Zanim dotkniesz równania lub nierówności, zapisz założenia (x>0x > 0, podstawa a>0,a≠1a > 0, a \neq 1)! Brak dziedziny = 0 pkt na maturze rozszerzonej.

02

log⁡a(x+y)≠log⁡a(x)+log⁡a(y)\log_a(x + y) \neq \log_a(x) + \log_a(y) (logarytm sumy nie istnieje — nigdy go nie rozbijaj!).

03

log⁡axlog⁡ay≠log⁡a(x−y)\frac{\log_a x}{\log_a y} \neq \log_a(x - y) (iloraz logarytmów to zamiana bazy log⁡y(x)\log_y(x), a nie różnica!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie1234567891011121314151617181920
Maks. pkt11111111113212323222
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 21 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N1: Suma logarytmów o tej samej podstawie i potęga bazy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡48+log⁡42\log_4 8 + \log_4 2 jest równa:
A. 11      B. 22      C. 44      D. log⁡410\log_4 10

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2021 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N2: Różnica logarytmów i redukcja ułamka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡5100−log⁡54\log_5 100 - \log_5 4 jest równa:
A. log⁡596\log_5 96      B. 22      C. 55      D. 2525

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2024 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N3: Kolejność działań — wciąganie współczynnika i różnica logarytmów

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 2log⁡26−log⁡292\log_2 6 - \log_2 9 jest równa:
A. 11      B. 22      C. 33      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2020 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N4: Pierwiastek w podstawie logarytmu

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡22\log_{\sqrt{2}} 2 jest równa:
A. 12\frac{1}{2}      B. 11      C. 2\sqrt{2}      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2019 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N5: Różnica logarytmów o podstawie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡496−log⁡46\log_4 96 - \log_4 6 jest równa:
A. 22      B. 44      C. log⁡490\log_4 90      D. 1616

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2023 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N6: Ułamek w liczbie logarytmowanej i ujemny wynik

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡3127\log_3 \frac{1}{27} jest równa:
A. (−3)(-3)      B. (−13)\left(-\frac{1}{3}\right)      C. 13\frac{1}{3}      D. 33

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2018 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N7: Redukcja ilorazu logarytmów do bazy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡254−log⁡227\log_2 54 - \log_2 27 jest równa:
A. 11      B. 22      C. log⁡227\log_2 27      D. 2727

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N8: Współczynnik ułamkowy przed logarytmem (pierwiastek)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 3log⁡42−12log⁡4163\log_4 2 - \frac{1}{2}\log_4 16 jest równa:
A. 14\frac{1}{4}      B. 12\frac{1}{2}      C. 11      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2016 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N9: Zwijanie kwadratu w argumencie logarytmu

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 2log⁡312−log⁡3162\log_3 12 - \log_3 16 jest równa:
A. 22      B. 44      C. 88      D. log⁡38\log_3 8

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2023 r. (Próbna), Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N10: Zagnieżdżony logarytm w argumencie

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia log⁡2(log⁡39)\log_2(\log_3 9) jest równa:
A. 00      B. 11      C. 22      D. 33

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2023 r., Zadanie 2 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N11: Równanie logarytmiczne, rygor dziedziny i pierwiastek obcy

Rozwiąż równanie:
log⁡2(x−1)+log⁡2(x−3)=3\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) = 3

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N12: Tożsamość potęgowo-logarytmiczna i redukcja podstaw

Oblicz wartość wyrażenia:
9log⁡35−19^{\log_3 5 - 1}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2017 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N13: Iloczyn łańcuchowy logarytmów o zmiennych podstawach

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn log⁡32⋅log⁡43⋅log⁡54⋅⋯⋅log⁡1615\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \dots \cdot \log_{16} 15 jest równy:
A. 14\frac{1}{4}      B. 12\frac{1}{2}      C. 11      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2021 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N14: Nierówność logarytmiczna z podstawą ułamkową (0, 1)

Rozwiąż nierówność:
log⁡12(2x−4)≥−3\log_{\frac{1}{2}}(2x - 4) \ge -3

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 2 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N15: Równanie kwadratowe z podstawieniem zmiennej t = log_a x

Rozwiąż równanie:
log⁡22x−4log⁡2x+3=0\log_2^2 x - 4\log_2 x + 3 = 0

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2016 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N16: Iloczyn logarytmów z pierwiastkiem w podstawie

Oblicz wartość iloczynu:
log⁡34⋅log⁡227\log_{\sqrt{3}} 4 \cdot \log_2 27

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16
Zadanie 17
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2020 r., Zadanie 3 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N17: Dowodzenie nierówności logarytmicznej z sumą odwrotności

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a>1a > 1 oraz b>1b > 1 prawdziwa jest nierówność:
log⁡ab+log⁡ba≥2\log_a b + \log_b a \ge 2

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 17
Zadanie 18
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2015 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N18: Równanie z wyrażeniem kwadratowym pod logarytmem

Rozwiąż równanie:
log⁡3(x2−1)=1\log_3(x^2 - 1) = 1

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 18
Zadanie 19
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2017 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N19: Wyrażanie logarytmu za pomocą parametru a = log_2 3

Wiedząc, że log⁡23=a\log_2 3 = a, wyznacz wartość log⁡1236\log_{12} 36 w zależności od aa.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 19
Zadanie 20
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2024 r. (Formuła 2023), Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N20: Równanie z ilorazem logarytmów i pułapką zerowania mianownika

Rozwiąż równanie:
log⁡2(x2−3)log⁡2(x−1)=2\frac{\log_2(x^2 - 3)}{\log_2(x - 1)} = 2

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 20

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 02: Logarytmy i Równania Logarytmiczne

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 53 pkt

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 20 zadań🏆 32 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 32 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Definicja i tożsamości

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b · alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b · log⁡a1=0\log_a 1 = 0 · log⁡aa=1\log_a a = 1 · log⁡a(ak)=k\log_a(a^k) = k

Prawa działań na logarytmach

log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y · log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y · klog⁡ax=log⁡a(xk)k\log_a x = \log_a(x^k)

Wzory rozszerzone CKE

log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} · log⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a} · log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c · log⁡akb=1klog⁡ab\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Reguła łańcuchowa

log⁡a(b)⋅log⁡b(c)=log⁡a(c)\log_a(b) \cdot \log_b(c) = \log_a(c) (błyskawiczna redukcja iloczynów logarytmów po przekątnej).

