Powrót do katalogu

Lekcja 03: Wartość Bezwzględna, Przedziały & Równania Modułowe

Dział 01: Liczby Rzeczywiste
120 min
66 pkt (36 zadań)

Lekcja 03: Wartość Bezwzględna, Przedziały & Równania Modułowe

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 66 pkt

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

Wartość bezwzględna sprawdza geometryczną i algebraiczną intuicję. Na podstawie to proste nierówności z odległością na osi (∣x−a∣≤r|x - a| \le r), a na rozszerzeniu – tożsamość pierwiastkowa w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w| oraz zadania za 4 punkty z wieloma przedziałami.

3 Kluczowe Patenty

1

Środek i promień na osi liczbowej

∣x−a∣|x - a| to odległość xx od aa. Środek przedziału: S=x1+x22S = \frac{x_1+x_2}{2}, promień: r=x2−x12r = \frac{x_2-x_1}{2}. Odcinek wewnętrzny: ∣x−S∣≤r|x - S| \le r, ramiona zewnętrzne: ∣x−S∣≥r|x - S| \ge r.

2

Złoty patent kwadratowania $|A| = |B|$

Zamiast żmudnego dzielenia osi na 3 przedziały, zastosuj tożsamość ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=B∨A=−B|A| = |B| \iff A = B \lor A = -B (lub A2=B2A^2 = B^2). Równanie z dwoma modułami rozwiązujesz w 20 sekund!

3

Zwijanie trójmianu pod pierwiastkiem

Gdy widzisz ax2+bx+c\sqrt{ax^2+bx+c}, natychmiast szukaj kwadratu sumy/różnicy: (x−a)2=∣x−a∣\sqrt{(x-a)^2} = |x-a|. Pamiętaj: pierwiastek kwadratowy nigdy nie daje liczby ujemnej!

3 Czerwone Flagi

01

w2=∣w∣\sqrt{w^2} = \lvert w \rvert, a NIE samo ww! Jeśli x<3x < 3, to (x−3)2=−(x−3)=3−x\sqrt{(x-3)^2} = -(x-3) = 3 - x (błąd kardynalny CKE skutkujący 0 pkt).

02

Równania ∣f(x)∣=g(x)\lvert f(x) \rvert = g(x) wymagają żelaznego warunku wstępnego g(x)≥0g(x) \ge 0. Wartość bezwzględna NIGDY nie może równać się liczbie ujemnej — brak odrzucenia pierwiastka obcego to strata punktu!

03

W nierównościach modułowych spójnik »LUB« (∨\lor) stosujemy dla ≥\ge i >> (ramiona zewnętrzne), a spójnik »ORAZ« (∧\land) dla ≤\le i << (wnętrze przedziału).

04

Przy faktoryzacji modułów typu ∣x−3∣(2−∣x+3∣)<0\lvert x-3 \rvert(2 - \lvert x+3 \rvert) < 0, dzieląc przez ∣x−3∣\lvert x-3 \rvert, musisz BEZWZGLĘDNIE wykluczyć punkt zerowy x≠3x \neq 3 ze zbioru rozwiązań!

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Pobierz wideo

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Prędkość:

Rozdziały

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📘 Kompendium Wiedzy: Wartość Bezwzględna, Przedziały & Równania Modułowe

1. Definicja i Fundamenty Wartości Bezwzględnej

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x∈Rx \in \mathbb{R}, wartość bezwzględną definiujemy jako:

∣x∣={xdla x≥0−xdla x<0|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \ge 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}

  • Uwaga o znaku: Symbol −x-x oznacza liczbę przeciwną do xx. Gdy x=−7x = -7, to −x=−(−7)=7>0-x = -(-7) = 7 > 0.
  • Niewspółmierność ujemna: Wartość bezwzględna dowolnego wyrażenia rzeczywistego jest ZAWSZE nieujemna: ∣w∣≥0|w| \ge 0.
  • Równość z zerem: ∣w∣=0  ⟺  w=0|w| = 0 \iff w = 0.

Własności fundamentalne:

  • ∣−a∣=∣a∣|-a| = |a| (parzystość modułu)
  • ∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b|
  • ∣ab∣=∣a∣∣b∣\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} dla b≠0b \neq 0
  • ∣an∣=∣a∣n|a^n| = |a|^n dla n∈Nn \in \mathbb{N}
  • ∣a∣−∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣|a| - |b| \le |a + b| \le |a| + |b| (nierówność trójkąta)

2. Fundamentalna Tożsamość Pierwiastkowa w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w|

Jedna z najważniejszych tożsamości całego egzaminu maturalnego:

w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w|

Gdy pod pierwiastkiem występuje trójmian kwadratowy będący pełnym kwadratem sumy lub różnicy:

  • x2−2ax+a2=(x−a)2=∣x−a∣\sqrt{x^2 - 2ax + a^2} = \sqrt{(x - a)^2} = |x - a|
  • Jeśli z założeń zadania x<ax < a, to x−a<0  ⟹  ∣x−a∣=−(x−a)=a−xx - a < 0 \implies |x - a| = -(x - a) = a - x.
  • Jeśli x≥ax \ge a, to ∣x−a∣=x−a|x - a| = x - a.

⚠️ REDFLAG CKE: Zapisanie (x−a)2=x−a\sqrt{(x-a)^2} = x - a bez wartości bezwzględnej oznacza błąd kardynalny i zerowanie punktów za całe zadanie!

3. Interpretacja Geometryczna: Środek i Promień na Osi Liczbowej

Wyrażenie ∣x−a∣|x - a| reprezentuje odległość geometryczną liczby xx od punktu aa na osi liczbowej.

Dla dowolnego symetrycznego przedziału lub sumy przedziałów o końcach x1x_1 i x2x_2 (x1<x2x_1 < x_2):

  1. Środek symetrii (SS): S=x1+x22S = \frac{x_1 + x_2}{2}
  2. Promień odległości (rr): r=x2−x12r = \frac{x_2 - x_1}{2}
Postać geometryczna na osiNierówność kanonicznaTyp zbioru
Odcinek wewnętrzny (x1,x2)(x_1, x_2)∣x−S∣<r\lvert x - S \rvert < rPrzedział otwarty
Odcinek wewnętrzny ⟨x1,x2⟩\langle x_1, x_2 \rangle∣x−S∣≤r\lvert x - S \rvert \le rPrzedział domknięty
Ramiona zewnętrzne (−∞,x1)∪(x2,+∞)(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)∣x−S∣>r\lvert x - S \rvert > rSuma przedziałów otwartych
Ramiona zewnętrzne (−∞,x1⟩∪⟨x2,+∞)(-\infty, x_1\rangle \cup \langle x_2, +\infty)∣x−S∣≥r\lvert x - S \rvert \ge rSuma przedziałów domkniętych

4. Schematy Rozwiązywania Równań i Nierówności Kanonicznych (r>0r > 0)

Równanie ∣w∣=r|w| = r:

∣w∣=r  ⟺  w=r∨w=−r|w| = r \iff w = r \quad \lor \quad w = -r

  • Dwa symetryczne pierwiastki.
  • Gdy r=0  ⟹  w=0r = 0 \implies w = 0.
  • Gdy r<0  ⟹  r < 0 \implies równanie sprzeczne (x∈∅x \in \emptyset).

Nierówność zbieżna ∣w∣≤r|w| \le r:

∣w∣≤r  ⟺  −r≤w≤r|w| \le r \iff -r \le w \le r

  • Równoważna koniunkcji (części wspólnej): w≥−r∧w≤rw \ge -r \land w \le r.

Nierówność rozbieżna ∣w∣≥r|w| \ge r:

∣w∣≥r  ⟺  w≤−r∨w≥r|w| \ge r \iff w \le -r \quad \lor \quad w \ge r

  • Równoważna alternatywie (sumie zbiorów).

5. Złote Patenty Poziomu Rozszerzonego

Patent A: Równania Postaci ∣f(x)∣=∣g(x)∣|f(x)| = |g(x)|

Nie rozbijaj osi na 3 przedziały! Zastosuj natychmiastową alternatywę: ∣f(x)∣=∣g(x)∣  ⟺  f(x)=g(x)∨f(x)=−g(x)|f(x)| = |g(x)| \iff f(x) = g(x) \quad \lor \quad f(x) = -g(x)

  • Obustronne kwadratowanie prowadzi do tożsamego wyniku: f2(x)−g2(x)=0  ⟺  [f(x)−g(x)][f(x)+g(x)]=0f^2(x) - g^2(x) = 0 \iff [f(x) - g(x)][f(x) + g(x)] = 0.
  • Czas rozwiązania: 20 sekund zamiast 10 minut.

Patent B: Równania Liniowe ∣f(x)∣=g(x)|f(x)| = g(x) (Pułapka Pierwiastka Obcego)

  1. Krok 0: Zapisz warunek nieujemności prawej strony: g(x)≥0g(x) \ge 0.
  2. Krok 1: Rozbij na f(x)=g(x)∨f(x)=−g(x)f(x) = g(x) \lor f(x) = -g(x).
  3. Krok 2: Bezwzględnie sprawdź zgodność wyliczonych pierwiastków z warunkiem g(x)≥0g(x) \ge 0 i odrzuć pierwiastki obce!

Patent C: Metoda Przedziałów (Zadania za 3–4 pkt)

Dla równań/nierówności z wieloma modułami, np. ∣2x+6∣−∣x−1∣≤4|2x + 6| - |x - 1| \le 4:

  1. Wyznacz miejsca zerowe wnętrz modułów (x1=−3,x2=1x_1 = -3, x_2 = 1).
  2. Podziel oś na parami rozłączne przedziały: (−∞,−3)(-\infty, -3), ⟨−3,1)\langle -3, 1), ⟨1,+∞)\langle 1, +\infty).
  3. Zdejmij moduły z właściwymi znakami w każdym przedziale.
  4. Wyznacz część wspólną z badanym przedziałem.
  5. Zsumuj rozwiązania cząstkowe ze wszystkich przedziałów.

6. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typologia Błędów Maturalnych)

L.p.❌ NIE WOLNO! (Błąd kardynalny)✅ PRAWIDŁOWO (Standard CKE)Wyjaśnienie i reguła egzaminatora
1w2=w\sqrt{w^2} = ww2=∣w∣\sqrt{w^2} = \lvert w \rvertPierwiastek kwadratowy z kwadratu daje ZAWSZE wartość bezwzględną! Np. (−3)2=∣−3∣=3≠−3\sqrt{(-3)^2} = \lvert -3 \rvert = 3 \neq -3.
2∣f(x)∣=g(x)\lvert f(x) \rvert = g(x) bez warunku g(x)≥0g(x) \ge 0Krok 0: g(x)≥0g(x) \ge 0, potem f(x)=g(x)∨f(x)=−g(x)f(x) = g(x) \lor f(x) = -g(x)Moduł nie może równać się liczbie ujemnej. Brak odrzucenia pierwiastków obcych to strata punktów CKE.
3∣x∣≥3  ⟺  −3≤x≤3\lvert x \rvert \ge 3 \iff -3 \le x \le 3x≤−3∨x≥3x \le -3 \lor x \ge 3 (ramiona zewnętrzne)Dla zwrotu ≥\ge i >> rozwiązaniem jest suma przedziałów zewnętrznych (spójnik LUB), a nie przedział środkowy!
4∣a+b∣=∣a∣+∣b∣\lvert a + b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣\lvert a + b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert (nierówność trójkąta)Równość zachodzi tylko, gdy aa i bb mają ten sam znak (a⋅b≥0a \cdot b \ge 0). Np. ∣5+(−3)∣=2≠5+3=8\lvert 5 + (-3) \rvert = 2 \neq 5 + 3 = 8.
5Dzielenie nierówności przez ∣x−2∣\lvert x - 2 \rvert bez wykluczenia zeraWykluczyć x≠2x \neq 2 z dziedziny przed skracaniemModuł może być zerem! Dzielenie przez wyrażenie, które może wynosić zero, gubi lub fałszuje rozwiązania.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 03: Wartość Bezwzględna, Przedziały & Równania Modułowe

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 66 pkt

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 16 zadań🏆 27 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 27 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Definicja i tożsamości

∣x∣=x dla x≥0, −x dla x<0|x| = x \text{ dla } x \ge 0,\ -x \text{ dla } x < 0 · w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w| · ∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b| · ∣ab∣=∣a∣∣b∣\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}

Równania i nierówności

∣w∣=r  ⟺  w=±r|w| = r \iff w = \pm r · ∣w∣≤r  ⟺  −r≤w≤r|w| \le r \iff -r \le w \le r · ∣w∣≥r  ⟺  w≤−r∨w≥r|w| \ge r \iff w \le -r \lor w \ge r

Oś liczbowa i złoty patent

Środek: a+b2\frac{a+b}{2} · Promień: b−a2\frac{b-a}{2} · Patent: ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=±B|A| = |B| \iff A = \pm B

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Środek i promień na osi liczbowej

∣x−a∣|x - a| to odległość xx od aa. Środek przedziału: S=x1+x22S = \frac{x_1+x_2}{2}, promień: r=x2−x12r = \frac{x_2-x_1}{2}. Odcinek wewnętrzny: ∣x−S∣≤r|x - S| \le r, ramiona zewnętrzne: ∣x−S∣≥r|x - S| \ge r.

2. Złoty patent kwadratowania $|A| = |B|$

Zamiast żmudnego dzielenia osi na 3 przedziały, zastosuj tożsamość ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=B∨A=−B|A| = |B| \iff A = B \lor A = -B (lub A2=B2A^2 = B^2). Równanie z dwoma modułami rozwiązujesz w 20 sekund!

3. Zwijanie trójmianu pod pierwiastkiem

Gdy widzisz ax2+bx+c\sqrt{ax^2+bx+c}, natychmiast szukaj kwadratu sumy/różnicy: (x−a)2=∣x−a∣\sqrt{(x-a)^2} = |x-a|. Pamiętaj: pierwiastek kwadratowy nigdy nie daje liczby ujemnej!

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

w2=∣w∣\sqrt{w^2} = \lvert w \rvert, a NIE samo ww! Jeśli x<3x < 3, to (x−3)2=−(x−3)=3−x\sqrt{(x-3)^2} = -(x-3) = 3 - x (błąd kardynalny CKE skutkujący 0 pkt).

02

Równania ∣f(x)∣=g(x)\lvert f(x) \rvert = g(x) wymagają żelaznego warunku wstępnego g(x)≥0g(x) \ge 0. Wartość bezwzględna NIGDY nie może równać się liczbie ujemnej — brak odrzucenia pierwiastka obcego to strata punktu!

