Powrót do katalogu

Lekcja 24: Funkcje Dowolnego Kąta, Miara Łukowa & Wzory Redukcyjne

Dział 05: Trygonometria
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 24: Funkcje Dowolnego Kąta, Miara Łukowa & Wzory Redukcyjne

Definicje na płaszczyźnie z punktem $P=(x, y)$ i promieniem wodzącym $r=\sqrt{x^2+y^2}$, znaki funkcji w 4 ćwiartkach (wierszyk: *W pierwszej wszystkie są dodatnie...*), miara łukowa (radiany: $\pi = 180^\circ$, $2\pi = 360^\circ$). | Pełny system wzorów redukcyjnych dla kątów...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy: Definicje na płaszczyźnie z punktem $P=(x, y)$ i promieniem wodzącym $r=\sqrt{x^2+y^2}$, znaki funkcji w 4 ćwiartkach (wierszyk: *W pierwszej wszystkie są dodatnie...*), miara łukowa (radiany: $\pi = 180^\circ$, $2\pi = 360^\circ$).

CKE Poziom Rozszerzony: Pełny system wzorów redukcyjnych dla kątów $90^\circ \pm \alpha, 180^\circ \pm \alpha, 270^\circ \pm \alpha$, parzystość cosinusa ($\cos(-\alpha) = \cos \alpha$) i nieparzystość sinusa i tangensa.

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 24

Reguła „kofunkcji”: przy 90∘90^\circ i 270∘270^\circ funkcja przechodzi w kofunkcję (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos), a przy 180∘180^\circ i 360∘360^\circ funkcja zostaje bez zmian; znak ustalamy na podstawie ćwiartki kąta wyjściowego.

3 Czerwone Flagi

01

Ustalanie znaku nowego wyrażenia zamiast znaku funkcji wyjściowej w danej ćwiartce.

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Funkcje Dowolnego Kąta, Miara Łukowa & Wzory Redukcyjne

Lekcja 24 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Definicje na płaszczyźnie z punktem P=(x,y)P=(x, y) i promieniem wodzącym r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}, znaki funkcji w 4 ćwiartkach (wierszyk: W pierwszej wszystkie są dodatnie...), miara łukowa (radiany: π=180∘\pi = 180^\circ, 2π=360∘2\pi = 360^\circ).
  • Poziom Rozszerzony: Pełny system wzorów redukcyjnych dla kątów 90∘±α,180∘±α,270∘±α90^\circ \pm \alpha, 180^\circ \pm \alpha, 270^\circ \pm \alpha, parzystość cosinusa (cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha) i nieparzystość sinusa i tangensa.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Reguła „kofunkcji”: przy 90∘90^\circ i 270∘270^\circ funkcja przechodzi w kofunkcję (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos), a przy 180∘180^\circ i 360∘360^\circ funkcja zostaje bez zmian; znak ustalamy na podstawie ćwiartki kąta wyjściowego.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Ustalanie znaku nowego wyrażenia zamiast znaku funkcji wyjściowej w danej ćwiartce.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 24: Funkcje Dowolnego Kąta, Miara Łukowa & Wzory Redukcyjne

Definicje na płaszczyźnie z punktem $P=(x, y)$ i promieniem wodzącym $r=\sqrt{x^2+y^2}$, znaki funkcji w 4 ćwiartkach (wierszyk: *W pierwszej wszystkie są dodatnie...*), miara łukowa (radiany: $\pi = 180^\circ$, $2\pi = 360^\circ$). | Pełny system wzorów redukcyjnych dla kątów...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 24

Reguła „kofunkcji”: przy 90∘90^\circ i 270∘270^\circ funkcja przechodzi w kofunkcję (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos), a przy 180∘180^\circ i 360∘360^\circ funkcja zostaje bez zmian; znak ustalamy na podstawie ćwiartki kąta wyjściowego.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Ustalanie znaku nowego wyrażenia zamiast znaku funkcji wyjściowej w danej ćwiartce.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 24: Funkcje Dowolnego Kąta, Miara Łukowa & Wzory Redukcyjne