2. Zmienna pomocnicza t

W równaniach kwadratowych log⁡a2(x)−3log⁡a(x)+2=0\log_a^2(x) - 3\log_a(x) + 2 = 0 podstaw t=log⁡a(x)t = \log_a(x).

3. Tożsamość potęgowa

alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b oraz aklog⁡ab=bka^{k\log_a b} = b^k (natychmiastowe uproszczenie potęg o równej bazie).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Rygor dziedziny: Zanim dotkniesz równania lub nierówności, zapisz założenia (x>0x > 0, podstawa a>0,a≠1a > 0, a \neq 1)! Brak dziedziny = 0 pkt na maturze rozszerzonej.

02

log⁡a(x+y)≠log⁡a(x)+log⁡a(y)\log_a(x + y) \neq \log_a(x) + \log_a(y) (logarytm sumy nie istnieje — nigdy go nie rozbijaj!).

03

log⁡axlog⁡ay≠log⁡a(x−y)\frac{\log_a x}{\log_a y} \neq \log_a(x - y) (iloraz logarytmów to zamiana bazy log⁡y(x)\log_y(x), a nie różnica!).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie1234567891011121314151617181920
Maks. pkt11111111113212323222
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 21 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N1: Suma logarytmów o tej samej podstawie i potęga bazy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡48+log⁡42\log_4 8 + \log_4 2 jest równa:
A. 11      B. 22      C. 44      D. log⁡410\log_4 10

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Suma logarytmów: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)
• Własność bazy: log⁡a(ak)=k  ⟹  log⁡416=log⁡4(42)=2\log_a(a^k) = k \implies \log_4 16 = \log_4(4^2) = 2

Strategia

  1. Zwiń sumę logarytmów w logarytm iloczynu: 8⋅2=168 \cdot 2 = 16.
    2. Oblicz log⁡416=2\log_4 16 = 2, bo 42=164^2 = 16.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy wzór na sumę logarytmów o tej samej podstawie:
       log⁡48+log⁡42=log⁡4(8⋅2)=log⁡416\log_4 8 + \log_4 2 = \log_4(8 \cdot 2) = \log_4 16
    2. Z definicji logarytmu: 42=164^2 = 16, zatem log⁡416=2\log_4 16 = 2.
    Poprawna odpowiedź: B (22)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Dodawanie liczb logarytmowanych bez logarytmu iloczynu (8+2=108 + 2 = 10, co dawałoby błędną odpowiedź D: log⁡410\log_4 10). Pamiętaj: suma logarytmów to logarytm ILOCZYNU!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2021 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N2: Różnica logarytmów i redukcja ułamka

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡5100−log⁡54\log_5 100 - \log_5 4 jest równa:
A. log⁡596\log_5 96      B. 22      C. 55      D. 2525

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Różnica logarytmów: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a\left(\frac{x}{y}\right)
• Wartość logarytmu: log⁡525=2\log_5 25 = 2, bo 52=255^2 = 25

Strategia

  1. Zwiń różnicę logarytmów w logarytm ilorazu: 1004=25\frac{100}{4} = 25.
    2. Oblicz log⁡525=2\log_5 25 = 2.

Pełne obliczenia

  1. Wykorzystujemy prawo działań na logarytmach:
       log⁡5100−log⁡54=log⁡5(1004)=log⁡525\log_5 100 - \log_5 4 = \log_5\left(\frac{100}{4}\right) = \log_5 25
    2. Ponieważ 52=255^2 = 25, to log⁡525=2\log_5 25 = 2.
    Poprawna odpowiedź: B (22)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Odejście od wzoru i odjęcie liczb: 100−4=96100 - 4 = 96 (zaznaczenie błędnej opcji A). Różnica logarytmów to logarytm ILORAZU!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2024 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N3: Kolejność działań — wciąganie współczynnika i różnica logarytmów

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 2log⁡26−log⁡292\log_2 6 - \log_2 9 jest równa:
A. 11      B. 22      C. 33      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wciąganie współczynnika do potęgi: klog⁡ax=log⁡a(xk)k\log_a x = \log_a(x^k)
• Różnica logarytmów: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a\left(\frac{x}{y}\right)

Strategia

  1. Najpierw wciągnij współczynnik 2 do wykładnika: 2log⁡26=log⁡2(62)=log⁡2362\log_2 6 = \log_2(6^2) = \log_2 36.
    2. Oblicz różnicę: log⁡2(369)=log⁡24=2\log_2\left(\frac{36}{9}\right) = \log_2 4 = 2.

Pełne obliczenia

  1. Przekształcamy pierwszy składnik:
       2log⁡26=log⁡2(62)=log⁡2362\log_2 6 = \log_2(6^2) = \log_2 36
    2. Odejmujemy logarytmy:
       log⁡236−log⁡29=log⁡2(369)=log⁡24\log_2 36 - \log_2 9 = \log_2\left(\frac{36}{9}\right) = \log_2 4
    3. Z definicji: 22=42^2 = 4, zatem log⁡24=2\log_2 4 = 2.
    Poprawna odpowiedź: B (22)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Próba odejmowania przed wciągnięciem potęgi, np. 2log⁡2(6−9)2\log_2(6 - 9) lub 2log⁡2(6/9)2\log_2(6/9) — to natychmiastowe zniszczenie zadania!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2020 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N4: Pierwiastek w podstawie logarytmu

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡22\log_{\sqrt{2}} 2 jest równa:
A. 12\frac{1}{2}      B. 11      C. 2\sqrt{2}      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Definicja logarytmu: log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b
• Potęga pierwiastka: (2)c=(212)c=2c2(\sqrt{2})^c = (2^{\frac{1}{2}})^c = 2^{\frac{c}{2}}

