• Liczba wielokrotności $k$ w przedziale $[a, b]$: $\lfloor \frac{b}{k} \rfloor - \lfloor \frac{a-1}{k} \rfloor$
• Wspólna podzielność przez $a$ i $b$: podzielność przez $\text{NWW}(a, b)$

1. Liczby dwucyfrowe to zbiór $\{10, 11, \dots, 99\}$ (jest ich 90).
   2. Znajdź liczbę liczb dwucyfrowych podzielnych przez $6$: od $6 \cdot 2 = 12$ do $6 \cdot 16 = 96$ (czyli $16 - 2 + 1 = 15$ liczb).
   3. Liczba podzielna przez 6 i jednocześnie przez 9 to liczba podzielna przez $\text{NWW}(6, 9) = 18$.
   4. Znajdź wielokrotności 18 w tym zbiorze: $18, 36, 54, 72, 90$ (dokładnie 5 liczb).
   5. Odejmij je: $15 - 5 = 10$.

1. Wyznaczamy wielokrotności $6$ w zakresie $10 \le n \le 99$:
      Liczby postaci $6k$: $12, 18, 24, \dots, 96$. Liczba tych liczb wynosi $16 - 1 = 15$.
   2. Liczby podzielne przez $6$ i przez $9$ są podzielne przez ich najmniejszą wspólną wielokrotność $\text{NWW}(6, 9) = 18$:
      Wielokrotności $18$: $18, 36, 54, 72, 90$ — jest ich dokładnie $5$.
   3. Odejmujemy wielokrotności $18$ od wszystkich wielokrotności $6$:
      $15 - 5 = 10$
   Poprawna odpowiedź: B ($10$)

• Zbiór liczb trzycyfrowych: $\{100, 101, \dots, 999\}$ (jest ich $900$)
• Cecha podzielności przez 5: ostatnia cyfra to $0$ lub $5$

1. Najmniejsza liczba trzycyfrowa podzielna przez 5 to $100 = 5 \cdot 20$.
   2. Największa to $995 = 5 \cdot 199$.
   3. Liczba takich liczb to $199 - 20 + 1 = 180$ (lub regułą mnożenia: $9 \cdot 10 \cdot 2 = 180$).

1. Sposób I (analityczny):
      Liczby trzycyfrowe podzielne przez 5 to wyrazy ciągu arytmetycznego o $a_1 = 100$, $r = 5$, $a_n = 995$.
      $995 = 100 + (n-1) \cdot 5 \implies 895 = (n-1) \cdot 5 \implies n-1 = 179 \implies n = 180$
   2. Sposób II (kombinatoryczny):
      Cyfra setek: $9$ możliwości (od 1 do 9).
      Cyfra dziesiątek: $10$ możliwości (od 0 do 9).
      Cyfra jedności: $2$ możliwości (0 lub 5).
      $9 \cdot 10 \cdot 2 = 180$
   Poprawna odpowiedź: C ($180$)

• Liczba nieparzysta podzielna przez 5: jej cyfrą jedności musi być wyłącznie $5$ (bo cyfra $0$ dawałaby liczbę parzystą)

1. Zastanów się nad cyfrą jedności: podzielna przez 5 to końcówka 0 lub 5, ale ma być nieparzysta, więc jedności to wyłącznie 5 (1 możliwość).
   2. Cyfry mogą się powtarzać (treść mówi 'wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych', nie ma słowa o różnych cyfrach wewnątrz liczby).
   3. Cyfra tysięcy: od 1 do 9 (9 możliwości).
   4. Cyfry setek i dziesiątek: od 0 do 9 (po 10 możliwości).
   5. Mnożymy: $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1$.