03

W nierównościach modułowych spójnik »LUB« (∨\lor) stosujemy dla ≥\ge i >> (ramiona zewnętrzne), a spójnik »ORAZ« (∧\land) dla ≤\le i << (wnętrze przedziału).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie12345678910111213141516
Maks. pkt1111111111223343
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 17 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2025 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 1: Rozwiązywanie elementarnego równania |x - a| = b

Liczby x1x_1 i x2x_2 są różnymi rozwiązaniami równania ∣x−6∣=4|x - 6| = 4.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma x1+x2x_1 + x_2 jest równa:
A. 88      B. 1212      C. 1616      D. 2424

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 2: Nierówność podwójna z modułem |x - a| <= r

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ∣x−3∣≤5|x - 3| \le 5 jest przedział:
A. ⟨−2,8⟩\langle -2, 8 \rangle      B. ⟨−8,2⟩\langle -8, 2 \rangle      C. (−∞,−2⟩∪⟨8,+∞)(-\infty, -2\rangle \cup \langle 8, +\infty)      D. ⟨3,5⟩\langle 3, 5 \rangle

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2023 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 3: Odczytywanie nierówności z osi liczbowej (środek i promień)

Na osi liczbowej zaznaczono przedział (−5,7)(-5, 7) (bez końców).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Przedział ten jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
A. ∣x−1∣<6|x - 1| < 6      B. ∣x−6∣<1|x - 6| < 1      C. ∣x+1∣<6|x + 1| < 6      D. ∣x−1∣≤6|x - 1| \le 6

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2022 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 4: Opuszczanie wartości bezwzględnej ze stałymi niewymiernymi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ∣3−π∣+∣π−1∣|3 - \pi| + |\pi - 1| jest równa:
A. 22      B. 44      C. 2π−42\pi - 4      D. 4−2π4 - 2\pi

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2021 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 5: Tożsamość pierwiastka z kwadratu sqrt(x^2) = |x|

Dla każdej liczby rzeczywistej x<2x < 2 wyrażenie x2−4x+4\sqrt{x^2 - 4x + 4} jest równe:

A. x−2x - 2      B. 2−x2 - x      C. ∣x+2∣|x + 2|      D. −(x+2)-(x + 2)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2024 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 6: Obliczanie wartości bezwzględnej z ułamkami zwykłymi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ∣−34+12∣\left| -\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \right| jest równa:
A. −14-\frac{1}{4}      B. 14\frac{1}{4}      C. 54\frac{5}{4}      D. −54-\frac{5}{4}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2023 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 7: Nierówność ze znakiem większości |x - a| > r

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ∣x+2∣>4|x + 2| > 4 jest:
A. (−6,2)(-6, 2)      B. (−∞,−6)∪(2,+∞)(-\infty, -6) \cup (2, +\infty)      C. (−2,4)(-2, 4)      D. (−∞,−2)∪(4,+∞)(-\infty, -2) \cup (4, +\infty)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2019 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 8: Działania na przedziałach liczbowych — różnica zbiorów A \ B

Dane są przedziały A=⟨−3,5)A = \langle -3, 5) oraz B=(1,7⟩B = (1, 7\rangle.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Różnica przedziałów A∖BA \setminus B jest równa:
A. ⟨−3,1⟩\langle -3, 1\rangle      B. ⟨−3,1)\langle -3, 1)      C. (1,5)(1, 5)      D. (5,7⟩(5, 7\rangle

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2023 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 9: Zagnieżdżony moduł liczbowy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ∣2−∣3−7∣∣|2 - |3 - 7|| jest równa:
A. 22      B. −2-2      C. 66      D. −6-6

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2021 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 10: Równanie kwadratowe z modułem i liczba rozwiązań

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba różnych rozwiązań rzeczywistych równania ∣x2−4∣=3|x^2 - 4| = 3 jest równa:
A. 11      B. 22      C. 33      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Średnio-trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 11: Równanie z dwoma modułami postaci |f(x)| = |g(x)|

Rozwiąż równanie:
∣2x−5∣=∣x+1∣|2x - 5| = |x + 1|
Zapisz pełne obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2018 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 12: Zagnieżdżone równanie z wartością bezwzględną ||x - a| - b| = c

Rozwiąż równanie:
∣∣x−2∣−3∣=1||x - 2| - 3| = 1
Podaj wszystkie rozwiązania rzeczywiste.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2022 r., Zadanie 2 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność 13: Równanie z dwoma modułami metodą przedziałów

Rozwiąż równanie:
∣x−1∣+∣x+3∣=6|x - 1| + |x + 3| = 6
Zapisz pełne obliczenia i uzasadnienie.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2019 r., Zadanie 3 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność 14: Nierówność wielomodułowa metodą przedziałów

Rozwiąż nierówność:
∣2x−4∣−∣x+1∣≤3|2x - 4| - |x + 1| \le 3
Zapisz pełne uzasadnienie i podaj zbiór rozwiązań.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Ekspert (9/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2023 r., Zadanie 9 (4 pkt)

4 pkt

Umiejętność 15: Nierówność z podwójnym modułem pod pierwiastkami (Zadanie otwarte 4 pkt)

Rozwiąż nierówność:
x2+4x+4<253−x2−6x+9\sqrt{x^2 + 4x + 4} < \frac{25}{3} - \sqrt{x^2 - 6x + 9}
Zapisz pełne obliczenia i podaj zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 4 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 4 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność 16: Liczba rozwiązań równania z modułem i parametrem

Wyznacz liczbę rozwiązań równania ∣x2−4x∣=m|x^2 - 4x| = m w zależności od wartości parametru m∈Rm \in \mathbb{R}.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 03: Wartość Bezwzględna, Przedziały & Równania Modułowe

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 66 pkt

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 16 zadań🏆 27 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 27 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Definicja i tożsamości

∣x∣=x dla x≥0, −x dla x<0|x| = x \text{ dla } x \ge 0,\ -x \text{ dla } x < 0 · w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w| · ∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b| · ∣ab∣=∣a∣∣b∣\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}

Równania i nierówności

∣w∣=r  ⟺  w=±r|w| = r \iff w = \pm r · ∣w∣≤r  ⟺  −r≤w≤r|w| \le r \iff -r \le w \le r · ∣w∣≥r  ⟺  w≤−r∨w≥r|w| \ge r \iff w \le -r \lor w \ge r

Oś liczbowa i złoty patent

Środek: a+b2\frac{a+b}{2} · Promień: b−a2\frac{b-a}{2} · Patent: ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=±B|A| = |B| \iff A = \pm B

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Środek i promień na osi liczbowej

∣x−a∣|x - a| to odległość xx od aa. Środek przedziału: S=x1+x22S = \frac{x_1+x_2}{2}, promień: r=x2−x12r = \frac{x_2-x_1}{2}. Odcinek wewnętrzny: ∣x−S∣≤r|x - S| \le r, ramiona zewnętrzne: ∣x−S∣≥r|x - S| \ge r.

2. Złoty patent kwadratowania $|A| = |B|$

Zamiast żmudnego dzielenia osi na 3 przedziały, zastosuj tożsamość ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=B∨A=−B|A| = |B| \iff A = B \lor A = -B (lub A2=B2A^2 = B^2). Równanie z dwoma modułami rozwiązujesz w 20 sekund!

3. Zwijanie trójmianu pod pierwiastkiem

Gdy widzisz ax2+bx+c\sqrt{ax^2+bx+c}, natychmiast szukaj kwadratu sumy/różnicy: (x−a)2=∣x−a∣\sqrt{(x-a)^2} = |x-a|. Pamiętaj: pierwiastek kwadratowy nigdy nie daje liczby ujemnej!

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

w2=∣w∣\sqrt{w^2} = \lvert w \rvert, a NIE samo ww! Jeśli x<3x < 3, to (x−3)2=−(x−3)=3−x\sqrt{(x-3)^2} = -(x-3) = 3 - x (błąd kardynalny CKE skutkujący 0 pkt).

02

Równania ∣f(x)∣=g(x)\lvert f(x) \rvert = g(x) wymagają żelaznego warunku wstępnego g(x)≥0g(x) \ge 0. Wartość bezwzględna NIGDY nie może równać się liczbie ujemnej — brak odrzucenia pierwiastka obcego to strata punktu!

03

W nierównościach modułowych spójnik »LUB« (∨\lor) stosujemy dla ≥\ge i >> (ramiona zewnętrzne), a spójnik »ORAZ« (∧\land) dla ≤\le i << (wnętrze przedziału).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie12345678910111213141516
Maks. pkt1111111111223343
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 17 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2025 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 1: Rozwiązywanie elementarnego równania |x - a| = b

Liczby x1x_1 i x2x_2 są różnymi rozwiązaniami równania ∣x−6∣=4|x - 6| = 4.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma x1+x2x_1 + x_2 jest równa:
A. 88      B. 1212      C. 1616      D. 2424

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Rozbicie równania modułowego: ∣w∣=c  ⟺  w=c∨w=−c|w| = c \iff w = c \lor w = -c (dla c>0c > 0)
• Symetria: Rozwiązania leżą symetrycznie względem punktu a=6a = 6, więc ich suma to 2a=122a = 12

Strategia

  1. Zapisz dwa równania: x−6=4x - 6 = 4 oraz x−6=−4x - 6 = -4.
    2. Oblicz x1=10x_1 = 10 oraz x2=2x_2 = 2.
    3. Dodaj pierwiastki: 10+2=1210 + 2 = 12.

Pełne obliczenia

  1. Rozbijamy równanie z wartością bezwzględną:
       ∣x−6∣=4  ⟺  x−6=4∨x−6=−4|x - 6| = 4 \iff x - 6 = 4 \quad \lor \quad x - 6 = -4
    2. Wyznaczamy pierwiastki:
       x1=10,x2=2x_1 = 10, \quad x_2 = 2
    3. Obliczamy sumę rozwiązań:
       x1+x2=10+2=12x_1 + x_2 = 10 + 2 = 12
    Poprawna odpowiedź: B (1212)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Rozpatrzenie tylko dodatniego przypadku (x−6=4  ⟹  x=10x - 6 = 4 \implies x = 10) i brak drugiego pierwiastka.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 2: Nierówność podwójna z modułem |x - a| <= r

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ∣x−3∣≤5|x - 3| \le 5 jest przedział:
A. ⟨−2,8⟩\langle -2, 8 \rangle      B. ⟨−8,2⟩\langle -8, 2 \rangle      C. (−∞,−2⟩∪⟨8,+∞)(-\infty, -2\rangle \cup \langle 8, +\infty)      D. ⟨3,5⟩\langle 3, 5 \rangle

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Nierówność zbieżna: ∣w∣≤r  ⟺  −r≤w≤r|w| \le r \iff -r \le w \le r

Strategia

  1. Rozpisz nierówność jako podwójną: −5≤x−3≤5-5 \le x - 3 \le 5.
    2. Dodaj 3 do każdej strony: −2≤x≤8-2 \le x \le 8.
    3. Zapisz przedział domknięty ⟨−2,8⟩\langle -2, 8 \rangle.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy własność wartości bezwzględnej dla nierówności ze znakiem ≤\le:
       ∣x−3∣≤5  ⟺  −5≤x−3≤5|x - 3| \le 5 \iff -5 \le x - 3 \le 5
    2. Dodajemy 3 obustronnie:
       −5+3≤x≤5+3  ⟺  −2≤x≤8-5 + 3 \le x \le 5 + 3 \iff -2 \le x \le 8
    3. Zbiór rozwiązań to przedział obustronnie domknięty ⟨−2,8⟩\langle -2, 8 \rangle.
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Wybór sumy przedziałów rozłącznych (opcja C) — taki zbiór daje znak ≥\ge, a nie ≤\le!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2023 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 3: Odczytywanie nierówności z osi liczbowej (środek i promień)

Na osi liczbowej zaznaczono przedział (−5,7)(-5, 7) (bez końców).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Przedział ten jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
A. ∣x−1∣<6|x - 1| < 6      B. ∣x−6∣<1|x - 6| < 1      C. ∣x+1∣<6|x + 1| < 6      D. ∣x−1∣≤6|x - 1| \le 6

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Środek przedziału: S=a+b2=−5+72=1S = \frac{a + b}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = 1
• Promień (odległość): r=b−a2=7−(−5)2=6r = \frac{b - a}{2} = \frac{7 - (-5)}{2} = 6
• Postać kanoniczna: ∣x−S∣<r|x - S| < r

Strategia

  1. Wyznacz środek przedziału: S=1S = 1.
    2. Oblicz promień odległości od środka do brzegu: r=6r = 6.
    3. Zapisz ∣x−1∣<6|x - 1| < 6.

Pełne obliczenia

  1. Wyznaczamy środek przedziału (−5,7)(-5, 7):
       S=−5+72=22=1S = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1
    2. Wyznaczamy promień przedziału:
       r=7−1=6r = 7 - 1 = 6
    3. Punkty należące do przedziału są oddalone od środka 11 o mniej niż 66, a końce nie należą do zbioru:
       ∣x−1∣<6|x - 1| < 6
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędny znak środka ∣x+1∣<6|x + 1| < 6 (opcja C) lub wybór nierówności nieostrej ≤\le przy pustych kropkach (opcja D).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2022 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 4: Opuszczanie wartości bezwzględnej ze stałymi niewymiernymi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ∣3−π∣+∣π−1∣|3 - \pi| + |\pi - 1| jest równa:
A. 22      B. 44      C. 2π−42\pi - 4      D. 4−2π4 - 2\pi

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Definicja modułu: ∣w∣=w|w| = w dla w≥0w \ge 0, ∣w∣=−w|w| = -w dla w<0w < 0
• π≈3,14159...\pi \approx 3{,}14159...

Strategia

  1. Oszacuj znak wnętrza pierwszego modułu: 3−π<0  ⟹  ∣3−π∣=−(3−π)=π−33 - \pi < 0 \implies |3 - \pi| = -(3 - \pi) = \pi - 3.
    2. Oszacuj znak drugiego modułu: π−1>0  ⟹  ∣π−1∣=π−1\pi - 1 > 0 \implies |\pi - 1| = \pi - 1.
    3. Dodaj wyrażenia: (π−3)+(π−1)=2π−4(\pi - 3) + (\pi - 1) = 2\pi - 4.

Pełne obliczenia

  1. Badamy znak wyrażeń pod wartością bezwzględną:
       • Ponieważ π>3\pi > 3, to 3−π<03 - \pi < 0, stąd ∣3−π∣=−(3−π)=π−3|3 - \pi| = -(3 - \pi) = \pi - 3
       • Ponieważ π>1\pi > 1, to π−1>0\pi - 1 > 0, stąd ∣π−1∣=π−1|\pi - 1| = \pi - 1
    2. Sumujemy otrzymane wyrażenia:
       ∣3−π∣+∣π−1∣=(π−3)+(π−1)=2π−4|3 - \pi| + |\pi - 1| = (\pi - 3) + (\pi - 1) = 2\pi - 4
    Poprawna odpowiedź: C

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Opuszczenie modułów bez zmiany znaku: 3−π+π−1=23 - \pi + \pi - 1 = 2 (opcja A) — to najczęstszy błąd maturzystów!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2021 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 5: Tożsamość pierwiastka z kwadratu sqrt(x^2) = |x|

Dla każdej liczby rzeczywistej x<2x < 2 wyrażenie x2−4x+4\sqrt{x^2 - 4x + 4} jest równe:

A. x−2x - 2      B. 2−x2 - x      C. ∣x+2∣|x + 2|      D. −(x+2)-(x + 2)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Kwadrat różnicy: x2−4x+4=(x−2)2x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
• Tożsamość fundamentalna: w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w|

Strategia

  1. Zwiń wyrażenie podpierwiastkowe w kwadrat: (x−2)2(x - 2)^2.
    2. Zastosuj tożsamość: (x−2)2=∣x−2∣\sqrt{(x-2)^2} = |x - 2|.
    3. Uwzględnij założenie x<2  ⟹  x−2<0  ⟹  ∣x−2∣=−(x−2)=2−xx < 2 \implies x - 2 < 0 \implies |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x.

Pełne obliczenia

  1. Zwijamy trójmian pod pierwiastkiem:
       x2−4x+4=(x−2)2=∣x−2∣\sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|
    2. Ponieważ z treści zadania x<2x < 2, liczba x−2x - 2 jest ujemna (x−2<0x - 2 < 0).
    3. Zdejmujemy wartość bezwzględną ze zmianą znaku:
       ∣x−2∣=−(x−2)=2−x|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Zapisanie (x−2)2=x−2\sqrt{(x-2)^2} = x - 2 (opcja A) z pominięciem wartości bezwzględnej!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Łatwe (1/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2024 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 6: Obliczanie wartości bezwzględnej z ułamkami zwykłymi

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ∣−34+12∣\left| -\frac{3}{4} + \frac{1}{2} \right| jest równa:
A. −14-\frac{1}{4}      B. 14\frac{1}{4}      C. 54\frac{5}{4}      D. −54-\frac{5}{4}

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wspólny mianownik: 12=24\frac{1}{2} = \frac{2}{4}
• ∣−c∣=c|-c| = c dla c>0c > 0

Strategia

  1. Sprowadź do wspólnego mianownika: −34+24=−14-\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}.
    2. Oblicz wartość bezwzględną: ∣−14∣=14|-\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}.

