Powrót do katalogu

Lekcja 09: Wyrażenia Wymierne, Równania i Nierówności Wymierne

Dział 02: Wyrażenia Algebraiczne i Równania
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 09: Wyrażenia Wymierne, Równania i Nierówności Wymierne

Dziedzina ułamka algebraicznego ($mianownik \neq 0$), skracanie i rozszerzanie ułamków, proste równania wymierne (proporcje $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$). | Działania na złożonych wyrażeniach wymiernych, równania z sumą ułamków, nierówności wymierne: zastąpienie ilorazu $\frac{...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy: Dziedzina ułamka algebraicznego ($mianownik \neq 0$), skracanie i rozszerzanie ułamków, proste równania wymierne (proporcje $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$).

CKE Poziom Rozszerzony: Działania na złożonych wyrażeniach wymiernych, równania z sumą ułamków, nierówności wymierne: zastąpienie ilorazu $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$ iloczynem $P(x) \cdot Q(x) \ge 0$ przy założeniu $Q(x) \neq 0$.

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 09

Most iloczynowy (mnożenie obustronne przez kwadrat mianownika [Q(x)]2>0[Q(x)]^2 > 0).

3 Czerwone Flagi

01

Mnożenie nierówności przez mianownik ze zmienną bez kwadratu (nieznany znak!), zapominanie o wyrzuceniu pierwiastków mianownika z przedziału domkniętego.

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Wyrażenia Wymierne, Równania i Nierówności Wymierne

Lekcja 09 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Dziedzina ułamka algebraicznego (mianownik≠0mianownik \neq 0), skracanie i rozszerzanie ułamków, proste równania wymierne (proporcje AB=CD\frac{A}{B} = \frac{C}{D}).
  • Poziom Rozszerzony: Działania na złożonych wyrażeniach wymiernych, równania z sumą ułamków, nierówności wymierne: zastąpienie ilorazu P(x)Q(x)≥0\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 iloczynem P(x)⋅Q(x)≥0P(x) \cdot Q(x) \ge 0 przy założeniu Q(x)≠0Q(x) \neq 0.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Most iloczynowy (mnożenie obustronne przez kwadrat mianownika [Q(x)]2>0[Q(x)]^2 > 0).

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Mnożenie nierówności przez mianownik ze zmienną bez kwadratu (nieznany znak!), zapominanie o wyrzuceniu pierwiastków mianownika z przedziału domkniętego.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 09: Wyrażenia Wymierne, Równania i Nierówności Wymierne

Dziedzina ułamka algebraicznego ($mianownik \neq 0$), skracanie i rozszerzanie ułamków, proste równania wymierne (proporcje $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$). | Działania na złożonych wyrażeniach wymiernych, równania z sumą ułamków, nierówności wymierne: zastąpienie ilorazu $\frac{...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 09

Most iloczynowy (mnożenie obustronne przez kwadrat mianownika [Q(x)]2>0[Q(x)]^2 > 0).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mnożenie nierówności przez mianownik ze zmienną bez kwadratu (nieznany znak!), zapominanie o wyrzuceniu pierwiastków mianownika z przedziału domkniętego.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 09: Wyrażenia Wymierne, Równania i Nierówności Wymierne

Dziedzina ułamka algebraicznego ($mianownik \neq 0$), skracanie i rozszerzanie ułamków, proste równania wymierne (proporcje $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$). | Działania na złożonych wyrażeniach wymiernych, równania z sumą ułamków, nierówności wymierne: zastąpienie ilorazu $\frac{...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 09

Most iloczynowy (mnożenie obustronne przez kwadrat mianownika [Q(x)]2>0[Q(x)]^2 > 0).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mnożenie nierówności przez mianownik ze zmienną bez kwadratu (nieznany znak!), zapominanie o wyrzuceniu pierwiastków mianownika z przedziału domkniętego.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 09: Wyrażenia Wymierne, Równania i Nierówności Wymierne

Dziedzina ułamka algebraicznego ($mianownik \neq 0$), skracanie i rozszerzanie ułamków, proste równania wymierne (proporcje $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$). | Działania na złożonych wyrażeniach wymiernych, równania z sumą ułamków, nierówności wymierne: zastąpienie ilorazu $\frac{...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 09

Most iloczynowy (mnożenie obustronne przez kwadrat mianownika [Q(x)]2>0[Q(x)]^2 > 0).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mnożenie nierówności przez mianownik ze zmienną bez kwadratu (nieznany znak!), zapominanie o wyrzuceniu pierwiastków mianownika z przedziału domkniętego.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 09: Wyrażenia Wymierne, Równania i Nierówności Wymierne

Dziedzina ułamka algebraicznego ($mianownik \neq 0$), skracanie i rozszerzanie ułamków, proste równania wymierne (proporcje $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$). | Działania na złożonych wyrażeniach wymiernych, równania z sumą ułamków, nierówności wymierne: zastąpienie ilorazu $\frac{...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 09

Most iloczynowy (mnożenie obustronne przez kwadrat mianownika [Q(x)]2>0[Q(x)]^2 > 0).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Mnożenie nierówności przez mianownik ze zmienną bez kwadratu (nieznany znak!), zapominanie o wyrzuceniu pierwiastków mianownika z przedziału domkniętego.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Wyrażenia Wymierne, Równania i Nierówności Wymierne

Lekcja 09 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Dziedzina ułamka algebraicznego (mianownik≠0mianownik \neq 0), skracanie i rozszerzanie ułamków, proste równania wymierne (proporcje AB=CD\frac{A}{B} = \frac{C}{D}).
  • Poziom Rozszerzony: Działania na złożonych wyrażeniach wymiernych, równania z sumą ułamków, nierówności wymierne: zastąpienie ilorazu P(x)Q(x)≥0\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0 iloczynem P(x)⋅Q(x)≥0P(x) \cdot Q(x) \ge 0 przy założeniu Q(x)≠0Q(x) \neq 0.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Most iloczynowy (mnożenie obustronne przez kwadrat mianownika [Q(x)]2>0[Q(x)]^2 > 0).

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Mnożenie nierówności przez mianownik ze zmienną bez kwadratu (nieznany znak!), zapominanie o wyrzuceniu pierwiastków mianownika z przedziału domkniętego.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.