Definicje na płaszczyźnie z punktem $P=(x, y)$ i promieniem wodzącym $r=\sqrt{x^2+y^2}$, znaki funkcji w 4 ćwiartkach (wierszyk: *W pierwszej wszystkie są dodatnie...*), miara łukowa (radiany: $\pi = 180^\circ$, $2\pi = 360^\circ$). | Pełny system wzorów redukcyjnych dla kątów...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 24

Reguła „kofunkcji”: przy 90∘90^\circ i 270∘270^\circ funkcja przechodzi w kofunkcję (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos), a przy 180∘180^\circ i 360∘360^\circ funkcja zostaje bez zmian; znak ustalamy na podstawie ćwiartki kąta wyjściowego.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Ustalanie znaku nowego wyrażenia zamiast znaku funkcji wyjściowej w danej ćwiartce.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 24: Funkcje Dowolnego Kąta, Miara Łukowa & Wzory Redukcyjne

Definicje na płaszczyźnie z punktem $P=(x, y)$ i promieniem wodzącym $r=\sqrt{x^2+y^2}$, znaki funkcji w 4 ćwiartkach (wierszyk: *W pierwszej wszystkie są dodatnie...*), miara łukowa (radiany: $\pi = 180^\circ$, $2\pi = 360^\circ$). | Pełny system wzorów redukcyjnych dla kątów...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 24

Reguła „kofunkcji”: przy 90∘90^\circ i 270∘270^\circ funkcja przechodzi w kofunkcję (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos), a przy 180∘180^\circ i 360∘360^\circ funkcja zostaje bez zmian; znak ustalamy na podstawie ćwiartki kąta wyjściowego.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Ustalanie znaku nowego wyrażenia zamiast znaku funkcji wyjściowej w danej ćwiartce.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 24: Funkcje Dowolnego Kąta, Miara Łukowa & Wzory Redukcyjne

Definicje na płaszczyźnie z punktem $P=(x, y)$ i promieniem wodzącym $r=\sqrt{x^2+y^2}$, znaki funkcji w 4 ćwiartkach (wierszyk: *W pierwszej wszystkie są dodatnie...*), miara łukowa (radiany: $\pi = 180^\circ$, $2\pi = 360^\circ$). | Pełny system wzorów redukcyjnych dla kątów...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 24

Reguła „kofunkcji”: przy 90∘90^\circ i 270∘270^\circ funkcja przechodzi w kofunkcję (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos), a przy 180∘180^\circ i 360∘360^\circ funkcja zostaje bez zmian; znak ustalamy na podstawie ćwiartki kąta wyjściowego.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Ustalanie znaku nowego wyrażenia zamiast znaku funkcji wyjściowej w danej ćwiartce.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Prosto do Matury • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Funkcje Dowolnego Kąta, Miara Łukowa & Wzory Redukcyjne

Lekcja 24 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Definicje na płaszczyźnie z punktem P=(x,y)P=(x, y) i promieniem wodzącym r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2}, znaki funkcji w 4 ćwiartkach (wierszyk: W pierwszej wszystkie są dodatnie...), miara łukowa (radiany: π=180∘\pi = 180^\circ, 2π=360∘2\pi = 360^\circ).
  • Poziom Rozszerzony: Pełny system wzorów redukcyjnych dla kątów 90∘±α,180∘±α,270∘±α90^\circ \pm \alpha, 180^\circ \pm \alpha, 270^\circ \pm \alpha, parzystość cosinusa (cos⁡(−α)=cos⁡α\cos(-\alpha) = \cos \alpha) i nieparzystość sinusa i tangensa.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Reguła „kofunkcji”: przy 90∘90^\circ i 270∘270^\circ funkcja przechodzi w kofunkcję (sin⁡↔cos⁡\sin \leftrightarrow \cos), a przy 180∘180^\circ i 360∘360^\circ funkcja zostaje bez zmian; znak ustalamy na podstawie ćwiartki kąta wyjściowego.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Ustalanie znaku nowego wyrażenia zamiast znaku funkcji wyjściowej w danej ćwiartce.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.