Pełne obliczenia

  1. Wykonujemy dodawanie ułamków wewnątrz modułu:
       −34+12=−34+24=−14-\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{4} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{4}
    2. Obliczamy wartość bezwzględną:
       ∣−14∣=14\left|-\frac{1}{4}\right| = \frac{1}{4}
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Pozostawienie ujemnego znaku (zaznaczenie opcji A: −14-\frac{1}{4}). Wartość bezwzględna z dowolnej liczby jest zawsze nieujemna!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2023 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 7: Nierówność ze znakiem większości |x - a| > r

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ∣x+2∣>4|x + 2| > 4 jest:
A. (−6,2)(-6, 2)      B. (−∞,−6)∪(2,+∞)(-\infty, -6) \cup (2, +\infty)      C. (−2,4)(-2, 4)      D. (−∞,−2)∪(4,+∞)(-\infty, -2) \cup (4, +\infty)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Nierówność rozbieżna: ∣w∣>r  ⟺  w<−r∨w>r|w| > r \iff w < -r \lor w > r

Strategia

  1. Rozbij na dwa warunki rozłączne: x+2<−4x + 2 < -4 lub x+2>4x + 2 > 4.
    2. Rozwiąż: x<−6∨x>2x < -6 \lor x > 2.
    3. Zapisz sumę przedziałów: (−∞,−6)∪(2,+∞)(-\infty, -6) \cup (2, +\infty).

Pełne obliczenia

  1. Ze wzoru na nierówność z wartością bezwzględną przy znaku >>:
       ∣x+2∣>4  ⟺  x+2<−4∨x+2>4|x + 2| > 4 \iff x + 2 < -4 \quad \lor \quad x + 2 > 4
    2. Rozwiązujemy obie nierówności:
       x<−6∨x>2x < -6 \quad \lor \quad x > 2
    3. Zbiór rozwiązań to suma przedziałów otwartych:
       x∈(−∞,−6)∪(2,+∞)x \in (-\infty, -6) \cup (2, +\infty)
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne wybranie przedziału spójnego (−6,2)(-6, 2) (opcja A) zamiast sumy przedziałów zewnętrznych.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2019 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 8: Działania na przedziałach liczbowych — różnica zbiorów A \ B

Dane są przedziały A=⟨−3,5)A = \langle -3, 5) oraz B=(1,7⟩B = (1, 7\rangle.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Różnica przedziałów A∖BA \setminus B jest równa:
A. ⟨−3,1⟩\langle -3, 1\rangle      B. ⟨−3,1)\langle -3, 1)      C. (1,5)(1, 5)      D. (5,7⟩(5, 7\rangle

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Różnica zbiorów: A∖B={x∈R:x∈A∧x∉B}A \setminus B = \{x \in \mathbb{R} : x \in A \land x \notin B\}

Strategia

  1. Zaznacz przedziały na osi liczbowej.
    2. Zauważ, że z przedziału AA odrzucamy liczby większe od 1.
    3. Ponieważ liczba 1∉B1 \notin B (nawias okrągły w BB), liczba 1 POZOSTAJE w różnicy A∖BA \setminus B.

Pełne obliczenia

  1. Przedział A=⟨−3,5)A = \langle -3, 5) zawiera liczby od −3-3 (włącznie) do 55 (wyłącznie).
    2. Przedział B=(1,7⟩B = (1, 7\rangle zaczyna się tuż za liczbą 11 (liczba 11 nie należy do BB).
    3. Usuwając ze zbioru AA elementy zbioru BB, pozostają liczby od −3-3 do 11 włącznie z liczbą 11:
       A∖B=⟨−3,1⟩A \setminus B = \langle -3, 1\rangle
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne otwarcie nawiasu przy jedynce (opcja B: ⟨−3,1)\langle -3, 1)). Skoro 1∉B1 \notin B, to po odjęciu BB jedynka nie została odjęta!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2023 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 9: Zagnieżdżony moduł liczbowy

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ∣2−∣3−7∣∣|2 - |3 - 7|| jest równa:
A. 22      B. −2-2      C. 66      D. −6-6

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Kolejność obliczeń: Obliczamy wartość modułu wewnętrznego, a następnie zewnętrznego

Strategia

  1. Wewnętrzny moduł: ∣3−7∣=∣−4∣=4|3 - 7| = |-4| = 4.
    2. Wstaw do zewnętrznego: ∣2−4∣=∣−2∣=2|2 - 4| = |-2| = 2.

Pełne obliczenia

  1. Obliczamy wnętrze modułu wewnętrznego:
       3−7=−4  ⟹  ∣−4∣=43 - 7 = -4 \implies |-4| = 4
    2. Podstawiamy wynik:
       ∣2−4∣=∣−2∣=2|2 - 4| = |-2| = 2
    Poprawna odpowiedź: A (22)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błąd rachunkowy ∣2−(−4)∣=∣6∣=6|2 - (-4)| = |6| = 6 (błędne podwójne odwrócenie znaku).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Rozszerzona
Trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2021 r., Zadanie 4 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność 10: Równanie kwadratowe z modułem i liczba rozwiązań

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba różnych rozwiązań rzeczywistych równania ∣x2−4∣=3|x^2 - 4| = 3 jest równa:
A. 11      B. 22      C. 33      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• ∣w∣=c  ⟺  w=c∨w=−c|w| = c \iff w = c \lor w = -c
• x2=kx^2 = k dla k>0k > 0 ma dwa rozwiązania x=±kx = \pm \sqrt{k}

Strategia

  1. Rozbij na dwa równania: x2−4=3x^2 - 4 = 3 oraz x2−4=−3x^2 - 4 = -3.
    2. Równanie I: x2=7  ⟹  x=±7x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7} (2 rozwiązania).
    3. Równanie II: x2=1  ⟹  x=±1x^2 = 1 \implies x = \pm 1 (2 rozwiązania).
    4. Razem 4 różne rozwiązania.

Pełne obliczenia

  1. Z definicji wartości bezwzględnej:
       ∣x2−4∣=3  ⟺  x2−4=3∨x2−4=−3|x^2 - 4| = 3 \iff x^2 - 4 = 3 \quad \lor \quad x^2 - 4 = -3
    2. Rozwiązujemy oba przypadki:
       • x2=7  ⟹  x1=−7,x2=7x^2 = 7 \implies x_1 = -\sqrt{7}, \quad x_2 = \sqrt{7}
       • x2=1  ⟹  x3=−1,x4=1x^2 = 1 \implies x_3 = -1, \quad x_4 = 1
    3. Wszystkie 4 liczby są rzeczywiste i parami różne.
    Poprawna odpowiedź: D (4)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Uwzględnienie tylko rozwiązań dodatnich (wybór odpowiedzi B: 2 rozwiązania). Pamiętaj o ujemnych pierwiastkach!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Średnio-trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2024 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 11: Równanie z dwoma modułami postaci |f(x)| = |g(x)|

Rozwiąż równanie:
∣2x−5∣=∣x+1∣|2x - 5| = |x + 1|
Zapisz pełne obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Patent obustronnego kwadratowania: ∣f(x)∣=∣g(x)∣  ⟺  f2(x)=g2(x)  ⟺  [f(x)−g(x)][f(x)+g(x)]=0|f(x)| = |g(x)| \iff f^2(x) = g^2(x) \iff [f(x) - g(x)][f(x) + g(x)] = 0
• Równoważnie: f(x)=g(x)∨f(x)=−g(x)f(x) = g(x) \lor f(x) = -g(x)

Strategia

  1. Zastosuj tożsamość: 2x−5=x+12x - 5 = x + 1 lub 2x−5=−(x+1)2x - 5 = -(x + 1).
    2. Rozwiąż oba liniowe równania w 10 sekund bez dzielenia na przedziały!

Pełne obliczenia

  1. Równanie postaci ∣A∣=∣B∣|A| = |B| jest równoważne alternatywie:
       2x−5=x+1∨2x−5=−(x+1)2x - 5 = x + 1 \quad \lor \quad 2x - 5 = -(x + 1)
    2. Rozwiązujemy równanie I:
       2x−x=1+5  ⟹  x1=62x - x = 1 + 5 \implies x_1 = 6
    3. Rozwiązujemy równanie II:
       2x−5=−x−1  ⟺  3x=4  ⟹  x2=432x - 5 = -x - 1 \iff 3x = 4 \implies x_2 = \frac{4}{3}
    Odpowiedź: x∈{43,6}x \in \left\{\frac{4}{3}, 6\right\}

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Niepotrzebny i czasochłonny podział na 3 przedziały z ryzykiem błędu znakowego. Złoty patent ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=±B|A| = |B| \iff A = \pm B załatwia sprawę natychmiast!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2018 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność 12: Zagnieżdżone równanie z wartością bezwzględną ||x - a| - b| = c

Rozwiąż równanie:
∣∣x−2∣−3∣=1||x - 2| - 3| = 1
Podaj wszystkie rozwiązania rzeczywiste.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Stopniowe zdejmowanie modułu zewnętrznego: ∣w∣=1  ⟺  w=1∨w=−1|w| = 1 \iff w = 1 \lor w = -1

Strategia

  1. Rozbij moduł zewnętrzny: ∣x−2∣−3=1|x - 2| - 3 = 1 lub ∣x−2∣−3=−1|x - 2| - 3 = -1.
    2. Przypadek I: ∣x−2∣=4  ⟹  x=6∨x=−2|x - 2| = 4 \implies x = 6 \lor x = -2.
    3. Przypadek II: ∣x−2∣=2  ⟹  x=4∨x=0|x - 2| = 2 \implies x = 4 \lor x = 0.
    4. Zbierz wszystkie 4 rozwiązania.

Pełne obliczenia

  1. Zdejmujemy moduł zewnętrzny:
       ∣x−2∣−3=1∨∣x−2∣−3=−1|x - 2| - 3 = 1 \quad \lor \quad |x - 2| - 3 = -1
    2. Przypadek I:
       ∣x−2∣=4  ⟺  x−2=4∨x−2=−4  ⟹  x1=6,x2=−2|x - 2| = 4 \iff x - 2 = 4 \lor x - 2 = -4 \implies x_1 = 6, \quad x_2 = -2
    3. Przypadek II:
       ∣x−2∣=2  ⟺  x−2=2∨x−2=−2  ⟹  x3=4,x4=0|x - 2| = 2 \iff x - 2 = 2 \lor x - 2 = -2 \implies x_3 = 4, \quad x_4 = 0
    Odpowiedź: x∈{−2,0,4,6}x \in \{-2, 0, 4, 6\}

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Gubienie gałęzi równania (podanie tylko 2 rozwiązań zamiast 4).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2022 r., Zadanie 2 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność 13: Równanie z dwoma modułami metodą przedziałów

Rozwiąż równanie:
∣x−1∣+∣x+3∣=6|x - 1| + |x + 3| = 6
Zapisz pełne obliczenia i uzasadnienie.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Miejsca zerowe modułów: x=1,x=−3x = 1, x = -3
• Podział osi na 3 przedziały: (−∞,−3)(-\infty, -3), ⟨−3,1)\langle -3, 1), ⟨1,+∞)\langle 1, +\infty)

Strategia

  1. Wyznacz punkty krytyczne: x=−3x = -3 i x=1x = 1.
    2. Rozpatrz 3 przedziały, ustalając znak każdego modułu.
    3. Skonfrontuj rozwiązania cząstkowe z przedziałami!

Pełne obliczenia

  1. Punkty zerowe wnętrz modułów to x=−3x = -3 oraz x=1x = 1.
    2. Przedział I: x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -3)
       Oba moduły mają ujemne wnętrza:
       −(x−1)−(x+3)=6  ⟺  −2x−2=6  ⟺  −2x=8  ⟹  x=−4-(x - 1) - (x + 3) = 6 \iff -2x - 2 = 6 \iff -2x = 8 \implies x = -4
       Sprawdzamy: −4∈(−∞,−3)-4 \in (-\infty, -3) — ROZWIĄZANIE POPRAWNE.
    3. Przedział II: x∈⟨−3,1)x \in \langle -3, 1)
       Pierwszy moduł ujemny, drugi dodatni:
       −(x−1)+(x+3)=6  ⟺  −x+1+x+3=6  ⟺  4=6-(x - 1) + (x + 3) = 6 \iff -x + 1 + x + 3 = 6 \iff 4 = 6
       Równanie sprzeczne w tym przedziale (x∈∅x \in \emptyset).
    4. Przedział III: x∈⟨1,+∞)x \in \langle 1, +\infty)
       Oba moduły dodatnie:
       (x−1)+(x+3)=6  ⟺  2x+2=6  ⟺  2x=4  ⟹  x=2(x - 1) + (x + 3) = 6 \iff 2x + 2 = 6 \iff 2x = 4 \implies x = 2
       Sprawdzamy: 2∈⟨1,+∞)2 \in \langle 1, +\infty) — ROZWIĄZANIE POPRAWNE.
    Odpowiedź: x∈{−4,2}x \in \{-4, 2\}

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Brak sprawdzenia, czy wyliczone xx należy do rozpatrywanego przedziału (błąd założeń cząstkowych).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2019 r., Zadanie 3 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność 14: Nierówność wielomodułowa metodą przedziałów

Rozwiąż nierówność:
∣2x−4∣−∣x+1∣≤3|2x - 4| - |x + 1| \le 3
Zapisz pełne uzasadnienie i podaj zbiór rozwiązań.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Punkty krytyczne: 2x−4=0  ⟹  x=22x - 4 = 0 \implies x = 2; x+1=0  ⟹  x=−1x + 1 = 0 \implies x = -1

Strategia

  1. Podziel oś na przedziały: (−∞,−1)(-\infty, -1), ⟨−1,2)\langle -1, 2), ⟨2,+∞)\langle 2, +\infty).
    2. Rozwiąż nierówność w każdym przedziale i wyznacz część wspólną z przedziałem.
    3. Zsumuj otrzymane zbiory cząstkowe.