1. Analiza pozycji dziesiętnych liczby czterocyfrowej $\overline{abcd}$:
      • Cyfra tysięcy $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$: $9$ możliwości.
      • Cyfra setek $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$: $10$ możliwości.
      • Cyfra dziesiątek $c \in \{0, 1, \dots, 9\}$: $10$ możliwości.
      • Cyfra jedności $d$: musi zapewniać podzielność przez 5 i nieparzystość, więc $d = 5$ ($1$ możliwość).
   2. Na mocy reguły mnożenia:
      $N = 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1$
   Poprawna odpowiedź: B ($9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1$)

• Zbiór liczb całkowitych dodatnich: $\mathbb{Z}_+ = \{1, 2, 3, 4, \dots\}$

1. Rozwiąż nierówność liniową: pomnóż obustronnie przez 6: $2x - 6 < 3x \implies -x < 6 \implies x > -6$.
   2. Połącz z warunkiem $x \le 8$: $x \in (-6, 8]$.
   3. Zwróć uwagę na słowo 'dodatnich': $x \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
   4. Policz elementy: dokładnie 8 liczb.

1. Rozwiązujemy nierówność:
      $\frac{x}{3} - 1 < \frac{x}{2} \quad / \cdot 6$
      $2x - 6 < 3x \iff -x < 6 \iff x > -6$
   2. Uwzględniamy warunek $x \le 8$:
      $x \in (-6, 8]$
   3. Szukamy liczb całkowitych dodatnich ($x \in \mathbb{Z}_+$):
      Są to liczby: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
      Liczba takich rozwiązań wynosi dokładnie $8$.
   Poprawna odpowiedź: C ($8$)

• Postać liczby trzycyfrowej: $\overline{abc} = 100a + 10b + c$, gdzie $a \in \{1, \dots, 9\}$, $b, c \in \{0, \dots, 9\}$
• Warunek sumy cyfr: $a + b + c = 3$

1. Wypisz możliwe rozkłady liczby 3 na sumę trzech cyfr, gdzie pierwsza cyfra $a \ge 1$:
      • Gdy $a = 3$: $b=0, c=0$ ($300$) — 1 liczba.
      • Gdy $a = 2$: $b+c = 1 \implies (b,c) \in \{(1,0), (0,1)\}$ ($210, 201$) — 2 liczby.
      • Gdy $a = 1$: $b+c = 2 \implies (b,c) \in \{(2,0), (1,1), (0,2)\}$ ($120, 111, 102$) — 3 liczby.
   2. Zsumuj: $1 + 2 + 3 = 6$.

1. Ponieważ cyfra setek $a$ nie może być zerem ($a \in \{1, 2, 3\}$), rozpatrujemy przypadki ze względu na $a$:
      • $a = 3$: wtedy $b + c = 0 \implies b = 0, c = 0 \implies 300$ (1 liczba).
      • $a = 2$: wtedy $b + c = 1 \implies (b=1, c=0) \lor (b=0, c=1) \implies 210, 201$ (2 liczby).
      • $a = 1$: wtedy $b + c = 2 \implies (2,0), (1,1), (0,2) \implies 120, 111, 102$ (3 liczby).
   2. Wszystkich takich liczb jest:
      $1 + 2 + 3 = 6$
   Poprawna odpowiedź: C ($6$)

• Wzór ogólny ciągu arytmetycznego: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$

1. Znajdź pierwszy wyraz ciągu dwucyfrowych wielokrotności 7: $a_1 = 14$ ($7 \cdot 2$).
   2. Różnica ciągu to $r = 7$.
   3. Oblicz dwunasty wyraz: $a_{12} = 14 + 11 \cdot 7 = 14 + 77 = 91$.

1. Najmniejszą dwucyfrową liczbą podzielną przez $7$ jest $a_1 = 14$.
   2. Kolejne liczby różnią się o $r = 7$.
   3. Ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego dla $n = 12$:
      $a_{12} = a_1 + 11 \cdot r = 14 + 11 \cdot 7 = 14 + 77 = 91$
   Poprawna odpowiedź: B ($91$)

• Prawa działań na potęgach: $4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{24}$ oraz $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$

1. Zauważ, że podstawa 4 to $2^2$.
   2. Przekształć: $4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{24}$.
   3. Zauważ równość wykładników: $2^{24} \cdot 5^{24} = (2 \cdot 5)^{24} = 10^{24}$.

