Powrót do katalogu

Lekcja 27: Równania Trygonometryczne Podstawowe i Kwadratowe ze Zmienną Pomocniczą

Dział 05: Trygonometria
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 27: Równania Trygonometryczne Podstawowe i Kwadratowe ze Zmienną Pomocniczą

Rozwiązywanie równań typu $\sin x = a$, $\cos x = b$, $\operatorname{tg} x = c$ w zbiorze $\mathbb{R}$ oraz w zadanym przedziale domkniętym (np. $x \in \langle 0, 2\pi\rangle$). Równania kwadratowe sprowadzane do jednej funkcji za pomocą jedynki trygonometrycznej: $$2\co...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy:

CKE Poziom Rozszerzony: Rozwiązywanie równań typu $\sin x = a$, $\cos x = b$, $\operatorname{tg} x = c$ w zbiorze $\mathbb{R}$ oraz w zadanym przedziale domkniętym (np. $x \in \langle 0, 2\pi\rangle$). Równania kwadratowe sprowadzane do jednej funkcji za pomocą jedynki trygonometrycznej: $$2\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0 \implies 2(1-\sin^2 x) - 3\sin x - 3 = 0$$

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 27

Podstawienie t=sin⁡xt = \sin x z natychmiastowym założeniem t∈⟨−1,1⟩t \in \langle -1, 1\rangle.

3 Czerwone Flagi

01

Pomijanie drugiej serii rozwiązań dla sinusa (x=α+2kπ∨x=π−α+2kπx = \alpha + 2k\pi \lor x = \pi - \alpha + 2k\pi) oraz dla cosinusa (x=±α+2kπx = \pm \alpha + 2k\pi).

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Równania Trygonometryczne Podstawowe i Kwadratowe ze Zmienną Pomocniczą

Lekcja 27 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy:
  • Poziom Rozszerzony: Rozwiązywanie równań typu sin⁡x=a\sin x = a, cos⁡x=b\cos x = b, tg⁡x=c\operatorname{tg} x = c w zbiorze R\mathbb{R} oraz w zadanym przedziale domkniętym (np. x∈⟨0,2π⟩x \in \langle 0, 2\pi\rangle). Równania kwadratowe sprowadzane do jednej funkcji za pomocą jedynki trygonometrycznej: 2cos⁡2x−3sin⁡x−3=0  ⟹  2(1−sin⁡2x)−3sin⁡x−3=02\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0 \implies 2(1-\sin^2 x) - 3\sin x - 3 = 0

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Podstawienie t=sin⁡xt = \sin x z natychmiastowym założeniem t∈⟨−1,1⟩t \in \langle -1, 1\rangle.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Pomijanie drugiej serii rozwiązań dla sinusa (x=α+2kπ∨x=π−α+2kπx = \alpha + 2k\pi \lor x = \pi - \alpha + 2k\pi) oraz dla cosinusa (x=±α+2kπx = \pm \alpha + 2k\pi).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 27: Równania Trygonometryczne Podstawowe i Kwadratowe ze Zmienną Pomocniczą

Rozwiązywanie równań typu $\sin x = a$, $\cos x = b$, $\operatorname{tg} x = c$ w zbiorze $\mathbb{R}$ oraz w zadanym przedziale domkniętym (np. $x \in \langle 0, 2\pi\rangle$). Równania kwadratowe sprowadzane do jednej funkcji za pomocą jedynki trygonometrycznej: $$2\co...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 27

Podstawienie t=sin⁡xt = \sin x z natychmiastowym założeniem t∈⟨−1,1⟩t \in \langle -1, 1\rangle.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Pomijanie drugiej serii rozwiązań dla sinusa (x=α+2kπ∨x=π−α+2kπx = \alpha + 2k\pi \lor x = \pi - \alpha + 2k\pi) oraz dla cosinusa (x=±α+2kπx = \pm \alpha + 2k\pi).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 27: Równania Trygonometryczne Podstawowe i Kwadratowe ze Zmienną Pomocniczą