Pełne obliczenia

  1. Punkty zerowe: x=−1x = -1 oraz x=2x = 2.
    2. Przedział I: x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1)
       −(2x−4)−[−(x+1)]≤3  ⟺  −2x+4+x+1≤3  ⟺  −x≤−2  ⟺  x≥2-(2x - 4) - [-(x + 1)] \le 3 \iff -2x + 4 + x + 1 \le 3 \iff -x \le -2 \iff x \ge 2
       Część wspólna: (−∞,−1)∩⟨2,+∞)=∅(-\infty, -1) \cap \langle 2, +\infty) = \emptyset.
    3. Przedział II: x∈⟨−1,2)x \in \langle -1, 2)
       −(2x−4)−(x+1)≤3  ⟺  −2x+4−x−1≤3  ⟺  −3x≤0  ⟺  x≥0-(2x - 4) - (x + 1) \le 3 \iff -2x + 4 - x - 1 \le 3 \iff -3x \le 0 \iff x \ge 0
       Część wspólna: ⟨−1,2)∩⟨0,+∞)=⟨0,2)\langle -1, 2) \cap \langle 0, +\infty) = \langle 0, 2).
    4. Przedział III: x∈⟨2,+∞)x \in \langle 2, +\infty)
       (2x−4)−(x+1)≤3  ⟺  x−5≤3  ⟺  x≤8(2x - 4) - (x + 1) \le 3 \iff x - 5 \le 3 \iff x \le 8
       Część wspólna: ⟨2,+∞)∩(−∞,8⟩=⟨2,8⟩\langle 2, +\infty) \cap (-\infty, 8\rangle = \langle 2, 8\rangle.
    5. Suma rozwiązań: ⟨0,2)∪⟨2,8⟩=⟨0,8⟩\langle 0, 2) \cup \langle 2, 8\rangle = \langle 0, 8\rangle.
    Odpowiedź: x∈⟨0,8⟩x \in \langle 0, 8\rangle

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne opuszczenie drugiego modułu z minusem przed nawiasem: −∣x+1∣=−[−(x+1)]=x+1-|x+1| = -[-(x+1)] = x+1 w przedziale I.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Ekspert (9/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2023 r., Zadanie 9 (4 pkt)

4 pkt

Umiejętność 15: Nierówność z podwójnym modułem pod pierwiastkami (Zadanie otwarte 4 pkt)

Rozwiąż nierówność:
x2+4x+4<253−x2−6x+9\sqrt{x^2 + 4x + 4} < \frac{25}{3} - \sqrt{x^2 - 6x + 9}
Zapisz pełne obliczenia i podaj zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• x2+4x+4=(x+2)2  ⟹  (x+2)2=∣x+2∣x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \implies \sqrt{(x+2)^2} = |x + 2|
• x2−6x+9=(x−3)2  ⟹  (x−3)2=∣x−3∣x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \implies \sqrt{(x-3)^2} = |x - 3|
• Postać kanoniczna: ∣x+2∣+∣x−3∣<253|x + 2| + |x - 3| < \frac{25}{3}

Strategia

  1. Zwiń pod pierwiastkami do kwadratów sumy i różnicy.
    2. Zamień pierwiastki na moduły: ∣x+2∣+∣x−3∣<253|x+2| + |x-3| < \frac{25}{3}.
    3. Rozpatrz 3 przedziały dla punktów x=−2x = -2 i x=3x = 3.
    4. Zsumuj przedziały częściowe.

Pełne obliczenia

  1. Przekształcamy lewą i prawą stronę:
       (x+2)2+(x−3)2<253  ⟺  ∣x+2∣+∣x−3∣<253\sqrt{(x+2)^2} + \sqrt{(x-3)^2} < \frac{25}{3} \iff |x + 2| + |x - 3| < \frac{25}{3}
    2. Przedział I: x∈(−∞,−2)x \in (-\infty, -2)
       −(x+2)−(x−3)<253  ⟺  −2x+1<253  ⟺  −2x<223  ⟺  x>−113-(x+2) - (x-3) < \frac{25}{3} \iff -2x + 1 < \frac{25}{3} \iff -2x < \frac{22}{3} \iff x > -\frac{11}{3}
       Część wspólna: x∈(−113,−2)x \in \left(-\frac{11}{3}, -2\right).
    3. Przedział II: x∈⟨−2,3)x \in \langle -2, 3)
       (x+2)−(x−3)<253  ⟺  5<813(toz˙samosˊcˊ)(x+2) - (x-3) < \frac{25}{3} \iff 5 < 8\frac{1}{3} \quad (\text{tożsamość})
       Część wspólna: x∈⟨−2,3)x \in \langle -2, 3).
    4. Przedział III: x∈⟨3,+∞)x \in \langle 3, +\infty)
       (x+2)+(x−3)<253  ⟺  2x−1<253  ⟺  2x<283  ⟺  x<143(x+2) + (x-3) < \frac{25}{3} \iff 2x - 1 < \frac{25}{3} \iff 2x < \frac{28}{3} \iff x < \frac{14}{3}
       Część wspólna: x∈⟨3,143)x \in \left\langle 3, \frac{14}{3}\right).
    5. Suma przedziałów:
       (−113,−2)∪⟨−2,3)∪⟨3,143)=(−113,143)\left(-\frac{11}{3}, -2\right) \cup \langle -2, 3) \cup \left\langle 3, \frac{14}{3}\right) = \left(-\frac{11}{3}, \frac{14}{3}\right)
    Odpowiedź: x∈(−113,143)x \in \left(-\frac{11}{3}, \frac{14}{3}\right)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Opuszczenie pierwiastków bez wartości bezwzględnej (np. (x+2)<25/3−(x−3)(x+2) < 25/3 - (x-3)) — natychmiastowe 0 pkt za całe zadanie!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 4 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 4 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność 16: Liczba rozwiązań równania z modułem i parametrem

Wyznacz liczbę rozwiązań równania ∣x2−4x∣=m|x^2 - 4x| = m w zależności od wartości parametru m∈Rm \in \mathbb{R}.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Wykres y=∣f(x)∣y = |f(x)| powstaje przez odbicie symetryczne części poniżej osi OXOX
• Wierzchołek paraboli f(x)=x2−4xf(x) = x^2 - 4x: xw=2x_w = 2, yw=4−8=−4  ⟹  ∣yw∣=4y_w = 4 - 8 = -4 \implies |y_w| = 4

Strategia

  1. Sporządź szkic wykresu funkcji g(x)=∣x2−4x∣g(x) = |x^2 - 4x|.
    2. Odczytaj liczbę punktów przecięcia z poziomą prostą y=my = m dla różnych wartości mm.

Pełne obliczenia

  1. Rozpatrujemy funkcję kwadratową f(x)=x2−4x=x(x−4)f(x) = x^2 - 4x = x(x - 4):
       Miejsca zerowe to x=0x = 0 oraz x=4x = 4. Wierzchołek to W=(2,−4)W = (2, -4).
    2. Wykres g(x)=∣x2−4x∣g(x) = |x^2 - 4x|:
       Dla x∈⟨0,4⟩x \in \langle 0, 4 \rangle odbijamy parabolę w górę — wierzchołek osiąga wartość y=4y = 4.
       Dla każdego x∈Rx \in \mathbb{R} zachodzi g(x)≥0g(x) \ge 0.
    3. Analiza liczby przecięć z prostą y=my = m:
       • dla m<0m < 0: 00 rozwiązań (brak przecięć)
       • dla m=0m = 0: 22 rozwiązania (x=0,x=4x = 0, x = 4)
       • dla m∈(0,4)m \in (0, 4): 44 rozwiązania
       • dla m=4m = 4: 33 rozwiązania (x=2x = 2 oraz dwa zewnętrzne)
       • dla m>4m > 4: 22 rozwiązania
    Odpowiedź: 0 dla m<0m < 0; 2 dla m=0∨m>4m = 0 \lor m > 4; 3 dla m=4m = 4; 4 dla m∈(0,4)m \in (0, 4).

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zapomnienie o punkcie m=4m = 4, w którym prosta styka się z odbitym wierzchołkiem, dając DOKŁADNIE 3 rozwiązania!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 03: Wartość Bezwzględna, Przedziały & Równania Modułowe

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 66 pkt

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 20 zadań🏆 39 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 39 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Definicja i tożsamości

∣x∣=x dla x≥0, −x dla x<0|x| = x \text{ dla } x \ge 0,\ -x \text{ dla } x < 0 · w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w| · ∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b| · ∣ab∣=∣a∣∣b∣\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}

Równania i nierówności

∣w∣=r  ⟺  w=±r|w| = r \iff w = \pm r · ∣w∣≤r  ⟺  −r≤w≤r|w| \le r \iff -r \le w \le r · ∣w∣≥r  ⟺  w≤−r∨w≥r|w| \ge r \iff w \le -r \lor w \ge r

Oś liczbowa i złoty patent

Środek: a+b2\frac{a+b}{2} · Promień: b−a2\frac{b-a}{2} · Patent: ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=±B|A| = |B| \iff A = \pm B

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Środek i promień na osi liczbowej

∣x−a∣|x - a| to odległość xx od aa. Środek przedziału: S=x1+x22S = \frac{x_1+x_2}{2}, promień: r=x2−x12r = \frac{x_2-x_1}{2}. Odcinek wewnętrzny: ∣x−S∣≤r|x - S| \le r, ramiona zewnętrzne: ∣x−S∣≥r|x - S| \ge r.

2. Złoty patent kwadratowania $|A| = |B|$

Zamiast żmudnego dzielenia osi na 3 przedziały, zastosuj tożsamość ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=B∨A=−B|A| = |B| \iff A = B \lor A = -B (lub A2=B2A^2 = B^2). Równanie z dwoma modułami rozwiązujesz w 20 sekund!

3. Zwijanie trójmianu pod pierwiastkiem

Gdy widzisz ax2+bx+c\sqrt{ax^2+bx+c}, natychmiast szukaj kwadratu sumy/różnicy: (x−a)2=∣x−a∣\sqrt{(x-a)^2} = |x-a|. Pamiętaj: pierwiastek kwadratowy nigdy nie daje liczby ujemnej!

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

w2=∣w∣\sqrt{w^2} = \lvert w \rvert, a NIE samo ww! Jeśli x<3x < 3, to (x−3)2=−(x−3)=3−x\sqrt{(x-3)^2} = -(x-3) = 3 - x (błąd kardynalny CKE skutkujący 0 pkt).

02

Równania ∣f(x)∣=g(x)\lvert f(x) \rvert = g(x) wymagają żelaznego warunku wstępnego g(x)≥0g(x) \ge 0. Wartość bezwzględna NIGDY nie może równać się liczbie ujemnej — brak odrzucenia pierwiastka obcego to strata punktu!

03

W nierównościach modułowych spójnik »LUB« (∨\lor) stosujemy dla ≥\ge i >> (ramiona zewnętrzne), a spójnik »ORAZ« (∧\land) dla ≤\le i << (wnętrze przedziału).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie1234567891011121314151617181920
Maks. pkt11111111113434232233
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 21 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2024 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N1: Graficzna interpretacja nierówności |x - a| >= r na osi liczbowej

Dana jest nierówność:
∣x−1∣≥3|x - 1| \ge 3
Na osi liczbowej zbiorem wszystkich rozwiązań tej nierówności jest:
A. przedział ⟨−2,4⟩\langle -2, 4 \rangle
B. suma przedziałów (−∞,−2⟩∪⟨4,+∞)(-\infty, -2\rangle \cup \langle 4, +\infty)
C. suma przedziałów (−∞,−4⟩∪⟨2,+∞)(-\infty, -4\rangle \cup \langle 2, +\infty)
D. przedział (−2,4)(-2, 4)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2017 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N2: Równanie modułowe z sumą |x + a| = b i suma pierwiastków

Liczby aa i bb są różnymi rozwiązaniami równania ∣x+4∣=2|x + 4| = 2.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma a+ba + b jest równa:
A. −8-8      B. 88      C. −4-4      D. 00

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2018 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N3: Szacowanie liczb niewymiernych pod modułem

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ∣23−4∣−∣3−2∣|2\sqrt{3} - 4| - |\sqrt{3} - 2| jest równa:
A. 3−2\sqrt{3} - 2      B. 33−63\sqrt{3} - 6      C. 2−32 - \sqrt{3}      D. −3+2-\sqrt{3} + 2

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N4: Zliczanie liczb całkowitych w przedziale z nierówności modułowej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ile jest wszystkich liczb całkowitych spełniających nierówność ∣x−5∣≤3|x - 5| \le 3?
A. 55      B. 66      C. 77      D. 88

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2016 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N5: Tożsamość pierwiastka z kwadratu sqrt((x - a)^2) dla x < a

Dla każdej liczby rzeczywistej x<3x < 3 wyrażenie x2−6x+9\sqrt{x^2 - 6x + 9} jest równe:

A. x−3x - 3      B. 3−x3 - x      C. x+3x + 3      D. −x−3-x - 3

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2022 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N6: Rozwiązanie nierówności |x + 3| > 5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ∣x+3∣>5|x + 3| > 5 jest:
A. (−∞,−8)∪(2,+∞)(-\infty, -8) \cup (2, +\infty)
B. (−8,2)(-8, 2)
C. (−∞,−2)∪(8,+∞)(-\infty, -2) \cup (8, +\infty)
D. (−2,8)(-2, 8)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2021 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N7: Część wspólna przedziałów stykających się w punkcie brzegowym

Dane są przedziały A=(−∞,3⟩A = (-\infty, 3\rangle oraz B=⟨3,7)B = \langle 3, 7).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn (część wspólna) A∩BA \cap B tych przedziałów jest równy:
A. ∅\emptyset      B. {3}\{3\}      C. (−∞,7)(-\infty, 7)      D. ⟨3,3⟩\langle 3, 3 \rangle

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N8: Kolejność działań w module wielokrotnym

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ∣−3−∣2−5∣∣|-3 - |2 - 5|| jest równa:
A. 00      B. 66      C. −6-6      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2023 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N9: Zapisywanie sumy przedziałów zewnętrznych nierównością modułową

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów (−∞,−2)∪(6,+∞)(-\infty, -2) \cup (6, +\infty).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma ta jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
A. ∣x−2∣>4|x - 2| > 4      B. ∣x+2∣>4|x + 2| > 4      C. ∣x−4∣>2|x - 4| > 2      D. ∣x−2∣≥4|x - 2| \ge 4

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2015 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N10: Równanie modułowe z ujemnym współczynnikiem przy x

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania ∣3−2x∣=5|3 - 2x| = 5 jest równy:
A. −4-4      B. 44      C. −1-1      D. 11

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2022 r., Zadanie 7 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N11: Równanie liniowe z modułem i pułapką pierwiastka obcego

Rozwiąż równanie:
∣x−3∣=2x+11|x - 3| = 2x + 11
Zapisz pełne obliczenia i uzasadnij wybór rozwiązań.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2026 r., Zadanie 5 (4 pkt)

4 pkt

Umiejętność N12: Faktoryzacja nierówności z modułami i wykluczenie punktu zerowego

Rozwiąż nierówność:
∣2x−6∣−∣x2−9∣<0|2x - 6| - |x^2 - 9| < 0
Zapisz pełne obliczenia i podaj zbiór rozwiązań.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 4 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 6 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N13: Równanie modułowe z parametrem i warunkiem znaków pierwiastków

Wyznacz wszystkie wartości parametru aa, dla których równanie:
∣x−5∣=(a−1)2−4|x - 5| = (a - 1)^2 - 4
ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2025 r., Zadanie 5 (4 pkt)

4 pkt

Umiejętność N14: Nierówność liniowa z dwoma modułami metodą przedziałów

Rozwiąż nierówność:
∣2x+6∣−∣x−1∣≤4|2x + 6| - |x - 1| \le 4
Zapisz pełne obliczenia i podaj zbiór rozwiązań.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 4 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Średnio-trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2023 r., Zadanie 3 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N15: Równanie z dwoma modułami kwadratowymi |A| = |B|

Rozwiąż równanie:
∣x2−1∣=∣x2−4∣|x^2 - 1| = |x^2 - 4|
Podaj wszystkie rozwiązania rzeczywiste.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2017 r., Zadanie 2 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N16: Równanie z trzema modułami liniowymi

Rozwiąż równanie:
∣x−2∣+∣x∣+∣x+2∣=6|x - 2| + |x| + |x + 2| = 6
Zapisz pełne obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16
Zadanie 17
Rozszerzona
Średnio-trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N17: Zagnieżdżone równanie liniowe z wartością bezwzględną

Rozwiąż równanie:
∣∣2x−1∣−3∣=2||2x - 1| - 3| = 2
Podaj wszystkie rozwiązania rzeczywiste.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 17
Zadanie 18
Rozszerzona
Średnio-trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2019 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N18: Nierówność podwójna z modułem a <= |x - S| <= b

Rozwiąż nierówność:
1≤∣x−3∣≤41 \le |x - 3| \le 4
Podaj zbiór rozwiązań w postaci sumy przedziałów.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 18
Zadanie 19
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2016 r., Zadanie 4 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N19: Nierówność wymierna z wartością bezwzględną w liczniku

Rozwiąż nierówność:
∣x−1∣x+2≤1\frac{|x - 1|}{x + 2} \le 1
Zapisz pełne obliczenia i podaj zbiór rozwiązań.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 19
Zadanie 20
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2018 r., Zadanie 3 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N20: Równanie tożsamościowe z sumą modułów |x - a| + |x - b| = b - a

Rozwiąż równanie:
x2−2x+1+x2−8x+16=3\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 8x + 16} = 3
Zapisz pełne obliczenia i podaj wszystkie rozwiązania rzeczywiste.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie
Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 20

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 03: Wartość Bezwzględna, Przedziały & Równania Modułowe

16 zadań warsztatowych + 20 nadobowiązkowych CKE (2015–2026) • Czas: 120 minut • Suma punktów: 66 pkt

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 20 zadań🏆 39 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 39 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Definicja i tożsamości

∣x∣=x dla x≥0, −x dla x<0|x| = x \text{ dla } x \ge 0,\ -x \text{ dla } x < 0 · w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w| · ∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b| · ∣ab∣=∣a∣∣b∣\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}

Równania i nierówności

∣w∣=r  ⟺  w=±r|w| = r \iff w = \pm r · ∣w∣≤r  ⟺  −r≤w≤r|w| \le r \iff -r \le w \le r · ∣w∣≥r  ⟺  w≤−r∨w≥r|w| \ge r \iff w \le -r \lor w \ge r

Oś liczbowa i złoty patent

Środek: a+b2\frac{a+b}{2} · Promień: b−a2\frac{b-a}{2} · Patent: ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=±B|A| = |B| \iff A = \pm B

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Środek i promień na osi liczbowej

∣x−a∣|x - a| to odległość xx od aa. Środek przedziału: S=x1+x22S = \frac{x_1+x_2}{2}, promień: r=x2−x12r = \frac{x_2-x_1}{2}. Odcinek wewnętrzny: ∣x−S∣≤r|x - S| \le r, ramiona zewnętrzne: ∣x−S∣≥r|x - S| \ge r.

