Powrót do katalogu

Lekcja 57: Granice Funkcji, Symbole Nieoznaczone & Ciągłość w Punkcie

Dział 11: Rachunek Różniczkowy i Optymalizacja
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 57: Granice Funkcji, Symbole Nieoznaczone & Ciągłość w Punkcie

Granice funkcji w nieskończoności $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$, granice funkcji wymiernych w punkcie $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ (skracanie przez $(x - x_0)$), granice jednostronne, asymptoty pionowe i poziome wykresu, warunek ciągłości funkcji w punkcie: $$\li...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy:

CKE Poziom Rozszerzony: Granice funkcji w nieskończoności $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$, granice funkcji wymiernych w punkcie $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ (skracanie przez $(x - x_0)$), granice jednostronne, asymptoty pionowe i poziome wykresu, warunek ciągłości funkcji w punkcie: $$\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$$

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 57

Przy symbolu [00][\frac{0}{0}] w ułamku z wielomianami pierwiastek x0x_0 jest miejscem zerowym obu wielomianów – natychmiast podziel licznik i mianownik przez (x−x0)(x - x_0).

3 Czerwone Flagi

01

Błędne odczytanie znaku nieskończoności przy granicy jednostronnej (np. 10+=+∞\frac{1}{0^+} = +\infty, a 10−=−∞\frac{1}{0^-} = -\infty).

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Granice Funkcji, Symbole Nieoznaczone & Ciągłość w Punkcie

Lekcja 57 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy:
  • Poziom Rozszerzony: Granice funkcji w nieskończoności lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x \to \pm \infty} f(x), granice funkcji wymiernych w punkcie lim⁡x→x0P(x)Q(x)\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} (skracanie przez (x−x0)(x - x_0)), granice jednostronne, asymptoty pionowe i poziome wykresu, warunek ciągłości funkcji w punkcie: lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Przy symbolu [00][\frac{0}{0}] w ułamku z wielomianami pierwiastek x0x_0 jest miejscem zerowym obu wielomianów – natychmiast podziel licznik i mianownik przez (x−x0)(x - x_0).

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Błędne odczytanie znaku nieskończoności przy granicy jednostronnej (np. 10+=+∞\frac{1}{0^+} = +\infty, a 10−=−∞\frac{1}{0^-} = -\infty).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 57: Granice Funkcji, Symbole Nieoznaczone & Ciągłość w Punkcie

Granice funkcji w nieskończoności $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$, granice funkcji wymiernych w punkcie $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ (skracanie przez $(x - x_0)$), granice jednostronne, asymptoty pionowe i poziome wykresu, warunek ciągłości funkcji w punkcie: $$\li...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 57

Przy symbolu [00][\frac{0}{0}] w ułamku z wielomianami pierwiastek x0x_0 jest miejscem zerowym obu wielomianów – natychmiast podziel licznik i mianownik przez (x−x0)(x - x_0).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Błędne odczytanie znaku nieskończoności przy granicy jednostronnej (np. 10+=+∞\frac{1}{0^+} = +\infty, a 10−=−∞\frac{1}{0^-} = -\infty).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 57: Granice Funkcji, Symbole Nieoznaczone & Ciągłość w Punkcie

Granice funkcji w nieskończoności $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$, granice funkcji wymiernych w punkcie $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ (skracanie przez $(x - x_0)$), granice jednostronne, asymptoty pionowe i poziome wykresu, warunek ciągłości funkcji w punkcie: $$\li...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 57

Przy symbolu [00][\frac{0}{0}] w ułamku z wielomianami pierwiastek x0x_0 jest miejscem zerowym obu wielomianów – natychmiast podziel licznik i mianownik przez (x−x0)(x - x_0).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Błędne odczytanie znaku nieskończoności przy granicy jednostronnej (np. 10+=+∞\frac{1}{0^+} = +\infty, a 10−=−∞\frac{1}{0^-} = -\infty).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 57: Granice Funkcji, Symbole Nieoznaczone & Ciągłość w Punkcie

Granice funkcji w nieskończoności $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$, granice funkcji wymiernych w punkcie $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ (skracanie przez $(x - x_0)$), granice jednostronne, asymptoty pionowe i poziome wykresu, warunek ciągłości funkcji w punkcie: $$\li...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 57

Przy symbolu [00][\frac{0}{0}] w ułamku z wielomianami pierwiastek x0x_0 jest miejscem zerowym obu wielomianów – natychmiast podziel licznik i mianownik przez (x−x0)(x - x_0).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Błędne odczytanie znaku nieskończoności przy granicy jednostronnej (np. 10+=+∞\frac{1}{0^+} = +\infty, a 10−=−∞\frac{1}{0^-} = -\infty).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 57: Granice Funkcji, Symbole Nieoznaczone & Ciągłość w Punkcie

Granice funkcji w nieskończoności $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$, granice funkcji wymiernych w punkcie $\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)}$ (skracanie przez $(x - x_0)$), granice jednostronne, asymptoty pionowe i poziome wykresu, warunek ciągłości funkcji w punkcie: $$\li...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 57

Przy symbolu [00][\frac{0}{0}] w ułamku z wielomianami pierwiastek x0x_0 jest miejscem zerowym obu wielomianów – natychmiast podziel licznik i mianownik przez (x−x0)(x - x_0).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Błędne odczytanie znaku nieskończoności przy granicy jednostronnej (np. 10+=+∞\frac{1}{0^+} = +\infty, a 10−=−∞\frac{1}{0^-} = -\infty).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Granice Funkcji, Symbole Nieoznaczone & Ciągłość w Punkcie

Lekcja 57 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy:
  • Poziom Rozszerzony: Granice funkcji w nieskończoności lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x \to \pm \infty} f(x), granice funkcji wymiernych w punkcie lim⁡x→x0P(x)Q(x)\lim_{x \to x_0} \frac{P(x)}{Q(x)} (skracanie przez (x−x0)(x - x_0)), granice jednostronne, asymptoty pionowe i poziome wykresu, warunek ciągłości funkcji w punkcie: lim⁡x→x0−f(x)=lim⁡x→x0+f(x)=f(x0)\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Przy symbolu [00][\frac{0}{0}] w ułamku z wielomianami pierwiastek x0x_0 jest miejscem zerowym obu wielomianów – natychmiast podziel licznik i mianownik przez (x−x0)(x - x_0).

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Błędne odczytanie znaku nieskończoności przy granicy jednostronnej (np. 10+=+∞\frac{1}{0^+} = +\infty, a 10−=−∞\frac{1}{0^-} = -\infty).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.