Strategia

  1. Z definicji: (2)c=2(\sqrt{2})^c = 2.
    2. Ponieważ (2)2=2(\sqrt{2})^2 = 2, to c=2c = 2.

Pełne obliczenia

  1. Szukamy liczby cc takiej, że (2)c=2(\sqrt{2})^c = 2.
    2. Ponieważ (2)2=2(\sqrt{2})^2 = 2, bezpośrednio wynika, że c=2c = 2.
    Alternatywnie: log⁡22=log⁡21/221=11/2=2\log_{\sqrt{2}} 2 = \log_{2^{1/2}} 2^1 = \frac{1}{1/2} = 2.
    Poprawna odpowiedź: D (22)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zaznaczenie 12\frac{1}{2} (odwrócenie ról podstawy i liczby logarytmowanej — log⁡22=12\log_2 \sqrt{2} = \frac{1}{2}, ale log⁡22=2\log_{\sqrt{2}} 2 = 2!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2019 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N5: Różnica logarytmów o podstawie 4

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡496−log⁡46\log_4 96 - \log_4 6 jest równa:
A. 22      B. 44      C. log⁡490\log_4 90      D. 1616

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Różnica logarytmów: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a\left(\frac{x}{y}\right)

Strategia

  1. Podziel argumenty: 966=16\frac{96}{6} = 16.
    2. log⁡416=2\log_4 16 = 2.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy wzór na różnicę logarytmów:
       log⁡496−log⁡46=log⁡4(966)=log⁡416\log_4 96 - \log_4 6 = \log_4\left(\frac{96}{6}\right) = \log_4 16
    2. Ponieważ 42=164^2 = 16, to log⁡416=2\log_4 16 = 2.
    Poprawna odpowiedź: A (22)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zaznaczenie 1616 (mylenie wartości logarytmu z liczbą logarytmowaną!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2023 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N6: Ułamek w liczbie logarytmowanej i ujemny wynik

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡3127\log_3 \frac{1}{27} jest równa:
A. (−3)(-3)      B. (−13)\left(-\frac{1}{3}\right)      C. 13\frac{1}{3}      D. 33

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wykładnik ujemny: 1an=a−n  ⟹  127=133=3−3\frac{1}{a^n} = a^{-n} \implies \frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}
• Własność: log⁡a(ak)=k\log_a(a^k) = k

Strategia

  1. Przedstaw 127\frac{1}{27} jako 3−33^{-3}.
    2. Odczytaj wartość logarytmu: −3-3.

Pełne obliczenia

  1. Zapisujemy argument w bazie 3:
       127=3−3\frac{1}{27} = 3^{-3}
    2. Z definicji logarytmu: log⁡3(3−3)=−3\log_3(3^{-3}) = -3.
    Poprawna odpowiedź: A (−3-3)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zgubienie minusa w wykładniku (zaznaczenie odpowiedzi D: 33). Minus w wykładniku obraca liczbę do mianownika!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2018 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N7: Redukcja ilorazu logarytmów do bazy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba log⁡254−log⁡227\log_2 54 - \log_2 27 jest równa:
A. 11      B. 22      C. log⁡227\log_2 27      D. 2727

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Różnica logarytmów: log⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a\left(\frac{x}{y}\right)
• Tożsamość bazowa: log⁡aa=1\log_a a = 1

Strategia

  1. 5427=2\frac{54}{27} = 2.
    2. log⁡22=1\log_2 2 = 1.

Pełne obliczenia

  1. Zwijamy różnicę w iloraz:
       log⁡254−log⁡227=log⁡2(5427)=log⁡22\log_2 54 - \log_2 27 = \log_2\left(\frac{54}{27}\right) = \log_2 2
    2. Ponieważ 21=22^1 = 2, to log⁡22=1\log_2 2 = 1.
    Poprawna odpowiedź: A (11)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Odejmowanie liczb logarytmowanych: 54−27=2754 - 27 = 27 (zaznaczenie błędnej opcji C).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N8: Współczynnik ułamkowy przed logarytmem (pierwiastek)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 3log⁡42−12log⁡4163\log_4 2 - \frac{1}{2}\log_4 16 jest równa:
A. 14\frac{1}{4}      B. 12\frac{1}{2}      C. 11      D. 22

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wciąganie wykładnika: klog⁡ax=log⁡a(xk)k\log_a x = \log_a(x^k)
• 23=82^3 = 8, 1612=16=416^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4
• Wartość: log⁡42=12\log_4 2 = \frac{1}{2}

Strategia

  1. 3log⁡42=log⁡4(23)=log⁡483\log_4 2 = \log_4(2^3) = \log_4 8.
    2. 12log⁡416=log⁡4(16)=log⁡44=1\frac{1}{2}\log_4 16 = \log_4(\sqrt{16}) = \log_4 4 = 1.
    3. log⁡48−1=32−1=12\log_4 8 - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}.

Pełne obliczenia

  1. Wciągamy współczynniki:
       3log⁡42=log⁡48,12log⁡416=log⁡443\log_4 2 = \log_4 8, \quad \frac{1}{2}\log_4 16 = \log_4 4
    2. Odejmujemy logarytmy:
       log⁡48−log⁡44=log⁡4(84)=log⁡42\log_4 8 - \log_4 4 = \log_4\left(\frac{8}{4}\right) = \log_4 2
    3. Ponieważ 412=4=24^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2, to log⁡42=12\log_4 2 = \frac{1}{2}.
    Poprawna odpowiedź: B (12\frac{1}{2})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne traktowanie 12log⁡416\frac{1}{2}\log_4 16 jako log⁡4(16/2)=log⁡48\log_4(16/2) = \log_4 8 — współczynnik wchodzi jako POTĘGA (pierwiastek), a nie dzielenie!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2016 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N9: Zwijanie kwadratu w argumencie logarytmu

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba 2log⁡312−log⁡3162\log_3 12 - \log_3 16 jest równa:
A. 22      B. 44      C. 88      D. log⁡38\log_3 8

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• 2log⁡312=log⁡3(122)=log⁡31442\log_3 12 = \log_3(12^2) = \log_3 144
• log⁡3144−log⁡316=log⁡3(14416)=log⁡39=2\log_3 144 - \log_3 16 = \log_3\left(\frac{144}{16}\right) = \log_3 9 = 2