2. Złoty patent kwadratowania $|A| = |B|$

Zamiast żmudnego dzielenia osi na 3 przedziały, zastosuj tożsamość ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=B∨A=−B|A| = |B| \iff A = B \lor A = -B (lub A2=B2A^2 = B^2). Równanie z dwoma modułami rozwiązujesz w 20 sekund!

3. Zwijanie trójmianu pod pierwiastkiem

Gdy widzisz ax2+bx+c\sqrt{ax^2+bx+c}, natychmiast szukaj kwadratu sumy/różnicy: (x−a)2=∣x−a∣\sqrt{(x-a)^2} = |x-a|. Pamiętaj: pierwiastek kwadratowy nigdy nie daje liczby ujemnej!

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

w2=∣w∣\sqrt{w^2} = \lvert w \rvert, a NIE samo ww! Jeśli x<3x < 3, to (x−3)2=−(x−3)=3−x\sqrt{(x-3)^2} = -(x-3) = 3 - x (błąd kardynalny CKE skutkujący 0 pkt).

02

Równania ∣f(x)∣=g(x)\lvert f(x) \rvert = g(x) wymagają żelaznego warunku wstępnego g(x)≥0g(x) \ge 0. Wartość bezwzględna NIGDY nie może równać się liczbie ujemnej — brak odrzucenia pierwiastka obcego to strata punktu!

03

W nierównościach modułowych spójnik »LUB« (∨\lor) stosujemy dla ≥\ge i >> (ramiona zewnętrzne), a spójnik »ORAZ« (∧\land) dla ≤\le i << (wnętrze przedziału).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie1234567891011121314151617181920
Maks. pkt11111111113434232233
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 21 (Karta tytułowa & Wzory)
Zadanie 1
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2024 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N1: Graficzna interpretacja nierówności |x - a| >= r na osi liczbowej

Dana jest nierówność:
∣x−1∣≥3|x - 1| \ge 3
Na osi liczbowej zbiorem wszystkich rozwiązań tej nierówności jest:
A. przedział ⟨−2,4⟩\langle -2, 4 \rangle
B. suma przedziałów (−∞,−2⟩∪⟨4,+∞)(-\infty, -2\rangle \cup \langle 4, +\infty)
C. suma przedziałów (−∞,−4⟩∪⟨2,+∞)(-\infty, -4\rangle \cup \langle 2, +\infty)
D. przedział (−2,4)(-2, 4)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Nierówność rozbieżna: ∣w∣≥r  ⟺  w≤−r∨w≥r|w| \ge r \iff w \le -r \lor w \ge r
• Interpretacja na osi: Punkty oddalone od środka S=1S = 1 o odległość co najmniej r=3r = 3

Strategia

  1. Rozpisz nierówność ze znakiem ≥\ge: x−1≤−3∨x−1≥3x - 1 \le -3 \lor x - 1 \ge 3.
    2. Wyznacz krańce: x≤−2∨x≥4x \le -2 \lor x \ge 4.
    3. Zwróć uwagę na zamalowane kropki (nierówność nieostra ≥\ge oznacza przedziały domknięte).

Pełne obliczenia

  1. Korzystamy z własności wartości bezwzględnej dla nierówności ze znakiem ≥\ge:
       ∣x−1∣≥3  ⟺  x−1≤−3∨x−1≥3|x - 1| \ge 3 \iff x - 1 \le -3 \quad \lor \quad x - 1 \ge 3
    2. Rozwiązujemy obie proste nierówności:
       x≤−2∨x≥4x \le -2 \quad \lor \quad x \ge 4
    3. Zbiór rozwiązań to suma przedziałów domkniętych:
       x∈(−∞,−2⟩∪⟨4,+∞)x \in (-\infty, -2\rangle \cup \langle 4, +\infty)
    Poprawna odpowiedź: B

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Mylenie znaku ≥\ge ze znakiem ≤\le (wybór opcji A). Pamiętaj: znak ≤\le daje pojedynczy przedział spójny (wnętrze), a znak ≥\ge daje DWA przedziały zewnętrzne uciekające do nieskończoności!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 1
Zadanie 2
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2017 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N2: Równanie modułowe z sumą |x + a| = b i suma pierwiastków

Liczby aa i bb są różnymi rozwiązaniami równania ∣x+4∣=2|x + 4| = 2.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma a+ba + b jest równa:
A. −8-8      B. 88      C. −4-4      D. 00

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• ∣w∣=c  ⟺  w=c∨w=−c|w| = c \iff w = c \lor w = -c
• Środek symetrii rozwiązań leży w punkcie −4-4, a ich suma to 2⋅(−4)=−82 \cdot (-4) = -8

Strategia

  1. Rozbij równanie na dwa przypadki: x+4=2x + 4 = 2 oraz x+4=−2x + 4 = -2.
    2. Oblicz: x1=−2x_1 = -2, x2=−6x_2 = -6.
    3. Dodaj rozwiązania: (−2)+(−6)=−8(-2) + (-6) = -8.

Pełne obliczenia

  1. Rozwiązujemy równanie:
       ∣x+4∣=2  ⟺  x+4=2∨x+4=−2|x + 4| = 2 \iff x + 4 = 2 \quad \lor \quad x + 4 = -2
    2. Wyznaczamy pierwiastki:
       x1=2−4=−2,x2=−2−4=−6x_1 = 2 - 4 = -2, \quad x_2 = -2 - 4 = -6
    3. Obliczamy sumę rozwiązań:
       a+b=−2+(−6)=−8a + b = -2 + (-6) = -8
    Poprawna odpowiedź: A (−8-8)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne odjęcie w drugim przypadku: x=−2+4=2x = -2 + 4 = 2 (zgubienie znaku minus przed czwórką) dające fałszywą sumę 0.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 2
Zadanie 3
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2018 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N3: Szacowanie liczb niewymiernych pod modułem

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ∣23−4∣−∣3−2∣|2\sqrt{3} - 4| - |\sqrt{3} - 2| jest równa:
A. 3−2\sqrt{3} - 2      B. 33−63\sqrt{3} - 6      C. 2−32 - \sqrt{3}      D. −3+2-\sqrt{3} + 2

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• 3≈1,732  ⟹  23=12≈3,464\sqrt{3} \approx 1{,}732 \implies 2\sqrt{3} = \sqrt{12} \approx 3{,}464
• ∣w∣=−(w)|w| = -(w) gdy w<0w < 0

Strategia

  1. Sprawdź znaki pod modułami: 23<42\sqrt{3} < 4, bo 12<16  ⟹  23−4<012 < 16 \implies 2\sqrt{3} - 4 < 0.
    2. Podobnie 3<2\sqrt{3} < 2, bo 3<4  ⟹  3−2<03 < 4 \implies \sqrt{3} - 2 < 0.
    3. Zdejmij oba moduły ze zmianą znaku i uważaj na minus przed drugim modułem!

Pełne obliczenia

  1. Badamy znaki wyrażeń:
       • 23−4=12−16<0  ⟹  ∣23−4∣=−(23−4)=4−232\sqrt{3} - 4 = \sqrt{12} - \sqrt{16} < 0 \implies |2\sqrt{3} - 4| = -(2\sqrt{3} - 4) = 4 - 2\sqrt{3}
       • 3−2=3−4<0  ⟹  ∣3−2∣=−(3−2)=2−3\sqrt{3} - 2 = \sqrt{3} - \sqrt{4} < 0 \implies |\sqrt{3} - 2| = -(\sqrt{3} - 2) = 2 - \sqrt{3}
    2. Wykonujemy odejmowanie:
       ∣23−4∣−∣3−2∣=(4−23)−(2−3)=4−23−2+3=2−3|2\sqrt{3} - 4| - |\sqrt{3} - 2| = (4 - 2\sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}
    Poprawna odpowiedź: C (2−32 - \sqrt{3})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Opuszczenie modułów bez zmiany znaku: (23−4)−(3−2)=3−2(2\sqrt{3}-4) - (\sqrt{3}-2) = \sqrt{3}-2 (opcja A) — to modelowa pułapka na maturzystów niebadających znaku!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 3
Zadanie 4
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N4: Zliczanie liczb całkowitych w przedziale z nierówności modułowej

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ile jest wszystkich liczb całkowitych spełniających nierówność ∣x−5∣≤3|x - 5| \le 3?
A. 55      B. 66      C. 77      D. 88

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• ∣x−a∣≤r  ⟺  a−r≤x≤a+r|x - a| \le r \iff a - r \le x \le a + r
• Liczba liczb całkowitych w ⟨k,m⟩\langle k, m \rangle: m−k+1m - k + 1

Strategia

  1. Rozwiąż nierówność: −3≤x−5≤3  ⟺  2≤x≤8-3 \le x - 5 \le 3 \iff 2 \le x \le 8.
    2. Wypisz liczby całkowite: 2,3,4,5,6,7,82, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
    3. Policz elementy: 8−2+1=78 - 2 + 1 = 7.

Pełne obliczenia

  1. Rozwiązujemy podwójną nierówność:
       ∣x−5∣≤3  ⟺  −3≤x−5≤3|x - 5| \le 3 \iff -3 \le x - 5 \le 3
    2. Dodajemy 5 do wszystkich stron:
       2≤x≤8  ⟹  x∈⟨2,8⟩2 \le x \le 8 \implies x \in \langle 2, 8 \rangle
    3. Liczby całkowite w przedziale ⟨2,8⟩\langle 2, 8 \rangle to: 2,3,4,5,6,7,82, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
    4. Jest ich dokładnie: 8−2+1=78 - 2 + 1 = 7.
    Poprawna odpowiedź: C (77)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błąd rachunkowy 8−2=68 - 2 = 6 (opcja B) polegający na nieuwzględnieniu obu domkniętych końców przedziału!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 4
Zadanie 5
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2016 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N5: Tożsamość pierwiastka z kwadratu sqrt((x - a)^2) dla x < a

Dla każdej liczby rzeczywistej x<3x < 3 wyrażenie x2−6x+9\sqrt{x^2 - 6x + 9} jest równe:

A. x−3x - 3      B. 3−x3 - x      C. x+3x + 3      D. −x−3-x - 3

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
• w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w|
• ∣x−3∣=−(x−3)=3−x|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x dla x<3x < 3

Strategia

  1. Zwiń wyrażenie pod pierwiastkiem do kwadratu różnicy (x−3)2(x - 3)^2.
    2. Zastosuj tożsamość (x−3)2=∣x−3∣\sqrt{(x-3)^2} = |x - 3|.
    3. Z uwagi na założenie x<3x < 3, wnętrze jest ujemne: ∣x−3∣=3−x|x - 3| = 3 - x.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy wzór skróconego mnożenia:
       x2−6x+9=(x−3)2\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x - 3)^2}
    2. Pamiętamy o fundamentalnej tożsamości a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|:
       (x−3)2=∣x−3∣\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|
    3. Ponieważ x<3x < 3, to x−3<0x - 3 < 0, zatem opuszczamy moduł ze zmianą znaków:
       ∣x−3∣=−(x−3)=3−x|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x
    Poprawna odpowiedź: B (3−x3 - x)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Zapisanie (x−3)2=x−3\sqrt{(x-3)^2} = x - 3 (opcja A) bez wartości bezwzględnej. Pamiętaj: pierwiastek arytmetyczny z liczby rzeczywistej jest ZAWSZE nieujemny!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 5
Zadanie 6
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Sierpień 2022 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N6: Rozwiązanie nierówności |x + 3| > 5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności ∣x+3∣>5|x + 3| > 5 jest:
A. (−∞,−8)∪(2,+∞)(-\infty, -8) \cup (2, +\infty)
B. (−8,2)(-8, 2)
C. (−∞,−2)∪(8,+∞)(-\infty, -2) \cup (8, +\infty)
D. (−2,8)(-2, 8)

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• ∣w∣>r  ⟺  w<−r∨w>r|w| > r \iff w < -r \lor w > r

Strategia

  1. Rozbij na dwa warunki: x+3<−5∨x+3>5x + 3 < -5 \lor x + 3 > 5.
    2. Oblicz: x<−8∨x>2x < -8 \lor x > 2.
    3. Zapisz jako sumę przedziałów otwartych.

Pełne obliczenia

  1. Z definicji nierówności ostrej ze znakiem >>:
       ∣x+3∣>5  ⟺  x+3<−5∨x+3>5|x + 3| > 5 \iff x + 3 < -5 \quad \lor \quad x + 3 > 5
    2. Odejmujemy 3 od obu nierówności:
       x<−8∨x>2x < -8 \quad \lor \quad x > 2
    3. Zbiór rozwiązań to suma: x∈(−∞,−8)∪(2,+∞)x \in (-\infty, -8) \cup (2, +\infty).
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne uznanie, że ∣x+3∣>5|x + 3| > 5 daje przedział spójny (−8,2)(-8, 2) (opcja B).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 6
Zadanie 7
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2021 r., Zadanie 3 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N7: Część wspólna przedziałów stykających się w punkcie brzegowym

Dane są przedziały A=(−∞,3⟩A = (-\infty, 3\rangle oraz B=⟨3,7)B = \langle 3, 7).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn (część wspólna) A∩BA \cap B tych przedziałów jest równy:
A. ∅\emptyset      B. {3}\{3\}      C. (−∞,7)(-\infty, 7)      D. ⟨3,3⟩\langle 3, 3 \rangle

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• A∩B={x∈R:x∈A∧x∈B}A \cap B = \{x \in \mathbb{R} : x \in A \land x \in B\}
• Jeśli liczba należy do obu przedziałów domkniętych, tworzy zbiór jednoelementowy {3}\{3\}

Strategia

  1. Sprawdź, czy liczba 3 należy do AA (tak, bo nawias ostry ⟩\rangle).
    2. Sprawdź, czy 3 należy do BB (tak, bo nawias ostry ⟨\langle).
    3. Czy są inne punkty wspólne? Nie, bo w AA liczby są ≤3\le 3, a w BB są ≥3\ge 3.
    4. Jedynym punktem wspólnym jest {3}\{3\}.

