Powrót do katalogu

Lekcja 64: Dowody Podzielnościowe, Reszty z Dzielenia & Dowód Nie Wprost

Dział 12: Dowodzenie w Matematyce
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 64: Dowody Podzielnościowe, Reszty z Dzielenia & Dowód Nie Wprost

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy:

CKE Poziom Rozszerzony:

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 64

W dowodzie podzielności zawsze zapisz iloczyn jako wielokrotność dzielnika: W(n)=k⋅MW(n) = k \cdot M, gdzie M∈CM \in \mathbb{C}.

3 Czerwone Flagi

01

Założenie nie wprost bez formalnego zapisu: „Załóżmy przeciwnie, że liczba jest wymierna...”.

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Dowody Podzielnościowe, Reszty z Dzielenia & Dowód Nie Wprost

Lekcja 64 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy:
  • Poziom Rozszerzony:

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: W dowodzie podzielności zawsze zapisz iloczyn jako wielokrotność dzielnika: W(n)=k⋅MW(n) = k \cdot M, gdzie M∈CM \in \mathbb{C}.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Założenie nie wprost bez formalnego zapisu: „Załóżmy przeciwnie, że liczba jest wymierna...”.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 64: Dowody Podzielnościowe, Reszty z Dzielenia & Dowód Nie Wprost

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Dzielenie z resztą i własności kwadratów

n=k⋅q+r(0≤r<k)n = k \cdot q + r \quad (0 \le r < k) · n2≡0∨1(mod3)n^2 \equiv 0 \lor 1 \pmod 3 · n2≡0∨1(mod4)n^2 \equiv 0 \lor 1 \pmod 4

Iloczyn kolejnych liczb całkowitych

n(n+1)=2mn(n+1) = 2m · (n−1)n(n+1)=6m(n-1)n(n+1) = 6m · n3−n=(n−1)n(n+1)n^3 - n = (n-1)n(n+1) · ∏i=0k−1(n+i)=k!⋅m\prod_{i=0}^{k-1}(n+i) = k! \cdot m

Cechy podzielności i relacje NWD/NWW

NWW(a,b)⋅NWD(a,b)=a⋅b\text{NWW}(a,b) \cdot \text{NWD}(a,b) = a \cdot b · Cecha 3 i 9: suma cyfr · Cecha 4: 2 ostatnie cyfry · Cecha 6: parzysta i suma cyfr ÷3\div 3

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 64

W dowodzie podzielności zawsze zapisz iloczyn jako wielokrotność dzielnika: W(n)=k⋅MW(n) = k \cdot M, gdzie M∈CM \in \mathbb{C}.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Założenie nie wprost bez formalnego zapisu: „Załóżmy przeciwnie, że liczba jest wymierna...”.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 64: Dowody Podzielnościowe, Reszty z Dzielenia & Dowód Nie Wprost

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Dzielenie z resztą i własności kwadratów

n=k⋅q+r(0≤r<k)n = k \cdot q + r \quad (0 \le r < k) · n2≡0∨1(mod3)n^2 \equiv 0 \lor 1 \pmod 3 · n2≡0∨1(mod4)n^2 \equiv 0 \lor 1 \pmod 4

Iloczyn kolejnych liczb całkowitych

n(n+1)=2mn(n+1) = 2m · (n−1)n(n+1)=6m(n-1)n(n+1) = 6m · n3−n=(n−1)n(n+1)n^3 - n = (n-1)n(n+1) · ∏i=0k−1(n+i)=k!⋅m\prod_{i=0}^{k-1}(n+i) = k! \cdot m

Cechy podzielności i relacje NWD/NWW

NWW(a,b)⋅NWD(a,b)=a⋅b\text{NWW}(a,b) \cdot \text{NWD}(a,b) = a \cdot b · Cecha 3 i 9: suma cyfr · Cecha 4: 2 ostatnie cyfry · Cecha 6: parzysta i suma cyfr ÷3\div 3

