Powrót do katalogu

Lekcja 26: Wzory Kąta Podwojonego, Sumy i Różnicy Kątów (Narzędzia Rozszerzenia)

Dział 05: Trygonometria
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 26: Wzory Kąta Podwojonego, Sumy i Różnicy Kątów (Narzędzia Rozszerzenia)

Wzory addytywne: $$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$ Wzory kąta podwojonego: $$\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad \cos...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy:

CKE Poziom Rozszerzony: Wzory addytywne: $$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$ Wzory kąta podwojonego: $$\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$$ Wzory na sumę i różnicę funkcji: $\sin \alpha \pm \sin \beta$, $\cos \alpha \pm \cos \beta$.

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 26

Trzy postacie wzoru na cos⁡(2α)\cos(2\alpha) – dobieraj tę postać, która natychmiast redukuje drugą funkcję w równaniu (np. gdy masz sam cos⁡α\cos \alpha, użyj 2cos⁡2α−12\cos^2 \alpha - 1).

3 Czerwone Flagi

01

sin⁡(2α)≠2sin⁡α\sin(2\alpha) \neq 2\sin \alpha, cos⁡(α+β)≠cos⁡α+cos⁡β\cos(\alpha + \beta) \neq \cos \alpha + \cos \beta.

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Wzory Kąta Podwojonego, Sumy i Różnicy Kątów (Narzędzia Rozszerzenia)

Lekcja 26 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy:
  • Poziom Rozszerzony: Wzory addytywne: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta Wzory kąta podwojonego: sin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha Wzory na sumę i różnicę funkcji: sin⁡α±sin⁡β\sin \alpha \pm \sin \beta, cos⁡α±cos⁡β\cos \alpha \pm \cos \beta.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Trzy postacie wzoru na cos⁡(2α)\cos(2\alpha) – dobieraj tę postać, która natychmiast redukuje drugą funkcję w równaniu (np. gdy masz sam cos⁡α\cos \alpha, użyj 2cos⁡2α−12\cos^2 \alpha - 1).

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: sin⁡(2α)≠2sin⁡α\sin(2\alpha) \neq 2\sin \alpha, cos⁡(α+β)≠cos⁡α+cos⁡β\cos(\alpha + \beta) \neq \cos \alpha + \cos \beta.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 26: Wzory Kąta Podwojonego, Sumy i Różnicy Kątów (Narzędzia Rozszerzenia)

Wzory addytywne: $$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$ Wzory kąta podwojonego: $$\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad \cos...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 26

Trzy postacie wzoru na cos⁡(2α)\cos(2\alpha) – dobieraj tę postać, która natychmiast redukuje drugą funkcję w równaniu (np. gdy masz sam cos⁡α\cos \alpha, użyj 2cos⁡2α−12\cos^2 \alpha - 1).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

sin⁡(2α)≠2sin⁡α\sin(2\alpha) \neq 2\sin \alpha, cos⁡(α+β)≠cos⁡α+cos⁡β\cos(\alpha + \beta) \neq \cos \alpha + \cos \beta.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 26: Wzory Kąta Podwojonego, Sumy i Różnicy Kątów (Narzędzia Rozszerzenia)

Wzory addytywne: $$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$ Wzory kąta podwojonego: $$\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad \cos...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 26

Trzy postacie wzoru na cos⁡(2α)\cos(2\alpha) – dobieraj tę postać, która natychmiast redukuje drugą funkcję w równaniu (np. gdy masz sam cos⁡α\cos \alpha, użyj 2cos⁡2α−12\cos^2 \alpha - 1).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

sin⁡(2α)≠2sin⁡α\sin(2\alpha) \neq 2\sin \alpha, cos⁡(α+β)≠cos⁡α+cos⁡β\cos(\alpha + \beta) \neq \cos \alpha + \cos \beta.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 26: Wzory Kąta Podwojonego, Sumy i Różnicy Kątów (Narzędzia Rozszerzenia)

Wzory addytywne: $$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$ Wzory kąta podwojonego: $$\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad \cos...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 26

Trzy postacie wzoru na cos⁡(2α)\cos(2\alpha) – dobieraj tę postać, która natychmiast redukuje drugą funkcję w równaniu (np. gdy masz sam cos⁡α\cos \alpha, użyj 2cos⁡2α−12\cos^2 \alpha - 1).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

sin⁡(2α)≠2sin⁡α\sin(2\alpha) \neq 2\sin \alpha, cos⁡(α+β)≠cos⁡α+cos⁡β\cos(\alpha + \beta) \neq \cos \alpha + \cos \beta.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 26: Wzory Kąta Podwojonego, Sumy i Różnicy Kątów (Narzędzia Rozszerzenia)

Wzory addytywne: $$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$ Wzory kąta podwojonego: $$\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad \cos...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 26

Trzy postacie wzoru na cos⁡(2α)\cos(2\alpha) – dobieraj tę postać, która natychmiast redukuje drugą funkcję w równaniu (np. gdy masz sam cos⁡α\cos \alpha, użyj 2cos⁡2α−12\cos^2 \alpha - 1).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

sin⁡(2α)≠2sin⁡α\sin(2\alpha) \neq 2\sin \alpha, cos⁡(α+β)≠cos⁡α+cos⁡β\cos(\alpha + \beta) \neq \cos \alpha + \cos \beta.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Wzory Kąta Podwojonego, Sumy i Różnicy Kątów (Narzędzia Rozszerzenia)

Lekcja 26 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy:
  • Poziom Rozszerzony: Wzory addytywne: sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta Wzory kąta podwojonego: sin⁡(2α)=2sin⁡αcos⁡α,cos⁡(2α)=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha, \quad \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha Wzory na sumę i różnicę funkcji: sin⁡α±sin⁡β\sin \alpha \pm \sin \beta, cos⁡α±cos⁡β\cos \alpha \pm \cos \beta.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Trzy postacie wzoru na cos⁡(2α)\cos(2\alpha) – dobieraj tę postać, która natychmiast redukuje drugą funkcję w równaniu (np. gdy masz sam cos⁡α\cos \alpha, użyj 2cos⁡2α−12\cos^2 \alpha - 1).

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: sin⁡(2α)≠2sin⁡α\sin(2\alpha) \neq 2\sin \alpha, cos⁡(α+β)≠cos⁡α+cos⁡β\cos(\alpha + \beta) \neq \cos \alpha + \cos \beta.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.