Pełne obliczenia

  1. Badamy elementy wspólne:
       • x∈A  ⟺  x≤3x \in A \iff x \le 3
       • x∈B  ⟺  3≤x<7x \in B \iff 3 \le x < 7
    2. Koniunkcja warunków:
       x≤3∧3≤x<7  ⟺  x=3x \le 3 \land 3 \le x < 7 \iff x = 3
    3. Część wspólna składa się z dokładnie jednej liczby: {3}\{3\}.
    Poprawna odpowiedź: B ({3}\{3\})

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Uznanie, że przedziały są rozłączne (opcja A: ∅\emptyset) przez nieuwzględnienie domkniętych nawiasów przy trójce!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 7
Zadanie 8
Podstawa
Łatwe (2/10)

Matura Podstawowa CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N8: Kolejność działań w module wielokrotnym

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ∣−3−∣2−5∣∣|-3 - |2 - 5|| jest równa:
A. 00      B. 66      C. −6-6      D. 44

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• ∣2−5∣=∣−3∣=3|2 - 5| = |-3| = 3
• Wstawienie do modułu zewnętrznego: ∣−3−3∣=∣−6∣=6|-3 - 3| = |-6| = 6

Strategia

  1. Oblicz wnętrze modułu wewnętrznego: 2−5=−3  ⟹  ∣−3∣=32 - 5 = -3 \implies |-3| = 3.
    2. Oblicz wnętrze modułu zewnętrznego: −3−3=−6-3 - 3 = -6.
    3. Nałóż zewnętrzny moduł: ∣−6∣=6|-6| = 6.

Pełne obliczenia

  1. Obliczamy moduł wewnętrzny:
       ∣2−5∣=∣−3∣=3|2 - 5| = |-3| = 3
    2. Podstawiamy do wyrażenia:
       ∣−3−∣2−5∣∣=∣−3−3∣=∣−6∣=6|-3 - |2 - 5|| = |-3 - 3| = |-6| = 6
    Poprawna odpowiedź: B (66)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne odjęcie −3−(−3)=0-3 - (-3) = 0 (opcja A) spowodowane nieuwzględnieniem, że z modułu wewnętrznego wychodzi liczba dodatnia +3+3!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 8
Zadanie 9
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2023 r., Zadanie 1 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N9: Zapisywanie sumy przedziałów zewnętrznych nierównością modułową

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów (−∞,−2)∪(6,+∞)(-\infty, -2) \cup (6, +\infty).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Suma ta jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
A. ∣x−2∣>4|x - 2| > 4      B. ∣x+2∣>4|x + 2| > 4      C. ∣x−4∣>2|x - 4| > 2      D. ∣x−2∣≥4|x - 2| \ge 4

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Środek symetrii: S=−2+62=2S = \frac{-2 + 6}{2} = 2
• Promień: r=6−(−2)2=4r = \frac{6 - (-2)}{2} = 4
• Przedziały zewnętrzne bez końców: ∣x−S∣>r|x - S| > r

Strategia

  1. Wyznacz środek odcinka między −2-2 a 66: S=2S = 2.
    2. Wyznacz odległość od środka do krawędzi: r=6−2=4r = 6 - 2 = 4.
    3. Zapisz: ∣x−2∣>4|x - 2| > 4.

Pełne obliczenia

  1. Szukamy środka symetrii SS wykluczonego odcinka (−2,6)(-2, 6):
       S=−2+62=42=2S = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2
    2. Obliczamy promień odległości rr od środka do końców:
       r=6−2=4r = 6 - 2 = 4
    3. Ponieważ przedziały uciekają na zewnątrz, a kropki na osi są niezamalowane, nierówność ma postać:
       ∣x−2∣>4|x - 2| > 4
    Poprawna odpowiedź: A

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Pomylenie środka z promieniem (opcja C: ∣x−4∣>2|x - 4| > 2) lub zły znak środka (opcja B: ∣x+2∣>4|x + 2| > 4).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 9
Zadanie 10
Podstawa
Średnie (3/10)

Matura Podstawowa CKE – Maj 2015 r., Zadanie 2 (1 pkt)

1 pkt

Umiejętność N10: Równanie modułowe z ujemnym współczynnikiem przy x

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania ∣3−2x∣=5|3 - 2x| = 5 jest równy:
A. −4-4      B. 44      C. −1-1      D. 11

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• ∣w∣=c  ⟺  w=c∨w=−c|w| = c \iff w = c \lor w = -c
• Własność parzystości modułu: ∣3−2x∣=∣2x−3∣|3 - 2x| = |2x - 3|

Strategia

  1. Zapisz: 3−2x=53 - 2x = 5 lub 3−2x=−53 - 2x = -5.
    2. Oblicz: −2x=2  ⟹  x1=−1-2x = 2 \implies x_1 = -1; −2x=−8  ⟹  x2=4-2x = -8 \implies x_2 = 4.
    3. Pomnóż rozwiązania: (−1)⋅4=−4(-1) \cdot 4 = -4.

Pełne obliczenia

  1. Rozbijamy równanie na dwa przypadki:
       3−2x=5∨3−2x=−53 - 2x = 5 \quad \lor \quad 3 - 2x = -5
    2. Rozwiązujemy przypadek I:
       −2x=5−3=2  ⟹  x1=−1-2x = 5 - 3 = 2 \implies x_1 = -1
    3. Rozwiązujemy przypadek II:
       −2x=−5−3=−8  ⟹  x2=4-2x = -5 - 3 = -8 \implies x_2 = 4
    4. Obliczamy iloczyn rozwiązań:
       x1⋅x2=(−1)⋅4=−4x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 4 = -4
    Poprawna odpowiedź: A (−4-4)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zgubienie minusa przy dzieleniu przez −2-2, co prowadzi do błędnego iloczynu +4+4 (opcja B).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 1 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 10
Zadanie 11
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2022 r., Zadanie 7 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N11: Równanie liniowe z modułem i pułapką pierwiastka obcego

Rozwiąż równanie:
∣x−3∣=2x+11|x - 3| = 2x + 11
Zapisz pełne obliczenia i uzasadnij wybór rozwiązań.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Warunek konieczny: Prawa strona musi być nieujemna: 2x+11≥0  ⟹  x≥−1122x + 11 \ge 0 \implies x \ge -\frac{11}{2}
• Alternatywa: x−3=2x+11∨x−3=−(2x+11)x - 3 = 2x + 11 \lor x - 3 = -(2x + 11)

Strategia

  1. Zapisz założenie nieujemności prawej strony: x≥−5,5x \ge -5{,}5.
    2. Rozpatrz oba przypadki opuszczenia modułu.
    3. Skonfrontuj otrzymane liczby z założeniem i odrzuć pierwiastek obcy!

Pełne obliczenia

  1. Warunek konieczny istnienia rozwiązań:
       Ponieważ lewa strona ∣x−3∣≥0|x - 3| \ge 0, prawa strona również musi być nieujemna:
       2x+11≥0  ⟺  2x≥−11  ⟺  x≥−112=−5,52x + 11 \ge 0 \iff 2x \ge -11 \iff x \ge -\frac{11}{2} = -5{,}5
    2. Przypadek I: x−3=2x+11x - 3 = 2x + 11
       x−2x=11+3  ⟺  −x=14  ⟹  x=−14x - 2x = 11 + 3 \iff -x = 14 \implies x = -14
       Sprawdzamy z warunkiem: −14<−5,5-14 < -5{,}5, zatem x=−14x = -14 NIE SPEŁNIA równania (jest pierwiastkiem obcym!).
    3. Przypadek II: x−3=−(2x+11)x - 3 = -(2x + 11)
       x−3=−2x−11  ⟺  3x=−8  ⟹  x=−83=−223x - 3 = -2x - 11 \iff 3x = -8 \implies x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}
       Sprawdzamy z warunkiem: −223≥−5,5-2\frac{2}{3} \ge -5{,}5 — warunek jest spełniony.
    Odpowiedź: Jedynym rozwiązaniem równania jest x=−83x = -\frac{8}{3}.

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Podanie dwóch rozwiązań x=−14x = -14 oraz x=−83x = -\frac{8}{3}. Dla x=−14x = -14 lewa strona wynosi ∣−17∣=17|-17| = 17, a prawa 2(−14)+11=−172(-14)+11 = -17. Wartość bezwzględna NIGDY nie może równać się liczbie ujemnej!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 11
Zadanie 12
Rozszerzona
Ekspert (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2026 r., Zadanie 5 (4 pkt)

4 pkt

Umiejętność N12: Faktoryzacja nierówności z modułami i wykluczenie punktu zerowego

Rozwiąż nierówność:
∣2x−6∣−∣x2−9∣<0|2x - 6| - |x^2 - 9| < 0
Zapisz pełne obliczenia i podaj zbiór rozwiązań.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• ∣2x−6∣=2∣x−3∣|2x - 6| = 2|x - 3|
• ∣x2−9∣=∣(x−3)(x+3)∣=∣x−3∣⋅∣x+3∣|x^2 - 9| = |(x - 3)(x + 3)| = |x - 3| \cdot |x + 3|
• Wyłączenie wspólnego czynnika: ∣x−3∣⋅(2−∣x+3∣)<0|x - 3| \cdot (2 - |x + 3|) < 0

Strategia

  1. Rozłóż oba wyrażenia pod modułami na czynniki.
    2. Wyłącz ∣x−3∣|x - 3| przed nawias.
    3. Zauważ, że dla x=3x = 3 lewa strona to 0 (nie spełnia nierówności ostrej <0< 0).
    4. Dla x≠3x \ne 3 podziel przez ∣x−3∣>0|x - 3| > 0 i rozwiąż ∣x+3∣>2|x + 3| > 2.
    5. Wyklucz x=3x = 3 z ostatecznego zbioru rozwiązań!

Pełne obliczenia

  1. Rozkładamy wyrażenia na czynniki pod wartościami bezwzględnymi:
       ∣2x−6∣=∣2(x−3)∣=2∣x−3∣|2x - 6| = |2(x - 3)| = 2|x - 3|
       ∣x2−9∣=∣(x−3)(x+3)∣=∣x−3∣⋅∣x+3∣|x^2 - 9| = |(x - 3)(x + 3)| = |x - 3| \cdot |x + 3|
    2. Zapisujemy nierówność w postaci iloczynowej:
       2∣x−3∣−∣x−3∣⋅∣x+3∣<0  ⟺  ∣x−3∣⋅(2−∣x+3∣)<02|x - 3| - |x - 3| \cdot |x + 3| < 0 \iff |x - 3| \cdot (2 - |x + 3|) < 0
    3. Analizujemy znak czynników:
       • Czynnik ∣x−3∣≥0|x - 3| \ge 0 dla każdego x∈Rx \in \mathbb{R}.
       • Dla x=3x = 3 otrzymujemy 0<00 < 0 (sprzeczność), zatem x≠3x \neq 3.
       • Dla x≠3x \neq 3 mamy ∣x−3∣>0|x - 3| > 0. Dzielimy obie strony nierówności przez ∣x−3∣|x - 3|:
       2−∣x+3∣<0  ⟺  ∣x+3∣>22 - |x + 3| < 0 \iff |x + 3| > 2
    4. Rozwiązujemy elementarną nierówność modułową:
       x+3>2∨x+3<−2  ⟺  x>−1∨x<−5x + 3 > 2 \quad \lor \quad x + 3 < -2 \iff x > -1 \quad \lor \quad x < -5
       Stąd x∈(−∞,−5)∪(−1,+∞)x \in (-\infty, -5) \cup (-1, +\infty).
    5. Uwzględniamy warunek x≠3x \neq 3:
       x∈(−∞,−5)∪(−1,3)∪(3,+∞)x \in (-\infty, -5) \cup (-1, 3) \cup (3, +\infty)
    Odpowiedź: x∈(−∞,−5)∪(−1,3)∪(3,+∞)x \in (-\infty, -5) \cup (-1, 3) \cup (3, +\infty)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Zapomnienie o wykluczeniu punktu x=3x = 3 i podanie odpowiedzi (−∞,−5)∪(−1,+∞)(-\infty, -5) \cup (-1, +\infty) — egzaminator CKE natychmiast ucina za to 1 punkt z 4!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 4 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 12
Zadanie 13
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2020 r., Zadanie 6 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N13: Równanie modułowe z parametrem i warunkiem znaków pierwiastków

Wyznacz wszystkie wartości parametru aa, dla których równanie:
∣x−5∣=(a−1)2−4|x - 5| = (a - 1)^2 - 4
ma dwa różne rozwiązania dodatnie.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Interpretacja graficzna: wykres f(x)=∣x−5∣f(x) = |x - 5| dla x>0x > 0 ma wierzchołek w (5,0)(5, 0) oraz przecina oś OYOY w (0,5)(0, 5)
• Prosta pozioma y=my = m przecina prawe i lewe ramię wykresu w dwóch punktach o x>0x > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0<m<50 < m < 5

Strategia

  1. Wprowadź zmienną pomocniczą m=(a−1)2−4m = (a - 1)^2 - 4.
    2. Zbadaj wykres y=∣x−5∣y = |x - 5| dla x>0x > 0.
    3. Ustal warunek na parametr: 0<m<50 < m < 5.
    4. Rozwiąż podwójną nierówność 0<(a−1)2−4<50 < (a - 1)^2 - 4 < 5.

Pełne obliczenia

  1. Niech m=(a−1)2−4m = (a - 1)^2 - 4. Równanie ma postać ∣x−5∣=m|x - 5| = m.
    2. Rozwiązania równania to x1=5−mx_1 = 5 - m oraz x2=5+mx_2 = 5 + m.
    3. Aby istniały dwa RÓŻNE rozwiązania, musi być m>0m > 0.
    4. Aby oba rozwiązania były DODATNIE:
       x1>0  ⟺  5−m>0  ⟺  m<5x_1 > 0 \iff 5 - m > 0 \iff m < 5
       x2>0  ⟺  5+m>0  ⟺  m>−5(spełnione, bo m>0)x_2 > 0 \iff 5 + m > 0 \iff m > -5 \quad (\text{spełnione, bo } m > 0)
       Zatem stała mm musi spełniać warunek: 0<m<50 < m < 5.
    5. Wracamy do parametru aa:
       0<(a−1)2−4<5  ⟺  4<(a−1)2<90 < (a - 1)^2 - 4 < 5 \iff 4 < (a - 1)^2 < 9
    6. Pierwiastkujemy (pamiętając o module!):
       2<∣a−1∣<32 < |a - 1| < 3
       • Gdy a−1>0a - 1 > 0: 2<a−1<3  ⟺  3<a<4  ⟹  a∈(3,4)2 < a - 1 < 3 \iff 3 < a < 4 \implies a \in (3, 4)
       • Gdy a−1<0a - 1 < 0: 2<−(a−1)<3  ⟺  −3<a−1<−2  ⟺  −2<a<−1  ⟹  a∈(−2,−1)2 < -(a - 1) < 3 \iff -3 < a - 1 < -2 \iff -2 < a < -1 \implies a \in (-2, -1)
    Odpowiedź: a∈(−2,−1)∪(3,4)a \in (-2, -1) \cup (3, 4)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Pominięcie warunku m<5m < 5. Dla m=5m = 5 rozwiązaniem jest x1=0x_1 = 0 (nie jest dodatnie!), a dla m>5m > 5 jedno z rozwiązań staje się ujemne!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 13
Zadanie 14
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2025 r., Zadanie 5 (4 pkt)

4 pkt

Umiejętność N14: Nierówność liniowa z dwoma modułami metodą przedziałów

Rozwiąż nierówność:
∣2x+6∣−∣x−1∣≤4|2x + 6| - |x - 1| \le 4
Zapisz pełne obliczenia i podaj zbiór rozwiązań.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Punkty zerowe: 2x+6=0  ⟹  x=−32x + 6 = 0 \implies x = -3, x−1=0  ⟹  x=1x - 1 = 0 \implies x = 1
• Przedziały: (−∞,−3)(-\infty, -3), ⟨−3,1)\langle -3, 1), ⟨1,+∞)\langle 1, +\infty)

Strategia

  1. Podziel oś liczbową na 3 przedziały wyznaczone przez liczby −3-3 i 11.
    2. W każdym przedziale określ znaki wyrażeń pod modułami i rozwiąż nierówność liniową.
    3. Wyznacz część wspólną z przedziałem.
    4. Połącz (zsumuj) rozwiązania cząstkowe.