Rozwiązywanie równań typu $\sin x = a$, $\cos x = b$, $\operatorname{tg} x = c$ w zbiorze $\mathbb{R}$ oraz w zadanym przedziale domkniętym (np. $x \in \langle 0, 2\pi\rangle$). Równania kwadratowe sprowadzane do jednej funkcji za pomocą jedynki trygonometrycznej: $$2\co...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 27

Podstawienie t=sin⁡xt = \sin x z natychmiastowym założeniem t∈⟨−1,1⟩t \in \langle -1, 1\rangle.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Pomijanie drugiej serii rozwiązań dla sinusa (x=α+2kπ∨x=π−α+2kπx = \alpha + 2k\pi \lor x = \pi - \alpha + 2k\pi) oraz dla cosinusa (x=±α+2kπx = \pm \alpha + 2k\pi).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 27: Równania Trygonometryczne Podstawowe i Kwadratowe ze Zmienną Pomocniczą

Rozwiązywanie równań typu $\sin x = a$, $\cos x = b$, $\operatorname{tg} x = c$ w zbiorze $\mathbb{R}$ oraz w zadanym przedziale domkniętym (np. $x \in \langle 0, 2\pi\rangle$). Równania kwadratowe sprowadzane do jednej funkcji za pomocą jedynki trygonometrycznej: $$2\co...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 27

Podstawienie t=sin⁡xt = \sin x z natychmiastowym założeniem t∈⟨−1,1⟩t \in \langle -1, 1\rangle.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Pomijanie drugiej serii rozwiązań dla sinusa (x=α+2kπ∨x=π−α+2kπx = \alpha + 2k\pi \lor x = \pi - \alpha + 2k\pi) oraz dla cosinusa (x=±α+2kπx = \pm \alpha + 2k\pi).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 27: Równania Trygonometryczne Podstawowe i Kwadratowe ze Zmienną Pomocniczą

Rozwiązywanie równań typu $\sin x = a$, $\cos x = b$, $\operatorname{tg} x = c$ w zbiorze $\mathbb{R}$ oraz w zadanym przedziale domkniętym (np. $x \in \langle 0, 2\pi\rangle$). Równania kwadratowe sprowadzane do jednej funkcji za pomocą jedynki trygonometrycznej: $$2\co...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 27

Podstawienie t=sin⁡xt = \sin x z natychmiastowym założeniem t∈⟨−1,1⟩t \in \langle -1, 1\rangle.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Pomijanie drugiej serii rozwiązań dla sinusa (x=α+2kπ∨x=π−α+2kπx = \alpha + 2k\pi \lor x = \pi - \alpha + 2k\pi) oraz dla cosinusa (x=±α+2kπx = \pm \alpha + 2k\pi).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Równania Trygonometryczne Podstawowe i Kwadratowe ze Zmienną Pomocniczą

Lekcja 27 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy:
  • Poziom Rozszerzony: Rozwiązywanie równań typu sin⁡x=a\sin x = a, cos⁡x=b\cos x = b, tg⁡x=c\operatorname{tg} x = c w zbiorze R\mathbb{R} oraz w zadanym przedziale domkniętym (np. x∈⟨0,2π⟩x \in \langle 0, 2\pi\rangle). Równania kwadratowe sprowadzane do jednej funkcji za pomocą jedynki trygonometrycznej: 2cos⁡2x−3sin⁡x−3=0  ⟹  2(1−sin⁡2x)−3sin⁡x−3=02\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0 \implies 2(1-\sin^2 x) - 3\sin x - 3 = 0

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Podstawienie t=sin⁡xt = \sin x z natychmiastowym założeniem t∈⟨−1,1⟩t \in \langle -1, 1\rangle.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Pomijanie drugiej serii rozwiązań dla sinusa (x=α+2kπ∨x=π−α+2kπx = \alpha + 2k\pi \lor x = \pi - \alpha + 2k\pi) oraz dla cosinusa (x=±α+2kπx = \pm \alpha + 2k\pi).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.