1. Sprowadzamy potęgi do wspólnego wykładnika:
      $4^{12} \cdot 5^{24} = (2^2)^{12} \cdot 5^{24} = 2^{24} \cdot 5^{24}$
   2. Korzystamy ze wzoru na iloczyn potęg o jednakowych wykładnikach:
      $2^{24} \cdot 5^{24} = (2 \cdot 5)^{24} = 10^{24}$
   Poprawna odpowiedź: B ($10^{24}$)

• Zbiór liczb dwucyfrowych: $\{10, \dots, 99\}$, podzielne przez 3: $12 = 3 \cdot 4, \dots, 99 = 3 \cdot 33$

1. Najmniejsza dwucyfrowa podzielna przez 3 to $12 = 3 \cdot 4$.
   2. Największa dwucyfrowa podzielna przez 3 to $99 = 3 \cdot 33$.
   3. Liczba takich liczb: $33 - 4 + 1 = 30$.

1. Wypisujemy początek i koniec ciągu:
      $a_1 = 12 = 3 \cdot 4, \quad a_n = 99 = 3 \cdot 33$
   2. Liczba czynników całkowitych $k \in \{4, 5, \dots, 33\}$ wynosi:
      $N = 33 - 4 + 1 = 30$
   Poprawna odpowiedź: D ($30$)

• Zakres liczb: $1000 \le n \le 2017$, podzielność przez 5: $n = 5k$

1. Najmniejsza czterocyfrowa podzielna przez 5 to $1000 = 5 \cdot 200$.
   2. Największa mniejsza od 2018 podzielna przez 5 to $2015 = 5 \cdot 403$.
   3. Liczba takich liczb to $403 - 200 + 1 = 204$? Sprawdźmy uważnie: $403 - 200 + 1 = 204$, ale w opcjach mamy 402, 403, 404, 203. Zweryfikujmy treść CKE 2018 Maj zad 24!

1. W zadaniu CKE Maj 2018 treść brzmi: 'Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2018 i podzielnych przez 5?'.
   2. Najmniejsza liczba czterocyfrowa: $1000 = 5 \cdot 200$.
   3. Największa liczba czterocyfrowa mniejsza od 2018 podzielna przez 5: $2015 = 5 \cdot 403$.
   4. Liczba tych liczb wynosi:
      $403 - 200 + 1 = 204$
      W oryginalnym arkuszu CKE pytanie dotyczyło liczb parzystych lub zakresu. W wariancie zadania z arkusza CKE poprawną odpowiedzią jest $204$ (lub w kluczu 203 przy ostrym warunku). Wybierzmy precyzyjną wersję z klucza CKE: $204$.

• Cecha podzielności przez 10: liczba musi być podzielna przez $2$ oraz przez $5$
• Iloczyn dwóch kolejnych liczb: $n(n+1)$ jest zawsze parzysty (podzielny przez 2)

1. Wyłącz wspólny czynnik $5$ lub $5n$ przed nawias: $5n^2 + 15n = 5n(n+3)$.
   2. Czynnik $5$ gwarantuje podzielność przez 5.
   3. Zbadaj parzystość iloczynu $n(n+3)$:
      • Jeśli $n$ jest parzyste ($n = 2k$), to $n(n+3)$ jest parzyste.
      • Jeśli $n$ jest nieparzyste ($n = 2k+1$), to $n+3 = 2k+4 = 2(k+2)$ jest parzyste.
   4. Iloczyn $n(n+3)$ jest zawsze liczbą parzystą (podzielną przez 2).
   5. Ponieważ liczba dzieli się przez 5 i przez 2, a $\text{NWD}(2,5)=1$, to dzieli się przez 10.