Strategia

  1. Podnieś 12 do kwadratu: 144144.
    2. Podziel przez 16: 14416=9\frac{144}{16} = 9.
    3. log⁡39=2\log_3 9 = 2.

Pełne obliczenia

  1. Wciągamy dwójkę przed logarytmem do wykładnika:
       2log⁡312=log⁡3(122)=log⁡31442\log_3 12 = \log_3(12^2) = \log_3 144
    2. Stosujemy wzór na różnicę logarytmów:
       log⁡3144−log⁡316=log⁡3(14416)=log⁡39\log_3 144 - \log_3 16 = \log_3\left(\frac{144}{16}\right) = \log_3 9
    3. Obliczamy wartość: log⁡39=2\log_3 9 = 2, bo 32=93^2 = 9.
    Poprawna odpowiedź: A (22)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zapomnienie o potęgowaniu liczby 12 i liczenie 2⋅(12/16)2 \cdot (12 / 16) — to częsty błąd nieuwagi!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Średnie (4/10)

Matura Podstawowa CKE – Grudzień 2023 r. (Próbna), Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N10: Zagnieżdżony logarytm w argumencie

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia log⁡2(log⁡39)\log_2(\log_3 9) jest równa:
A. 00      B. 11      C. 22      D. 33

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wewnętrzny logarytm: log⁡39=2\log_3 9 = 2, bo 32=93^2 = 9
• Zewnętrzny logarytm: log⁡22=1\log_2 2 = 1, bo 21=22^1 = 2

Strategia

  1. Oblicz najpierw wartość wnętrza nawiasu: log⁡39=2\log_3 9 = 2.
    2. Oblicz logarytm zewnętrzny z otrzymanego wyniku: log⁡22=1\log_2 2 = 1.

Pełne obliczenia

  1. Wyznaczamy wartość wyrażenia wewnątrz nawiasu:
       log⁡39=2\log_3 9 = 2
    2. Podstawiamy wynik do logarytmu zewnętrznego:
       log⁡2(log⁡39)=log⁡22=1\log_2(\log_3 9) = \log_2 2 = 1
    Poprawna odpowiedź: B (11)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Mnożenie podstaw 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 i próba liczenia log⁡69\log_6 9 — zagnieżdżenie rozwiązujemy OD WEWNĄTRZ DO ZEWNĄTRZ!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2023 r., Zadanie 2 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N11: Równanie logarytmiczne, rygor dziedziny i pierwiastek obcy

Rozwiąż równanie:
log⁡2(x−1)+log⁡2(x−3)=3\log_2(x - 1) + \log_2(x - 3) = 3

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Dziedzina logarytmu: f(x)>0∧g(x)>0f(x) > 0 \land g(x) > 0
• Suma logarytmów: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)
• Równanie równoważne: log⁡aw=c  ⟺  w=ac\log_a w = c \iff w = a^c

Strategia

  1. Zapisz i rozwiąż założenia dziedziny (x>1∧x>3  ⟹  x>3x > 1 \land x > 3 \implies x > 3).
    2. Zwiń sumę logarytmów w logarytm iloczynu.
    3. Rozwiąż równanie kwadratowe i skonfrontuj pierwiastki z dziedziną!

Pełne obliczenia

  1. KROK 1: Dziedzina równania (ZAŁOŻENIA CKE):
       {x−1>0x−3>0  ⟺  {x>1x>3  ⟹  x∈(3,+∞)\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\ x > 3 \end{cases} \implies x \in (3, +\infty)
    2. KROK 2: Przekształcenie równania:
       log⁡2[(x−1)(x−3)]=3\log_2[(x - 1)(x - 3)] = 3
       (x−1)(x−3)=23=8(x - 1)(x - 3) = 2^3 = 8
       x2−4x+3=8  ⟺  x2−4x−5=0x^2 - 4x + 3 = 8 \iff x^2 - 4x - 5 = 0
    3. KROK 3: Wyznaczenie pierwiastków trójmianu:
       (x−5)(x+1)=0  ⟹  x1=5,x2=−1(x - 5)(x + 1) = 0 \implies x_1 = 5, \quad x_2 = -1
    4. KROK 4: Weryfikacja z dziedziną:
       • x1=5∈(3,+∞)x_1 = 5 \in (3, +\infty) — ROZWIĄZANIE PRAWIDŁOWE
       • x2=−1∉(3,+∞)x_2 = -1 \notin (3, +\infty) — PIERWIASTEK OBCY (odrzucamy!)
    Odpowiedź: x=5x = 5

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Brak założeń dziedziny i podanie obu odpowiedzi x∈{−1,5}x \in \{-1, 5\} — natychmiastowa utrata 2 z 3 punktów na maturze rozszerzonej! Dla x=−1x = -1 wyrażenia pod logarytmem są ujemne (log⁡2(−2)\log_2(-2) nie istnieje w R\mathbb{R}!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N12: Tożsamość potęgowo-logarytmiczna i redukcja podstaw

Oblicz wartość wyrażenia:
9log⁡35−19^{\log_3 5 - 1}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Prawa potęg: ax−y=axaya^{x - y} = \frac{a^x}{a^y}
• Tożsamość potęgowo-logarytmiczna: alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b
• (32)log⁡35=32log⁡35=3log⁡3(52)=52=25(3^2)^{\log_3 5} = 3^{2\log_3 5} = 3^{\log_3(5^2)} = 5^2 = 25

Strategia

  1. Rozbij wykładnik na iloraz potęg: 9log⁡3591\frac{9^{\log_3 5}}{9^1}.
    2. Zamień bazę 9=329 = 3^2 i wciągnij dwójkę: 3log⁡325=253^{\log_3 25} = 25.
    3. Wynik to 259\frac{25}{9}.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy prawo działań na potęgach:
       9log⁡35−1=9log⁡35919^{\log_3 5 - 1} = \frac{9^{\log_3 5}}{9^1}
    2. Przekształcamy licznik sprowadzając do bazy 3:
       9log⁡35=(32)log⁡35=32log⁡35=3log⁡3(52)=3log⁡3259^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5} = 3^{2\log_3 5} = 3^{\log_3(5^2)} = 3^{\log_3 25}
    3. Z fundamentalnej tożsamości alog⁡ab=ba^{\log_a b} = b:
       3log⁡325=253^{\log_3 25} = 25
    4. Podstawiamy do ułamka:
       259=279\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}
    Odpowiedź: 259\frac{25}{9}