Pełne obliczenia

  1. Miejsca zerowe wnętrz modułów to x=−3x = -3 oraz x=1x = 1.
    2. Przedział I: x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -3)
       Oba moduły ujemne:
       −(2x+6)−[−(x−1)]≤4  ⟺  −2x−6+x−1≤4  ⟺  −x−7≤4  ⟺  −x≤11  ⟺  x≥−11-(2x + 6) - [-(x - 1)] \le 4 \iff -2x - 6 + x - 1 \le 4 \iff -x - 7 \le 4 \iff -x \le 11 \iff x \ge -11
       Część wspólna: x∈⟨−11,−3)x \in \langle -11, -3).
    3. Przedział II: x∈⟨−3,1)x \in \langle -3, 1)
       Pierwszy moduł nieujemny, drugi ujemny:
       (2x+6)−[−(x−1)]≤4  ⟺  2x+6+x−1≤4  ⟺  3x+5≤4  ⟺  3x≤−1  ⟺  x≤−13(2x + 6) - [-(x - 1)] \le 4 \iff 2x + 6 + x - 1 \le 4 \iff 3x + 5 \le 4 \iff 3x \le -1 \iff x \le -\frac{1}{3}
       Część wspólna: x∈⟨−3,−13⟩x \in \left\langle -3, -\frac{1}{3}\right\rangle.
    4. Przedział III: x∈⟨1,+∞)x \in \langle 1, +\infty)
       Oba moduły nieujemne:
       (2x+6)−(x−1)≤4  ⟺  x+7≤4  ⟺  x≤−3(2x + 6) - (x - 1) \le 4 \iff x + 7 \le 4 \iff x \le -3
       Część wspólna: ⟨1,+∞)∩(−∞,−3⟩=∅\langle 1, +\infty) \cap (-\infty, -3\rangle = \emptyset.
    5. Suma rozwiązań:
       x∈⟨−11,−3)∪⟨−3,−13⟩=⟨−11,−13⟩x \in \langle -11, -3) \cup \left\langle -3, -\frac{1}{3}\right\rangle = \left\langle -11, -\frac{1}{3}\right\rangle
    Odpowiedź: x∈⟨−11,−13⟩x \in \left\langle -11, -\frac{1}{3}\right\rangle

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błąd znaku przy opuszczaniu drugiego modułu z minusem: −∣x−1∣=−[−(x−1)]=+(x−1)-|x-1| = -[-(x-1)] = +(x-1) w przedziałach I i II. Zgubienie podwójnego minusa to najczęstszy powód utraty punktów!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 4 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 14
Zadanie 15
Rozszerzona
Średnio-trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2023 r., Zadanie 3 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N15: Równanie z dwoma modułami kwadratowymi |A| = |B|

Rozwiąż równanie:
∣x2−1∣=∣x2−4∣|x^2 - 1| = |x^2 - 4|
Podaj wszystkie rozwiązania rzeczywiste.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=B∨A=−B|A| = |B| \iff A = B \lor A = -B
• Złoty patent kwadratowania bez podziału na przedziały!

Strategia

  1. Zastosuj równoważność: x2−1=x2−4x^2 - 1 = x^2 - 4 lub x2−1=−(x2−4)x^2 - 1 = -(x^2 - 4).
    2. Przypadek I: −1=−4-1 = -4 (sprzeczność).
    3. Przypadek II: x2−1=−x2+4  ⟺  2x2=5  ⟹  x2=2,5x^2 - 1 = -x^2 + 4 \iff 2x^2 = 5 \implies x^2 = 2{,}5.
    4. Wyznacz x=±52=±102x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} = \pm \frac{\sqrt{10}}{2}.

Pełne obliczenia

  1. Stosujemy własność: ∣A∣=∣B∣  ⟺  A=B∨A=−B|A| = |B| \iff A = B \lor A = -B:
       x2−1=x2−4∨x2−1=−(x2−4)x^2 - 1 = x^2 - 4 \quad \lor \quad x^2 - 1 = -(x^2 - 4)
    2. Rozpatrujemy pierwsze równanie:
       x2−1=x2−4  ⟺  −1=−4(sprzecznosˊcˊ, brak rozwiązanˊ)x^2 - 1 = x^2 - 4 \iff -1 = -4 \quad (\text{sprzeczność, brak rozwiązań})
    3. Rozpatrujemy drugie równanie:
       x2−1=−x2+4  ⟺  2x2=5  ⟺  x2=52x^2 - 1 = -x^2 + 4 \iff 2x^2 = 5 \iff x^2 = \frac{5}{2}
    4. Wyznaczamy pierwiastki:
       x=−52=−102∨x=52=102x = -\sqrt{\frac{5}{2}} = -\frac{\sqrt{10}}{2} \quad \lor \quad x = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}
    Odpowiedź: x∈{−102,102}x \in \left\{-\frac{\sqrt{10}}{2}, \frac{\sqrt{10}}{2}\right\}

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Rozbijanie na 5 uciążliwych przedziałów dla pierwiastków ±1,±2\pm 1, \pm 2 — strata 15 minut na egzaminie zamiast 30 sekund zastosowania patentu ∣A∣=∣B∣|A|=|B|!

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 15
Zadanie 16
Rozszerzona
Trudne (7/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2017 r., Zadanie 2 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N16: Równanie z trzema modułami liniowymi

Rozwiąż równanie:
∣x−2∣+∣x∣+∣x+2∣=6|x - 2| + |x| + |x + 2| = 6
Zapisz pełne obliczenia.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Punkty zerowe: x=−2,0,2x = -2, 0, 2
• Symetria funkcji parzystej: f(−x)=∣−x−2∣+∣−x∣+∣−x+2∣=∣x+2∣+∣x∣+∣x−2∣=f(x)f(-x) = |-x-2| + |-x| + |-x+2| = |x+2| + |x| + |x-2| = f(x)

Strategia

  1. Zauważ symetrię wykresu względem osi OYOY lub rozpatrz 4 przedziały.
    2. Dla x≥2x \ge 2: (x−2)+x+(x+2)=6  ⟺  3x=6  ⟹  x=2(x-2) + x + (x+2) = 6 \iff 3x = 6 \implies x = 2.
    3. Dla x∈⟨0,2)x \in \langle 0, 2): −(x−2)+x+(x+2)=6  ⟺  x+4=6  ⟹  x=2-(x-2) + x + (x+2) = 6 \iff x + 4 = 6 \implies x = 2 (nie należy do wnętrza).
    4. Z parzystości: rozwiązania to x=2x = 2 oraz x=−2x = -2.

Pełne obliczenia

  1. Punkty zerowe modułów to x=−2,0,2x = -2, 0, 2.
    2. Funkcja f(x)=∣x−2∣+∣x∣+∣x+2∣f(x) = |x - 2| + |x| + |x + 2| jest parzysta: f(−x)=f(x)f(-x) = f(x).
    3. Rozpatrzmy x≥0x \ge 0:
       • Dla x∈⟨0,2)x \in \langle 0, 2):
         −(x−2)+x+(x+2)=6  ⟺  −x+2+2x+2=6  ⟺  x+4=6  ⟹  x=2∉⟨0,2)-(x - 2) + x + (x + 2) = 6 \iff -x + 2 + 2x + 2 = 6 \iff x + 4 = 6 \implies x = 2 \notin \langle 0, 2)
       • Dla x∈⟨2,+∞)x \in \langle 2, +\infty):
         (x−2)+x+(x+2)=6  ⟺  3x=6  ⟹  x=2∈⟨2,+∞)(x - 2) + x + (x + 2) = 6 \iff 3x = 6 \implies x = 2 \in \langle 2, +\infty)
    4. Z parzystości funkcji, jeśli x=2x = 2 jest rozwiązaniem, to x=−2x = -2 również jest rozwiązaniem (f(−2)=∣−4∣+∣−2∣+0=4+2=6f(-2) = |-4| + |-2| + 0 = 4 + 2 = 6).
    Odpowiedź: x∈{−2,2}x \in \{-2, 2\}

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Błędne uznanie, że równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań na odcinku ⟨−2,2⟩\langle -2, 2 \rangle (to zachodziłoby tylko wtedy, gdyby suma dwóch skrajnych dawała stałą, ale środkowy moduł ∣x∣|x| rośnie!).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 16
Zadanie 17
Rozszerzona
Średnio-trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2021 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N17: Zagnieżdżone równanie liniowe z wartością bezwzględną

Rozwiąż równanie:
∣∣2x−1∣−3∣=2||2x - 1| - 3| = 2
Podaj wszystkie rozwiązania rzeczywiste.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• ∣W∣=2  ⟺  W=2∨W=−2|W| = 2 \iff W = 2 \lor W = -2

Strategia

  1. Zdejmij moduł zewnętrzny: ∣2x−1∣−3=2|2x - 1| - 3 = 2 lub ∣2x−1∣−3=−2|2x - 1| - 3 = -2.
    2. Przypadek I: ∣2x−1∣=5  ⟹  2x−1=5∨2x−1=−5|2x - 1| = 5 \implies 2x - 1 = 5 \lor 2x - 1 = -5.
    3. Przypadek II: ∣2x−1∣=1  ⟹  2x−1=1∨2x−1=−1|2x - 1| = 1 \implies 2x - 1 = 1 \lor 2x - 1 = -1.
    4. Oblicz 4 wartości xx.

Pełne obliczenia

  1. Usuwamy zewnętrzny moduł:
       ∣2x−1∣−3=2∨∣2x−1∣−3=−2|2x - 1| - 3 = 2 \quad \lor \quad |2x - 1| - 3 = -2
    2. Przypadek I:
       ∣2x−1∣=5  ⟺  2x−1=5∨2x−1=−5|2x - 1| = 5 \iff 2x - 1 = 5 \lor 2x - 1 = -5
       2x=6  ⟹  x1=3,2x=−4  ⟹  x2=−22x = 6 \implies x_1 = 3, \quad 2x = -4 \implies x_2 = -2
    3. Przypadek II:
       ∣2x−1∣=1  ⟺  2x−1=1∨2x−1=−1|2x - 1| = 1 \iff 2x - 1 = 1 \lor 2x - 1 = -1
       2x=2  ⟹  x3=1,2x=0  ⟹  x4=02x = 2 \implies x_3 = 1, \quad 2x = 0 \implies x_4 = 0
    Odpowiedź: x∈{−2,0,1,3}x \in \{-2, 0, 1, 3\}

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zgubienie przypadku ∣2x−1∣=1|2x - 1| = 1 i podanie tylko dwóch liczb {−2,3}\{-2, 3\}.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 17
Zadanie 18
Rozszerzona
Średnio-trudne (6/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2019 r., Zadanie 2 (2 pkt)

2 pkt

Umiejętność N18: Nierówność podwójna z modułem a <= |x - S| <= b

Rozwiąż nierówność:
1≤∣x−3∣≤41 \le |x - 3| \le 4
Podaj zbiór rozwiązań w postaci sumy przedziałów.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• 1≤∣x−3∣≤4  ⟺  (∣x−3∣≥1∧∣x−3∣≤4)1 \le |x - 3| \le 4 \iff (|x - 3| \ge 1 \land |x - 3| \le 4)
• Odległość od liczby 3 wynosi co najmniej 1 i co najwyżej 4

Strategia

  1. Warunek I: ∣x−3∣≤4  ⟺  −4≤x−3≤4  ⟺  −1≤x≤7|x - 3| \le 4 \iff -4 \le x - 3 \le 4 \iff -1 \le x \le 7.
    2. Warunek II: ∣x−3∣≥1  ⟺  x−3≤−1∨x−3≥1  ⟺  x≤2∨x≥4|x - 3| \ge 1 \iff x - 3 \le -1 \lor x - 3 \ge 1 \iff x \le 2 \lor x \ge 4.
    3. Wyznacz część wspólną obu warunków.

Pełne obliczenia

  1. Nierówność podwójna to układ dwóch nierówności:
       {∣x−3∣≤4∣x−3∣≥1\begin{cases} |x - 3| \le 4 \\ |x - 3| \ge 1 \end{cases}
    2. Rozwiązujemy pierwszą nierówność:
       −4≤x−3≤4  ⟺  −1≤x≤7  ⟺  x∈⟨−1,7⟩-4 \le x - 3 \le 4 \iff -1 \le x \le 7 \iff x \in \langle -1, 7 \rangle
    3. Rozwiązujemy drugą nierówność:
       x−3≤−1∨x−3≥1  ⟺  x≤2∨x≥4  ⟺  x∈(−∞,2⟩∪⟨4,+∞)x - 3 \le -1 \lor x - 3 \ge 1 \iff x \le 2 \lor x \ge 4 \iff x \in (-\infty, 2\rangle \cup \langle 4, +\infty)
    4. Wyznaczamy część wspólną:
       x∈⟨−1,7⟩∩((−∞,2⟩∪⟨4,+∞))=⟨−1,2⟩∪⟨4,7⟩x \in \langle -1, 7 \rangle \cap ((-\infty, 2\rangle \cup \langle 4, +\infty)) = \langle -1, 2 \rangle \cup \langle 4, 7 \rangle
    Odpowiedź: x∈⟨−1,2⟩∪⟨4,7⟩x \in \langle -1, 2 \rangle \cup \langle 4, 7 \rangle

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG: Zsumowanie zamiast wyznaczenia części wspólnej (połączenie przedziałów w (−∞,+∞)(-\infty, +\infty)).

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 2 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 18
Zadanie 19
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Maj 2016 r., Zadanie 4 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N19: Nierówność wymierna z wartością bezwzględną w liczniku

Rozwiąż nierówność:
∣x−1∣x+2≤1\frac{|x - 1|}{x + 2} \le 1
Zapisz pełne obliczenia i podaj zbiór rozwiązań.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• Dziedzina: x+2≠0  ⟹  x∈R∖{−2}x + 2 \neq 0 \implies x \in \mathbb{R} \setminus \{-2\}
• Przeniesienie na lewą stronę i wspólny mianownik: ∣x−1∣−(x+2)x+2≤0\frac{|x - 1| - (x + 2)}{x + 2} \le 0

Strategia

  1. Ustal dziedzinę: x≠−2x \neq -2.
    2. Przenieś 1 na lewą stronę (NIE MNOŻYĆ przez mianownik bez badania znaku!).
    3. Rozpatrz dwa przedziały dla modułu: x<1x < 1 oraz x≥1x \ge 1.
    4. W każdym przedziale rozwiąż nierówność wymierną siatką znaków / wężykiem.