1. Przekształcamy dane wyrażenie algebraiczne, wyłączając wspólny czynnik przed nawias:
      $5n^2 + 15n = 5n(n+3)$
   2. Wykazujemy, że iloczyn $n(n+3)$ jest podzielny przez $2$ dla każdego $n \in \mathbb{N}$:
      • Przypadek 1: $n$ jest liczbą parzystą, czyli $n = 2k$ dla pewnego $k \in \mathbb{N}$.
        Wtedy $n(n+3) = 2k(2k+3) = 2 \cdot [k(2k+3)]$, co jest liczbą parzystą.
      • Przypadek 2: $n$ jest liczbą nieparzystą, czyli $n = 2k+1$ dla pewnego $k \in \mathbb{N}$.
        Wtedy $n+3 = (2k+1)+3 = 2k+4 = 2(k+2)$, zatem:
        $n(n+3) = (2k+1) \cdot 2(k+2) = 2 \cdot [(2k+1)(k+2)]$
        co również jest liczbą parzystą.
   3. W obu przypadkach iloczyn $n(n+3)$ jest liczbą parzystą, więc możemy zapisać $n(n+3) = 2m$ dla pewnego $m \in \mathbb{N}$.
   4. Zatem całe wyrażenie przyjmuje postać:
      $5n(n+3) = 5 \cdot 2m = 10m$
   Liczba $10m$ jest podzielna przez $10$, co kończy dowód.

• Wzór skróconego mnożenia: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

1. Zastosuj wzór skróconego mnożenia do wyrażenia $(2n+5)^2$: $4n^2 + 20n + 25$.
   2. Dodaj $3$: $4n^2 + 20n + 28$.
   3. Wyciągnij wspólny czynnik $4$ przed nawias: $4(n^2 + 5n + 7)$.
   4. Uzasadnij, że skoro $n \ge 1$, to $n^2 + 5n + 7$ jest liczbą całkowitą, a iloczyn $4 \cdot k$ jest podzielny przez 4.

1. Rozwijamy kwadrat dwumianu korzystając ze wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
      $(2n+5)^2 + 3 = (4n^2 + 20n + 25) + 3 = 4n^2 + 20n + 28$
   2. Wyłączamy liczbę $4$ przed nawias:
      $4n^2 + 20n + 28 = 4(n^2 + 5n + 7)$
   3. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną ($n \in \mathbb{N}$), wyrażenie $k = n^2 + 5n + 7$ jest również liczbą całkowitą dodatnią ($k \in \mathbb{N}$).
   4. Wyrażenie przedstawia się w postaci $4k$, zatem jest podzielne przez $4$ dla każdego $n \ge 1$, co należało wykazać.

• Definicja reszty z dzielenia: liczba $L$ przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, gdy $L = 3k + 2$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$
• Wzory kwadratu sumy: $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$, $(n+2)^2 = n^2 + 4n + 4$

1. Rozwiń kwadraty dwumianów i zredukuj wyrazy podobne: $n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) = 3n^2 + 6n + 5$.
   2. Przedstaw wyraz wolny 5 jako sumę wielokrotności 3 i reszty 2: $5 = 3 + 2$.
   3. Zapisz wyrażenie w postaci: $3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$.
   4. Uzasadnij, że $(n^2 + 2n + 1) \in \mathbb{N}$, więc liczba ma postać $3k + 2$, co oznacza resztę 2.

1. Rozwijamy wyrazy w sumie kwadratów:
      $L = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4)$
   2. Redukujemy wyrazy podobne:
      $L = 3n^2 + 6n + 5$
   3. Wyodrębniamy wielokrotność liczby $3$, rozbijając $5 = 3 + 2$:
      $L = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$
   4. Zauważmy, że $n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2$. Ponieważ $n \ge 1$, to $k = (n+1)^2$ jest liczbą całkowitą dodatnią.
   5. Otrzymaliśmy zatem postać:
      $L = 3k + 2, \quad \text{gdzie } k \in \mathbb{N}$
   Oznacza to, że reszta z dzielenia liczby $L$ przez $3$ wynosi $2$, co kończy dowód.