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne uproszczenie 9log⁡35=9/3⋅5=159^{\log_3 5} = 9/3 \cdot 5 = 15 lub zapomnienie o podniesieniu liczby 5 do kwadratu (9log⁡35=259^{\log_3 5} = 25, a nie 55!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2017 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N13: Iloczyn łańcuchowy logarytmów o zmiennych podstawach

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn log⁡32⋅log⁡43⋅log⁡54⋅⋯⋅log⁡1615\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \dots \cdot \log_{16} 15 jest równy:
A. 14\frac{1}{4}      B. 12\frac{1}{2}      C. 11      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wzór na zamianę podstawy logarytmu: log⁡ab=ln⁡bln⁡a\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}
• Reguła łańcuchowa: log⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c

Strategia

  1. Zamień każdy logarytm na ułamek o wspólnej podstawie (np. logarytm naturalny lub dziesiętny).
    2. Zauważ skracanie po przekątnej wszystkich mianowników i liczników oprócz pierwszego i ostatniego.
    3. Wynik to log⁡162=14\log_{16} 2 = \frac{1}{4}.

Pełne obliczenia

  1. Zamieniamy każdy czynnik na ułamek o wspólnej bazie (np. dziesiętnej):
       log⁡2log⁡3⋅log⁡3log⁡4⋅log⁡4log⁡5⋅⋯⋅log⁡15log⁡16\frac{\log 2}{\log 3} \cdot \frac{\log 3}{\log 4} \cdot \frac{\log 4}{\log 5} \cdot \dots \cdot \frac{\log 15}{\log 16}
    2. Skracamy sąsiednie liczniki i mianowniki:
       =log⁡2log⁡16=log⁡162= \frac{\log 2}{\log 16} = \log_{16} 2
    3. Ponieważ 1614=164=216^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2, to log⁡162=14\log_{16} 2 = \frac{1}{4}.
    Poprawna odpowiedź: A (14\frac{1}{4})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Próba mnożenia argumentów lub mylenie wyniku log⁡162=14\log_{16} 2 = \frac{1}{4} z log⁡216=4\log_2 16 = 4 (zaznaczenie opcji D).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2021 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N14: Nierówność logarytmiczna z podstawą ułamkową (0, 1)

Rozwiąż nierówność:
log⁡12(2x−4)≥−3\log_{\frac{1}{2}}(2x - 4) \ge -3

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Dziedzina logarytmu: 2x−4>02x - 4 > 0
• Baza w przedziale (0,1)(0, 1) a monotoniczność: Funkcja log⁡ax\log_a x dla a∈(0,1)a \in (0, 1) jest MALEJĄCA   ⟹  \implies ZMIANA ZWROTU NIERÓWNOŚCI!
• (12)−3=23=8\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8

Strategia

  1. Wyznacz dziedzinę (2x−4>0  ⟹  x>22x - 4 > 0 \implies x > 2).
    2. Zamień liczbę −3-3 na logarytm o podstawie 12\frac{1}{2}.
    3. Zmień zwrot nierówności na przeciwny: 2x−4≤82x - 4 \le 8.
    4. Wyznacz część wspólną z dziedziną!

Pełne obliczenia

  1. Dziedzina:
       2x−4>0  ⟺  2x>4  ⟺  x>2  ⟹  D=(2,+∞)2x - 4 > 0 \iff 2x > 4 \iff x > 2 \implies D = (2, +\infty)
    2. Przekształcenie nierówności:
       log⁡12(2x−4)≥log⁡12((12)−3)=log⁡128\log_{\frac{1}{2}}(2x - 4) \ge \log_{\frac{1}{2}}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\right) = \log_{\frac{1}{2}} 8
    3. Zmiana zwrotu nierówności (podstawa a=12<1a = \frac{1}{2} < 1):
       2x−4≤8  ⟺  2x≤12  ⟺  x≤62x - 4 \le 8 \iff 2x \le 12 \iff x \le 6
    4. Koniunkcja z dziedziną:
       {x>2x≤6  ⟹  x∈(2,6]\begin{cases} x > 2 \\ x \le 6 \end{cases} \implies x \in (2, 6]
    Odpowiedź: x∈(2,6]x \in (2, 6]

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Brak zmiany zwrotu nierówności (pozostawienie 2x−4≥8  ⟹  x≥62x - 4 \ge 8 \implies x \ge 6). Podstawa 12\frac{1}{2} odwraca nierówność!
• REDFLAG 2: Brak domknięcia przedziału przy liczbie 6 lub pominięcie ograniczenia od dołu x>2x > 2.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 2 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N15: Równanie kwadratowe z podstawieniem zmiennej t = log_a x

Rozwiąż równanie:
log⁡22x−4log⁡2x+3=0\log_2^2 x - 4\log_2 x + 3 = 0

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Oznaczenie kwadratu: log⁡22x=(log⁡2x)2\log_2^2 x = (\log_2 x)^2
• Dziedzina: x>0x > 0
• Podstawienie pomocnicze: t=log⁡2xt = \log_2 x

Strategia

  1. Zapisz założenie x>0x > 0.
    2. Podstaw t=log⁡2xt = \log_2 x i rozwiąż równanie kwadratowe t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3 = 0.
    3. Wróć do zmiennej xx dla obu rozwiązań tt.

