Powrót do katalogu

Lekcja 33: Kąty w Okręgu (Środkowe, Wpisane, Dopisane) & Twierdzenie o Stycznej i Siecznej

Dział 06: Planimetria
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 33: Kąty w Okręgu (Środkowe, Wpisane, Dopisane) & Twierdzenie o Stycznej i Siecznej

Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku ($\beta = 2\alpha$), kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym ($90^\circ$). | Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie. Twierdzenie o odcinkach siecznych i stycznych z...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy: Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku ($\beta = 2\alpha$), kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym ($90^\circ$).

CKE Poziom Rozszerzony: Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie. Twierdzenie o odcinkach siecznych i stycznych z punktu zewnętrznego $P$: $$|PA| \cdot |PB| = |PC|^2$$

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 33

Równość kątów wpisanych opartych na tym samym łuku to najszybsza metoda wykrywania trójkątów podobnych w dowodach CKE.

3 Czerwone Flagi

01

Mylenie promienia prostopadłego do stycznej z dowolną cięciwą; promień jest prostopadły do stycznej DOKŁADNIE w punkcie styczności (r⊥kr \perp k).

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Kąty w Okręgu (Środkowe, Wpisane, Dopisane) & Twierdzenie o Stycznej i Siecznej

Lekcja 33 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku (β=2α\beta = 2\alpha), kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym (90∘90^\circ).
  • Poziom Rozszerzony: Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie. Twierdzenie o odcinkach siecznych i stycznych z punktu zewnętrznego PP: ∣PA∣⋅∣PB∣=∣PC∣2|PA| \cdot |PB| = |PC|^2

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Równość kątów wpisanych opartych na tym samym łuku to najszybsza metoda wykrywania trójkątów podobnych w dowodach CKE.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Mylenie promienia prostopadłego do stycznej z dowolną cięciwą; promień jest prostopadły do stycznej DOKŁADNIE w punkcie styczności (r⊥kr \perp k).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 33: Kąty w Okręgu (Środkowe, Wpisane, Dopisane) & Twierdzenie o Stycznej i Siecznej

Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku ($\beta = 2\alpha$), kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym ($90^\circ$). | Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie. Twierdzenie o odcinkach siecznych i stycznych z...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 33

Równość kątów wpisanych opartych na tym samym łuku to najszybsza metoda wykrywania trójkątów podobnych w dowodach CKE.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mylenie promienia prostopadłego do stycznej z dowolną cięciwą; promień jest prostopadły do stycznej DOKŁADNIE w punkcie styczności (r⊥kr \perp k).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 33: Kąty w Okręgu (Środkowe, Wpisane, Dopisane) & Twierdzenie o Stycznej i Siecznej

Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku ($\beta = 2\alpha$), kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym ($90^\circ$). | Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie. Twierdzenie o odcinkach siecznych i stycznych z...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 33

Równość kątów wpisanych opartych na tym samym łuku to najszybsza metoda wykrywania trójkątów podobnych w dowodach CKE.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mylenie promienia prostopadłego do stycznej z dowolną cięciwą; promień jest prostopadły do stycznej DOKŁADNIE w punkcie styczności (r⊥kr \perp k).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 33: Kąty w Okręgu (Środkowe, Wpisane, Dopisane) & Twierdzenie o Stycznej i Siecznej

Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku ($\beta = 2\alpha$), kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym ($90^\circ$). | Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie. Twierdzenie o odcinkach siecznych i stycznych z...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 33

Równość kątów wpisanych opartych na tym samym łuku to najszybsza metoda wykrywania trójkątów podobnych w dowodach CKE.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mylenie promienia prostopadłego do stycznej z dowolną cięciwą; promień jest prostopadły do stycznej DOKŁADNIE w punkcie styczności (r⊥kr \perp k).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 33: Kąty w Okręgu (Środkowe, Wpisane, Dopisane) & Twierdzenie o Stycznej i Siecznej

Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku ($\beta = 2\alpha$), kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym ($90^\circ$). | Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie. Twierdzenie o odcinkach siecznych i stycznych z...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 33

Równość kątów wpisanych opartych na tym samym łuku to najszybsza metoda wykrywania trójkątów podobnych w dowodach CKE.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mylenie promienia prostopadłego do stycznej z dowolną cięciwą; promień jest prostopadły do stycznej DOKŁADNIE w punkcie styczności (r⊥kr \perp k).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Kąty w Okręgu (Środkowe, Wpisane, Dopisane) & Twierdzenie o Stycznej i Siecznej

Lekcja 33 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Kąt środkowy i wpisany oparty na tym samym łuku (β=2α\beta = 2\alpha), kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym (90∘90^\circ).
  • Poziom Rozszerzony: Kąt dopisany (między styczną a cięciwą) równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie. Twierdzenie o odcinkach siecznych i stycznych z punktu zewnętrznego PP: ∣PA∣⋅∣PB∣=∣PC∣2|PA| \cdot |PB| = |PC|^2

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Równość kątów wpisanych opartych na tym samym łuku to najszybsza metoda wykrywania trójkątów podobnych w dowodach CKE.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Mylenie promienia prostopadłego do stycznej z dowolną cięciwą; promień jest prostopadły do stycznej DOKŁADNIE w punkcie styczności (r⊥kr \perp k).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.