Pełne obliczenia

  1. Dziedzina: x≠−2x \neq -2, czyli D=R∖{−2}D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}.
    2. Przenosimy 1 na lewą stronę:
       ∣x−1∣x+2−1≤0  ⟺  ∣x−1∣−(x+2)x+2≤0\frac{|x - 1|}{x + 2} - 1 \le 0 \iff \frac{|x - 1| - (x + 2)}{x + 2} \le 0
    3. Przypadek I: x∈(−∞,1)∖{−2}x \in (-\infty, 1) \setminus \{-2\} (∣x−1∣=−(x−1)=1−x|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x):
       1−x−x−2x+2≤0  ⟺  −2x−1x+2≤0  ⟺  −(2x+1)(x+2)≤0  ⟺  (2x+1)(x+2)≥0\frac{1 - x - x - 2}{x + 2} \le 0 \iff \frac{-2x - 1}{x + 2} \le 0 \iff -(2x + 1)(x + 2) \le 0 \iff (2x + 1)(x + 2) \ge 0
       Rozwiązanie wężyka: x∈(−∞,−2)∪⟨−12,+∞)x \in (-\infty, -2) \cup \langle -\frac{1}{2}, +\infty).
       Część wspólna z przedziałem: x∈(−∞,−2)∪⟨−12,1)x \in (-\infty, -2) \cup \langle -\frac{1}{2}, 1).
    4. Przypadek II: x∈⟨1,+∞)x \in \langle 1, +\infty) (∣x−1∣=x−1|x - 1| = x - 1):
       x−1−(x+2)x+2≤0  ⟺  −3x+2≤0\frac{x - 1 - (x + 2)}{x + 2} \le 0 \iff \frac{-3}{x + 2} \le 0
       Ponieważ −3<0-3 < 0, nierówność jest spełniona gdy x+2>0  ⟺  x>−2x + 2 > 0 \iff x > -2.
       Część wspólna z przedziałem ⟨1,+∞)\langle 1, +\infty): cały przedział ⟨1,+∞)\langle 1, +\infty).
    5. Suma rozwiązań:
       x∈(−∞,−2)∪⟨−12,1)∪⟨1,+∞)=(−∞,−2)∪⟨−12,+∞)x \in (-\infty, -2) \cup \left\langle -\frac{1}{2}, 1\right) \cup \langle 1, +\infty) = (-\infty, -2) \cup \left\langle -\frac{1}{2}, +\infty\right)
    Odpowiedź: x∈(−∞,−2)∪⟨−12,+∞)x \in (-\infty, -2) \cup \left\langle -\frac{1}{2}, +\infty\right)

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Obustronne pomnożenie przez mianownik (x+2)(x+2) bez kwadratowania lub bez badania znaku — gdy x+2<0x + 2 < 0, mnożenie zmienia zwrot nierówności! To natychmiastowa dyskwalifikacja pracy przez CKE.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 19
Zadanie 20
Rozszerzona
Trudne (8/10)

Matura Rozszerzona CKE – Czerwiec 2018 r., Zadanie 3 (3 pkt)

3 pkt

Umiejętność N20: Równanie tożsamościowe z sumą modułów |x - a| + |x - b| = b - a

Rozwiąż równanie:
x2−2x+1+x2−8x+16=3\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 8x + 16} = 3
Zapisz pełne obliczenia i podaj wszystkie rozwiązania rzeczywiste.

Arkusz CKE Otwiera się w nowej karcie Zasady CKE Otwiera się w nowej karcie

Wymagane wzory z tablic CKE

• (x−1)2=∣x−1∣\sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|
• (x−4)2=∣x−4∣\sqrt{(x - 4)^2} = |x - 4|
• Interpretacja geometryczna: suma odległości od punktów 1 i 4 na osi wynosi dokładnie 4−1=34 - 1 = 3

Strategia

  1. Zwiń trójmiany do kwadratów pod pierwiastkami: ∣x−1∣+∣x−4∣=3|x - 1| + |x - 4| = 3.
    2. Zauważ, że odległość między 1 i 4 wynosi dokładnie 3.
    3. Dla każdego punktu xx pomiędzy 1 a 4 zachodzi ∣x−1∣+∣x−4∣=3|x - 1| + |x - 4| = 3.
    4. Sprawdź przedziały zewnętrzne (dla x<1x < 1 oraz x>4x > 4 suma jest większa od 3).
    5. Zapisz zbiór rozwiązań jako przedział domknięty ⟨1,4⟩\langle 1, 4 \rangle.

Pełne obliczenia

  1. Przekształcamy lewą stronę:
       (x−1)2+(x−4)2=3  ⟺  ∣x−1∣+∣x−4∣=3\sqrt{(x - 1)^2} + \sqrt{(x - 4)^2} = 3 \iff |x - 1| + |x - 4| = 3
    2. Punkty zerowe modułów to x=1x = 1 oraz x=4x = 4.
    3. Przedział I: x∈(−∞,1)x \in (-\infty, 1)
       −(x−1)−(x−4)=3  ⟺  −2x+5=3  ⟺  −2x=−2  ⟹  x=1∉(−∞,1)-(x - 1) - (x - 4) = 3 \iff -2x + 5 = 3 \iff -2x = -2 \implies x = 1 \notin (-\infty, 1)
    4. Przedział II: x∈⟨1,4⟩x \in \langle 1, 4 \rangle
       (x−1)−(x−4)=3  ⟺  x−1−x+4=3  ⟺  3=3(toz˙samosˊcˊ!)(x - 1) - (x - 4) = 3 \iff x - 1 - x + 4 = 3 \iff 3 = 3 \quad (\text{tożsamość!})
       Każda liczba z przedziału ⟨1,4⟩\langle 1, 4 \rangle spełnia równanie.
    5. Przedział III: x∈(4,+∞)x \in (4, +\infty)
       (x−1)+(x−4)=3  ⟺  2x−5=3  ⟺  2x=8  ⟹  x=4∉(4,+∞)(x - 1) + (x - 4) = 3 \iff 2x - 5 = 3 \iff 2x = 8 \implies x = 4 \notin (4, +\infty)
    6. Podsumowanie: Zbiorem wszystkich rozwiązań jest cały przedział obustronnie domknięty.
    Odpowiedź: x∈⟨1,4⟩x \in \langle 1, 4 \rangle

Pułapka egzaminatora

• REDFLAG KARDYNALNY: Podanie tylko dwóch liczb x=1x = 1 i x=4x = 4 zamiast CAŁEGO PRZEDZIAŁU ⟨1,4⟩\langle 1, 4 \rangle! Wielu maturzystów nie zauważa tożsamości 3=33 = 3 i myśli, że równanie może mieć tylko skończoną liczbę rozwiązań.

Miejsce na rozwiązanie i czystopis (kratka 5 mm)Odpowiedź: __________________________________________________
Wynik: ______ / 3 pktPodpis sprawdzającego: __________________Zadanie 20

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📘 Kompendium Wiedzy: Wartość Bezwzględna, Przedziały & Równania Modułowe

1. Definicja i Fundamenty Wartości Bezwzględnej

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x∈Rx \in \mathbb{R}, wartość bezwzględną definiujemy jako:

∣x∣={xdla x≥0−xdla x<0|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \ge 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}

  • Uwaga o znaku: Symbol −x-x oznacza liczbę przeciwną do xx. Gdy x=−7x = -7, to −x=−(−7)=7>0-x = -(-7) = 7 > 0.
  • Niewspółmierność ujemna: Wartość bezwzględna dowolnego wyrażenia rzeczywistego jest ZAWSZE nieujemna: ∣w∣≥0|w| \ge 0.
  • Równość z zerem: ∣w∣=0  ⟺  w=0|w| = 0 \iff w = 0.

Własności fundamentalne:

  • ∣−a∣=∣a∣|-a| = |a| (parzystość modułu)
  • ∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣|a \cdot b| = |a| \cdot |b|
  • ∣ab∣=∣a∣∣b∣\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} dla b≠0b \neq 0
  • ∣an∣=∣a∣n|a^n| = |a|^n dla n∈Nn \in \mathbb{N}
  • ∣a∣−∣b∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣|a| - |b| \le |a + b| \le |a| + |b| (nierówność trójkąta)

2. Fundamentalna Tożsamość Pierwiastkowa w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w|

Jedna z najważniejszych tożsamości całego egzaminu maturalnego:

w2=∣w∣\sqrt{w^2} = |w|

Gdy pod pierwiastkiem występuje trójmian kwadratowy będący pełnym kwadratem sumy lub różnicy:

  • x2−2ax+a2=(x−a)2=∣x−a∣\sqrt{x^2 - 2ax + a^2} = \sqrt{(x - a)^2} = |x - a|
  • Jeśli z założeń zadania x<ax < a, to x−a<0  ⟹  ∣x−a∣=−(x−a)=a−xx - a < 0 \implies |x - a| = -(x - a) = a - x.
  • Jeśli x≥ax \ge a, to ∣x−a∣=x−a|x - a| = x - a.

⚠️ REDFLAG CKE: Zapisanie (x−a)2=x−a\sqrt{(x-a)^2} = x - a bez wartości bezwzględnej oznacza błąd kardynalny i zerowanie punktów za całe zadanie!

3. Interpretacja Geometryczna: Środek i Promień na Osi Liczbowej

Wyrażenie ∣x−a∣|x - a| reprezentuje odległość geometryczną liczby xx od punktu aa na osi liczbowej.

Dla dowolnego symetrycznego przedziału lub sumy przedziałów o końcach x1x_1 i x2x_2 (x1<x2x_1 < x_2):

  1. Środek symetrii (SS): S=x1+x22S = \frac{x_1 + x_2}{2}
  2. Promień odległości (rr): r=x2−x12r = \frac{x_2 - x_1}{2}
Postać geometryczna na osiNierówność kanonicznaTyp zbioru
Odcinek wewnętrzny (x1,x2)(x_1, x_2)∣x−S∣<r\lvert x - S \rvert < rPrzedział otwarty
Odcinek wewnętrzny ⟨x1,x2⟩\langle x_1, x_2 \rangle∣x−S∣≤r\lvert x - S \rvert \le rPrzedział domknięty
Ramiona zewnętrzne (−∞,x1)∪(x2,+∞)(-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)∣x−S∣>r\lvert x - S \rvert > rSuma przedziałów otwartych
Ramiona zewnętrzne (−∞,x1⟩∪⟨x2,+∞)(-\infty, x_1\rangle \cup \langle x_2, +\infty)∣x−S∣≥r\lvert x - S \rvert \ge rSuma przedziałów domkniętych

4. Schematy Rozwiązywania Równań i Nierówności Kanonicznych (r>0r > 0)

Równanie ∣w∣=r|w| = r:

∣w∣=r  ⟺  w=r∨w=−r|w| = r \iff w = r \quad \lor \quad w = -r

  • Dwa symetryczne pierwiastki.
  • Gdy r=0  ⟹  w=0r = 0 \implies w = 0.
  • Gdy r<0  ⟹  r < 0 \implies równanie sprzeczne (x∈∅x \in \emptyset).

Nierówność zbieżna ∣w∣≤r|w| \le r:

∣w∣≤r  ⟺  −r≤w≤r|w| \le r \iff -r \le w \le r

  • Równoważna koniunkcji (części wspólnej): w≥−r∧w≤rw \ge -r \land w \le r.

Nierówność rozbieżna ∣w∣≥r|w| \ge r:

∣w∣≥r  ⟺  w≤−r∨w≥r|w| \ge r \iff w \le -r \quad \lor \quad w \ge r

  • Równoważna alternatywie (sumie zbiorów).

5. Złote Patenty Poziomu Rozszerzonego

Patent A: Równania Postaci ∣f(x)∣=∣g(x)∣|f(x)| = |g(x)|

Nie rozbijaj osi na 3 przedziały! Zastosuj natychmiastową alternatywę: ∣f(x)∣=∣g(x)∣  ⟺  f(x)=g(x)∨f(x)=−g(x)|f(x)| = |g(x)| \iff f(x) = g(x) \quad \lor \quad f(x) = -g(x)

  • Obustronne kwadratowanie prowadzi do tożsamego wyniku: f2(x)−g2(x)=0  ⟺  [f(x)−g(x)][f(x)+g(x)]=0f^2(x) - g^2(x) = 0 \iff [f(x) - g(x)][f(x) + g(x)] = 0.
  • Czas rozwiązania: 20 sekund zamiast 10 minut.

Patent B: Równania Liniowe ∣f(x)∣=g(x)|f(x)| = g(x) (Pułapka Pierwiastka Obcego)

  1. Krok 0: Zapisz warunek nieujemności prawej strony: g(x)≥0g(x) \ge 0.
  2. Krok 1: Rozbij na f(x)=g(x)∨f(x)=−g(x)f(x) = g(x) \lor f(x) = -g(x).
  3. Krok 2: Bezwzględnie sprawdź zgodność wyliczonych pierwiastków z warunkiem g(x)≥0g(x) \ge 0 i odrzuć pierwiastki obce!

Patent C: Metoda Przedziałów (Zadania za 3–4 pkt)

Dla równań/nierówności z wieloma modułami, np. ∣2x+6∣−∣x−1∣≤4|2x + 6| - |x - 1| \le 4:

  1. Wyznacz miejsca zerowe wnętrz modułów (x1=−3,x2=1x_1 = -3, x_2 = 1).
  2. Podziel oś na parami rozłączne przedziały: (−∞,−3)(-\infty, -3), ⟨−3,1)\langle -3, 1), ⟨1,+∞)\langle 1, +\infty).
  3. Zdejmij moduły z właściwymi znakami w każdym przedziale.
  4. Wyznacz część wspólną z badanym przedziałem.
  5. Zsumuj rozwiązania cząstkowe ze wszystkich przedziałów.

6. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typologia Błędów Maturalnych)

L.p.❌ NIE WOLNO! (Błąd kardynalny)✅ PRAWIDŁOWO (Standard CKE)Wyjaśnienie i reguła egzaminatora
1w2=w\sqrt{w^2} = ww2=∣w∣\sqrt{w^2} = \lvert w \rvertPierwiastek kwadratowy z kwadratu daje ZAWSZE wartość bezwzględną! Np. (−3)2=∣−3∣=3≠−3\sqrt{(-3)^2} = \lvert -3 \rvert = 3 \neq -3.
2∣f(x)∣=g(x)\lvert f(x) \rvert = g(x) bez warunku g(x)≥0g(x) \ge 0Krok 0: g(x)≥0g(x) \ge 0, potem f(x)=g(x)∨f(x)=−g(x)f(x) = g(x) \lor f(x) = -g(x)Moduł nie może równać się liczbie ujemnej. Brak odrzucenia pierwiastków obcych to strata punktów CKE.
3∣x∣≥3  ⟺  −3≤x≤3\lvert x \rvert \ge 3 \iff -3 \le x \le 3x≤−3∨x≥3x \le -3 \lor x \ge 3 (ramiona zewnętrzne)Dla zwrotu ≥\ge i >> rozwiązaniem jest suma przedziałów zewnętrznych (spójnik LUB), a nie przedział środkowy!
4∣a+b∣=∣a∣+∣b∣\lvert a + b \rvert = \lvert a \rvert + \lvert b \rvert∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣\lvert a + b \rvert \le \lvert a \rvert + \lvert b \rvert (nierówność trójkąta)Równość zachodzi tylko, gdy aa i bb mają ten sam znak (a⋅b≥0a \cdot b \ge 0). Np. ∣5+(−3)∣=2≠5+3=8\lvert 5 + (-3) \rvert = 2 \neq 5 + 3 = 8.
5Dzielenie nierówności przez ∣x−2∣\lvert x - 2 \rvert bez wykluczenia zeraWykluczyć x≠2x \neq 2 z dziedziny przed skracaniemModuł może być zerem! Dzielenie przez wyrażenie, które może wynosić zero, gubi lub fałszuje rozwiązania.