Pełne obliczenia

  1. Dziedzina: x>0  ⟹  D=(0,+∞)x > 0 \implies D = (0, +\infty).
    2. Zmienna pomocnicza: Niech t=log⁡2xt = \log_2 x. Otrzymujemy równanie:
       t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3 = 0
       Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4,Δ=2\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4, \quad \sqrt{\Delta} = 2
       t1=4−22=1,t2=4+22=3t_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1, \quad t_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3
    3. Powrót do zmiennej xx:
       • log⁡2x=1  ⟺  x=21=2∈D\log_2 x = 1 \iff x = 2^1 = 2 \in D
       • log⁡2x=3  ⟺  x=23=8∈D\log_2 x = 3 \iff x = 2^3 = 8 \in D
    Odpowiedź: x∈{2,8}x \in \{2, 8\}

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Mylenie log⁡22x=(log⁡2x)2\log_2^2 x = (\log_2 x)^2 z log⁡2(x2)=2log⁡2x\log_2(x^2) = 2\log_2 x! Nie wolno wyciągać dwójki przed logarytm, gdy potęga dotyczy całego logarytmu!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2016 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N16: Iloczyn logarytmów z pierwiastkiem w podstawie

Oblicz wartość iloczynu:
log⁡34⋅log⁡227\log_{\sqrt{3}} 4 \cdot \log_2 27

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• log⁡akbm=mklog⁡ab\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b
• log⁡34=log⁡31/2(22)=21/2log⁡32=4log⁡32\log_{\sqrt{3}} 4 = \log_{3^{1/2}}(2^2) = \frac{2}{1/2}\log_3 2 = 4\log_3 2
• log⁡227=log⁡2(33)=3log⁡23\log_2 27 = \log_2(3^3) = 3\log_2 3
• log⁡32⋅log⁡23=1\log_3 2 \cdot \log_2 3 = 1

Strategia

  1. Wyprowadź potęgi przed oba logarytmy.
    2. Zauważ, że log⁡32⋅log⁡23=1\log_3 2 \cdot \log_2 3 = 1 z tożsamości odwrotności.
    3. Wymnóż współczynniki 4⋅3=124 \cdot 3 = 12.

Pełne obliczenia

  1. Przekształcamy pierwszy logarytm:
       log⁡34=log⁡31/2(22)=212log⁡32=4log⁡32\log_{\sqrt{3}} 4 = \log_{3^{1/2}}(2^2) = \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_3 2 = 4\log_3 2
    2. Przekształcamy drugi logarytm:
       log⁡227=log⁡2(33)=3log⁡23\log_2 27 = \log_2(3^3) = 3\log_2 3
    3. Mnożymy oba wyrażenia:
       4log⁡32⋅3log⁡23=12⋅(log⁡32⋅log⁡23)4\log_3 2 \cdot 3\log_2 3 = 12 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3)
    4. Ponieważ log⁡32=1log⁡23\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}, iloczyn w nawiasie wynosi 11:
       12⋅1=1212 \cdot 1 = 12
    Odpowiedź: 1212

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne wyciąganie wykładnika z podstawy — wykładnik z podstawy wchodzi do mianownika współczynnika (dzielimy przez 12\frac{1}{2}, co daje mnożenie przez 22!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16
Zadanie 17
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2020 r., Zadanie 3 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N17: Dowodzenie nierówności logarytmicznej z sumą odwrotności

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a>1a > 1 oraz b>1b > 1 prawdziwa jest nierówność:
log⁡ab+log⁡ba≥2\log_a b + \log_b a \ge 2

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Odwracanie podstawy: log⁡ba=1log⁡ab\log_b a = \frac{1}{\log_a b}
• Znak logarytmu: Dla a>1∧b>1a > 1 \land b > 1 zachodzi log⁡ab>0\log_a b > 0
• Tożsamość kwadratowa: u+1u−2=(u−1)2u≥0u + \frac{1}{u} - 2 = \frac{(u-1)^2}{u} \ge 0

Strategia

  1. Niech u=log⁡abu = \log_a b. Ponieważ a,b>1a, b > 1, to u>0u > 0.
    2. Zamień log⁡ba\log_b a na 1u\frac{1}{u}.
    3. Przenieś 2 na lewą stronę i zwiń w kwadrat (u−1)2/u≥0(u-1)^2 / u \ge 0.

Pełne obliczenia

  1. Założenia i znak zmiennej:
       Z założenia a>1a > 1 oraz b>1b > 1. Funkcja log⁡ax\log_a x jest rosnąca i dla x>1x > 1 przyjmuje wartości dodatnie, zatem u=log⁡ab>0u = \log_a b > 0.
    2. Zastosowanie twierdzenia o zamianie podstawy:
       log⁡ba=1log⁡ab=1u\log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{u}
    3. Przekształcenie dowodzonej nierówności:
       u+1u≥2  ⟺  u−2+1u≥0u + \frac{1}{u} \ge 2 \iff u - 2 + \frac{1}{u} \ge 0
       Sprowadzamy do wspólnego mianownika:
       u2−2u+1u≥0  ⟺  (u−1)2u≥0\frac{u^2 - 2u + 1}{u} \ge 0 \iff \frac{(u - 1)^2}{u} \ge 0
    4. Wniosek i konkluzja:
       Ponieważ dla każdego u∈Ru \in \mathbb{R} licznik (u−1)2≥0(u - 1)^2 \ge 0, a mianownik u>0u > 0 z założeń, to iloraz (u−1)2u≥0\frac{(u - 1)^2}{u} \ge 0 jest zawsze nieujemny.
    Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich a,b>1a, b > 1, co kończy dowód.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Brak uzasadnienia, dlaczego u=log⁡ab>0u = \log_a b > 0! Gdyby u<0u < 0, mnożenie przez uu zmieniłoby zwrot nierówności! Uzasadnienie znaku logarytmu jest kluczem do pełnych 3 punktów CKE.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 17
Zadanie 18
Rozszerzona
Średnio-trudne (5/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2015 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N18: Równanie z wyrażeniem kwadratowym pod logarytmem

Rozwiąż równanie:
log⁡3(x2−1)=1\log_3(x^2 - 1) = 1

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Dziedzina: x2−1>0  ⟺  x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)x^2 - 1 > 0 \iff x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)
• Definicja: x2−1=31=3x^2 - 1 = 3^1 = 3

Strategia

  1. Zapisz dziedzinę (∣x∣>1|x| > 1).
    2. Przyrównaj argument do 31=33^1 = 3: x2=4x^2 = 4.
    3. Pamiętaj o obu znakach: x=2x = 2 oraz x=−2x = -2.

