Powrót do katalogu

Lekcja 36: Punkty, Odcinki, Wektory na Płaszczyźnie & Środek Ciężkości

Dział 07: Geometria Analityczna
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 36: Punkty, Odcinki, Wektory na Płaszczyźnie & Środek Ciężkości

Długość odcinka $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, środek odcinka $S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$, współrzędne wektora $\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$, długość wektora $|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$. | Działania liniowe na wektorach ...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy: Długość odcinka $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, środek odcinka $S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$, współrzędne wektora $\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$, długość wektora $|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$.

CKE Poziom Rozszerzony: Działania liniowe na wektorach ($a\vec{u} + b\vec{v}$), wektorowe wyznaczanie wierzchołków czworokątów (np. w równoległoboku $\vec{AB} = \vec{DC}$), środek ciężkości trójkąta $S = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$, warunek współliniowości trzech punktów.

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 36

Wyznaczanie czwartego wierzchołka równoległoboku przez prostą równość wektorów D⃗=C⃗−AB⃗\vec{D} = \vec{C} - \vec{AB} zamiast pisania układu równań prostych.

3 Czerwone Flagi

01

Błąd kolejności współrzędnych przy wektorze AB⃗\vec{AB} (zawsze: koniec minus początek, czyli B−AB - A).

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Punkty, Odcinki, Wektory na Płaszczyźnie & Środek Ciężkości

Lekcja 36 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Długość odcinka ∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}, środek odcinka S=(xA+xB2,yA+yB2)S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right), współrzędne wektora AB⃗=[xB−xA,yB−yA]\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A], długość wektora ∣u⃗∣=ux2+uy2|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}.
  • Poziom Rozszerzony: Działania liniowe na wektorach (au⃗+bv⃗a\vec{u} + b\vec{v}), wektorowe wyznaczanie wierzchołków czworokątów (np. w równoległoboku AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC}), środek ciężkości trójkąta S=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)S = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right), warunek współliniowości trzech punktów.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Wyznaczanie czwartego wierzchołka równoległoboku przez prostą równość wektorów D⃗=C⃗−AB⃗\vec{D} = \vec{C} - \vec{AB} zamiast pisania układu równań prostych.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Błąd kolejności współrzędnych przy wektorze AB⃗\vec{AB} (zawsze: koniec minus początek, czyli B−AB - A).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 36: Punkty, Odcinki, Wektory na Płaszczyźnie & Środek Ciężkości

Długość odcinka $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, środek odcinka $S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$, współrzędne wektora $\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$, długość wektora $|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$. | Działania liniowe na wektorach ...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 36

Wyznaczanie czwartego wierzchołka równoległoboku przez prostą równość wektorów D⃗=C⃗−AB⃗\vec{D} = \vec{C} - \vec{AB} zamiast pisania układu równań prostych.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Błąd kolejności współrzędnych przy wektorze AB⃗\vec{AB} (zawsze: koniec minus początek, czyli B−AB - A).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 36: Punkty, Odcinki, Wektory na Płaszczyźnie & Środek Ciężkości

Długość odcinka $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, środek odcinka $S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$, współrzędne wektora $\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$, długość wektora $|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$. | Działania liniowe na wektorach ...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 36

Wyznaczanie czwartego wierzchołka równoległoboku przez prostą równość wektorów D⃗=C⃗−AB⃗\vec{D} = \vec{C} - \vec{AB} zamiast pisania układu równań prostych.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Błąd kolejności współrzędnych przy wektorze AB⃗\vec{AB} (zawsze: koniec minus początek, czyli B−AB - A).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 36: Punkty, Odcinki, Wektory na Płaszczyźnie & Środek Ciężkości

Długość odcinka $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, środek odcinka $S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$, współrzędne wektora $\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$, długość wektora $|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$. | Działania liniowe na wektorach ...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 36

Wyznaczanie czwartego wierzchołka równoległoboku przez prostą równość wektorów D⃗=C⃗−AB⃗\vec{D} = \vec{C} - \vec{AB} zamiast pisania układu równań prostych.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Błąd kolejności współrzędnych przy wektorze AB⃗\vec{AB} (zawsze: koniec minus początek, czyli B−AB - A).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 36: Punkty, Odcinki, Wektory na Płaszczyźnie & Środek Ciężkości

Długość odcinka $|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$, środek odcinka $S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)$, współrzędne wektora $\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]$, długość wektora $|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$. | Działania liniowe na wektorach ...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 36

Wyznaczanie czwartego wierzchołka równoległoboku przez prostą równość wektorów D⃗=C⃗−AB⃗\vec{D} = \vec{C} - \vec{AB} zamiast pisania układu równań prostych.

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Błąd kolejności współrzędnych przy wektorze AB⃗\vec{AB} (zawsze: koniec minus początek, czyli B−AB - A).

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Punkty, Odcinki, Wektory na Płaszczyźnie & Środek Ciężkości

Lekcja 36 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Długość odcinka ∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}, środek odcinka S=(xA+xB2,yA+yB2)S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right), współrzędne wektora AB⃗=[xB−xA,yB−yA]\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A], długość wektora ∣u⃗∣=ux2+uy2|\vec{u}| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}.
  • Poziom Rozszerzony: Działania liniowe na wektorach (au⃗+bv⃗a\vec{u} + b\vec{v}), wektorowe wyznaczanie wierzchołków czworokątów (np. w równoległoboku AB⃗=DC⃗\vec{AB} = \vec{DC}), środek ciężkości trójkąta S=(xA+xB+xC3,yA+yB+yC3)S = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right), warunek współliniowości trzech punktów.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Wyznaczanie czwartego wierzchołka równoległoboku przez prostą równość wektorów D⃗=C⃗−AB⃗\vec{D} = \vec{C} - \vec{AB} zamiast pisania układu równań prostych.

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Błąd kolejności współrzędnych przy wektorze AB⃗\vec{AB} (zawsze: koniec minus początek, czyli B−AB - A).

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.