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 64

W dowodzie podzielności zawsze zapisz iloczyn jako wielokrotność dzielnika: W(n)=k⋅MW(n) = k \cdot M, gdzie M∈CM \in \mathbb{C}.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Założenie nie wprost bez formalnego zapisu: „Załóżmy przeciwnie, że liczba jest wymierna...”.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 64: Dowody Podzielnościowe, Reszty z Dzielenia & Dowód Nie Wprost

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Dzielenie z resztą i własności kwadratów

n=k⋅q+r(0≤r<k)n = k \cdot q + r \quad (0 \le r < k) · n2≡0∨1(mod3)n^2 \equiv 0 \lor 1 \pmod 3 · n2≡0∨1(mod4)n^2 \equiv 0 \lor 1 \pmod 4

Iloczyn kolejnych liczb całkowitych

n(n+1)=2mn(n+1) = 2m · (n−1)n(n+1)=6m(n-1)n(n+1) = 6m · n3−n=(n−1)n(n+1)n^3 - n = (n-1)n(n+1) · ∏i=0k−1(n+i)=k!⋅m\prod_{i=0}^{k-1}(n+i) = k! \cdot m

Cechy podzielności i relacje NWD/NWW

NWW(a,b)⋅NWD(a,b)=a⋅b\text{NWW}(a,b) \cdot \text{NWD}(a,b) = a \cdot b · Cecha 3 i 9: suma cyfr · Cecha 4: 2 ostatnie cyfry · Cecha 6: parzysta i suma cyfr ÷3\div 3

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 64

W dowodzie podzielności zawsze zapisz iloczyn jako wielokrotność dzielnika: W(n)=k⋅MW(n) = k \cdot M, gdzie M∈CM \in \mathbb{C}.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Założenie nie wprost bez formalnego zapisu: „Załóżmy przeciwnie, że liczba jest wymierna...”.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 64: Dowody Podzielnościowe, Reszty z Dzielenia & Dowód Nie Wprost

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Dzielenie z resztą i własności kwadratów

n=k⋅q+r(0≤r<k)n = k \cdot q + r \quad (0 \le r < k) · n2≡0∨1(mod3)n^2 \equiv 0 \lor 1 \pmod 3 · n2≡0∨1(mod4)n^2 \equiv 0 \lor 1 \pmod 4

Iloczyn kolejnych liczb całkowitych

n(n+1)=2mn(n+1) = 2m · (n−1)n(n+1)=6m(n-1)n(n+1) = 6m · n3−n=(n−1)n(n+1)n^3 - n = (n-1)n(n+1) · ∏i=0k−1(n+i)=k!⋅m\prod_{i=0}^{k-1}(n+i) = k! \cdot m

Cechy podzielności i relacje NWD/NWW

NWW(a,b)⋅NWD(a,b)=a⋅b\text{NWW}(a,b) \cdot \text{NWD}(a,b) = a \cdot b · Cecha 3 i 9: suma cyfr · Cecha 4: 2 ostatnie cyfry · Cecha 6: parzysta i suma cyfr ÷3\div 3

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 64

W dowodzie podzielności zawsze zapisz iloczyn jako wielokrotność dzielnika: W(n)=k⋅MW(n) = k \cdot M, gdzie M∈CM \in \mathbb{C}.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Założenie nie wprost bez formalnego zapisu: „Załóżmy przeciwnie, że liczba jest wymierna...”.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Dowody Podzielnościowe, Reszty z Dzielenia & Dowód Nie Wprost

Lekcja 64 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy:
  • Poziom Rozszerzony:

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: W dowodzie podzielności zawsze zapisz iloczyn jako wielokrotność dzielnika: W(n)=k⋅MW(n) = k \cdot M, gdzie M∈CM \in \mathbb{C}.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Założenie nie wprost bez formalnego zapisu: „Załóżmy przeciwnie, że liczba jest wymierna...”.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.