Pełne obliczenia

  1. Dziedzina:
       x2−1>0  ⟺  (x−1)(x+1)>0  ⟺  x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)x^2 - 1 > 0 \iff (x - 1)(x + 1) > 0 \iff x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)
    2. Równanie:
       x2−1=31=3  ⟺  x2=4x^2 - 1 = 3^1 = 3 \iff x^2 = 4
       x=2∨x=−2x = 2 \quad \lor \quad x = -2
    3. Konfrontacja z dziedziną:
       Zarówno 2∈D2 \in D, jak i −2∈D-2 \in D.
    Odpowiedź: x∈{−2,2}x \in \{-2, 2\}

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zgubienie ujemnego rozwiązania x=−2x = -2 pod pretekstem 'logarytm nie może być ujemny'! Liczba logarytmowana x2−1=(−2)2−1=3>0x^2 - 1 = (-2)^2 - 1 = 3 > 0 jest DODATNIA, więc x=−2x = -2 jest w 100% poprawnym rozwiązaniem!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 18
Zadanie 19
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2017 r., Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N19: Wyrażanie logarytmu za pomocą parametru a = log_2 3

Wiedząc, że log⁡23=a\log_2 3 = a, wyznacz wartość log⁡1236\log_{12} 36 w zależności od aa.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Zamiana podstawy na bazę 2: log⁡1236=log⁡236log⁡212\log_{12} 36 = \frac{\log_2 36}{\log_2 12}
• 36=4⋅9=22⋅3236 = 4 \cdot 9 = 2^2 \cdot 3^2, 12=4⋅3=22⋅312 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3

Strategia

  1. Zamień podstawę na 2: log⁡236log⁡212\frac{\log_2 36}{\log_2 12}.
    2. Rozbij argumenty na czynniki pierwsze 2 i 3.
    3. Zastąp log⁡23\log_2 3 symbolem aa.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu na bazę 2:
       log⁡1236=log⁡236log⁡212\log_{12} 36 = \frac{\log_2 36}{\log_2 12}
    2. Rozkładamy liczby na iloczyny potęg 2 i 3:
       log⁡236=log⁡2(4⋅9)=log⁡24+log⁡2(32)=2+2log⁡23=2+2a\log_2 36 = \log_2(4 \cdot 9) = \log_2 4 + \log_2(3^2) = 2 + 2\log_2 3 = 2 + 2a
       log⁡212=log⁡2(4⋅3)=log⁡24+log⁡23=2+log⁡23=2+a\log_2 12 = \log_2(4 \cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3 = 2 + a
    3. Zapisujemy iloraz:
       log⁡1236=2+2a2+a\log_{12} 36 = \frac{2 + 2a}{2 + a}
    Odpowiedź: 2+2a2+a\frac{2 + 2a}{2 + a}

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne upraszczanie ułamka przez skracanie dwójek 2+2a2+a≠1+2\frac{2+2a}{2+a} \neq 1+2 — nie wolno skracać składników sumy!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 19
Zadanie 20
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2024 r. (Formuła 2023), Zadanie 1 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N20: Równanie z ilorazem logarytmów i pułapką zerowania mianownika

Rozwiąż równanie:
log⁡2(x2−3)log⁡2(x−1)=2\frac{\log_2(x^2 - 3)}{\log_2(x - 1)} = 2

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Dziedzina (3 warunki):
  1) x2−3>0x^2 - 3 > 0
  2) x−1>0x - 1 > 0
  3) log⁡2(x−1)≠0  ⟺  x−1≠1  ⟺  x≠2\log_2(x - 1) \neq 0 \iff x - 1 \neq 1 \iff x \neq 2

Strategia

  1. Wyznacz bezwzględnie pełną dziedzinę (pamiętaj o niezerowości mianownika!).
    2. Pomnóż obustronnie przez mianownik i wciągnij 2 do wykładnika.
    3. Rozwiąż równanie i skonfrontuj wynik z dziedziną!

Pełne obliczenia

  1. Dziedzina równania:
       • Licznik: x2−3>0  ⟺  x∈(−∞,−3)∪(3,+∞)x^2 - 3 > 0 \iff x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, +\infty)
       • Mianownik (liczba logarytmowana): x−1>0  ⟺  x>1x - 1 > 0 \iff x > 1
       • Mianownik nie może być zerem: log⁡2(x−1)≠0  ⟺  x−1≠1  ⟺  x≠2\log_2(x - 1) \neq 0 \iff x - 1 \neq 1 \iff x \neq 2
       Część wspólna założeń: D=(3,2)∪(2,+∞)D = (\sqrt{3}, 2) \cup (2, +\infty) (ponieważ 3≈1,73\sqrt{3} \approx 1{,}73).
    2. Rozwiązanie równania:
       log⁡2(x2−3)=2log⁡2(x−1)=log⁡2((x−1)2)\log_2(x^2 - 3) = 2\log_2(x - 1) = \log_2((x - 1)^2)
       x2−3=(x−1)2=x2−2x+1x^2 - 3 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
       −3=−2x+1  ⟺  −2x=−4  ⟺  x=2-3 = -2x + 1 \iff -2x = -4 \iff x = 2
    3. Konfrontacja z dziedziną:
       Dla x=2x = 2 mianownik wynosi log⁡2(2−1)=log⁡21=0\log_2(2 - 1) = \log_2 1 = 0, co daje dzielenie przez zero!
       Zatem x=2∉Dx = 2 \notin D.
    Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań (x∈∅x \in \emptyset)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG NAJWYŻSZEGO STOPNIA: Zapomnienie o założeniu log⁡2(x−1)≠0\log_2(x - 1) \neq 0 i podanie odpowiedzi x=2x = 2! To klasyczna, mistrzowska pułapka autorów arkuszy CKE Formuły 2023.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 20

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📘 Kompendium Wiedzy: Logarytmy i Równania Logarytmiczne

1. Definicja i Fundamenty Logarytmu

Dla dowolnej podstawy a>0,a≠1a > 0, a \neq 1 oraz liczby logarytmowanej b>0b > 0, logarytmem log⁡ab\log_a b nazywamy wykładnik potęgi cc, do której należy podnieść podstawę aa, aby otrzymać liczbę bb:

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b

  • Podstawa logarytmu (aa): musi spełniać a>0a > 0 oraz a≠1a \neq 1.
  • Liczba logarytmowana (bb): musi być ściśle dodatnia (b>0b > 0).
  • Wartość logarytmu (cc): może być dowolną liczbą rzeczywistą (c∈Rc \in \mathbb{R}: dodatnią, ujemną lub zerem).

Własności elementarne:

  • log⁡a1=0(poniewaz˙ a0=1)\log_a 1 = 0 \quad (\text{ponieważ } a^0 = 1)
  • log⁡aa=1(poniewaz˙ a1=a)\log_a a = 1 \quad (\text{ponieważ } a^1 = a)
  • log⁡a(ak)=k\log_a(a^k) = k
  • alog⁡ab=b(fundamentalna toz˙samosˊcˊ potęgowo-logarytmiczna)a^{\log_a b} = b \quad (\text{fundamentalna tożsamość potęgowo-logarytmiczna})

2. Prawa Działań na Logarytmach o Tej Samej Podstawie

Dla dowolnych liczb x>0,y>0x > 0, y > 0 oraz a>0,a≠1a > 0, a \neq 1:

DziałanieWzór z Tablic CKEZastosowanie / Uwagi
Suma logarytmówlog⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\log_a x + \log_a y = \log_a(x \cdot y)Zwijanie sumy w logarytm iloczynu
Różnica logarytmówlog⁡ax−log⁡ay=log⁡a(xy)\log_a x - \log_a y = \log_a\left(\frac{x}{y}\right)Zwijanie różnicy w logarytm ilorazu
Wciąganie współczynnikak⋅log⁡ax=log⁡a(xk)k \cdot \log_a x = \log_a(x^k)Zmiana mnożnika na wykładnik potęgi argumentu

3. Wzory Poziomu Rozszerzonego (Formuła 2015 & 2023)

Zaawansowane przekształcenia bazowe i algebraiczne:

Nazwa wzoruZapis algebraicznyZastosowanie praktyczne
Zamiana podstawylog⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}Sprowadzanie logarytmów do wspólnej bazy cc
Odwracanie podstawylog⁡ab=1log⁡ba\log_a b = \frac{1}{\log_b a}Zamiana miejscami podstawy i argumentu
Reguła łańcuchowalog⁡ab⋅log⁡bc=log⁡ac\log_a b \cdot \log_b c = \log_a cSkracanie iloczynów logarytmów po przekątnej
Wykładnik w podstawielog⁡akb=1k⋅log⁡ab\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \cdot \log_a bWyciąganie potęgi z podstawy jako odwrotności
Pierwiastek w podstawielog⁡ab=2⋅log⁡ab\log_{\sqrt{a}} b = 2 \cdot \log_a bPrzypadek szczególny wykładnika k=12k = \frac{1}{2}

4. Rygor Dziedziny w Równaniach i Nierównościach

W zadaniach otwartych na maturze rozszerzonej ZASADA DZIEDZINY JEST BEZWZGLĘDNA:

  1. Każde wyrażenie pod logarytmem musi być ściśle dodatnie: f(x)>0f(x) > 0.
  2. Każda podstawa ze zmienną musi spełniać: g(x)>0∧g(x)≠1g(x) > 0 \land g(x) \neq 1.
  3. Każdy mianownik zawierający logarytm nie może być zerem: log⁡af(x)≠0  ⟺  f(x)≠1\log_a f(x) \neq 0 \iff f(x) \neq 1.
  4. Monotoniczność w nierównościach:
    • Dla podstawy a>1a > 1: funkcja jest rosnąca   ⟹  log⁡af(x)≥log⁡ag(x)  ⟺  f(x)≥g(x)\implies \log_a f(x) \ge \log_a g(x) \iff f(x) \ge g(x).
    • Dla podstawy a∈(0,1)a \in (0, 1): funkcja jest malejąca   ⟹  log⁡af(x)≥log⁡ag(x)  ⟺  f(x)≤g(x)\implies \log_a f(x) \ge \log_a g(x) \iff f(x) \le g(x) (ZMIANA ZWROTU!).

5. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typologia Błędów Maturalnych)

L.p.❌ NIE WOLNO! (Błąd kardynalny)✅ PRAWIDŁOWO (Standard CKE)Wyjaśnienie i reguła egzaminatora
1log⁡a(x+y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x + y) = \log_a x + \log_a ylog⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a yLogarytm sumy NIE jest sumą logarytmów! Sumę logarytmów zwijamy w logarytm iloczynu.
2log⁡axlog⁡ay=log⁡a(x−y)\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_a(x - y)log⁡axlog⁡ay=log⁡yx\frac{\log_a x}{\log_a y} = \log_y xIloraz dwóch logarytmów o równej bazie to wzór na zamianę podstawy, a NIE logarytm różnicy!
3Rozwiązywanie równania bez założeń dziedzinyKrok 0: x>0∧g(x)>0∧g(x)≠1x > 0 \land g(x) > 0 \land g(x) \neq 1Pominięcie dziedziny na maturze rozszerzonej skutkuje natychmiastową utratą punktów (lub 0 pkt).
4log⁡12f(x)≥log⁡12g(x)  ⟹  f(x)≥g(x)\log_{\frac{1}{2}} f(x) \ge \log_{\frac{1}{2}} g(x) \implies f(x) \ge g(x)f(x)≤g(x)f(x) \le g(x) (oraz f(x)>0,g(x)>0f(x) > 0, g(x) > 0)Dla bazy ułamkowej a∈(0,1)a \in (0, 1) funkcja jest malejąca — BEZWZGLĘDNA zmiana zwrotu nierówności!
5log⁡a(x2)=2log⁡ax\log_a(x^2) = 2\log_a x bez założeńlog⁡a(x2)=2log⁡a∣x∣\log_a(x^2) = 2\log_a \lvert x \rvert dla x≠0x \neq 0Dla x<0x < 0 wyrażenie log⁡a(x2)\log_a(x^2) istnieje, a log⁡ax\log_a x nie! Znoszenie parzystej potęgi wymaga modułu.