Powrót do katalogu

Lekcja 49: Permutacje, Wariacje i Kombinacje – Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ & Kule w Pudłach

Dział 09: Kombinatoryka i Prawdopodobieństwo
120 min
0 pkt (0 zadań)

Lekcja 49: Permutacje, Wariacje i Kombinacje – Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ & Kule w Pudłach

Permutacje $P_n = n!$, wariacje bez powtórzeń $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ i z powtórzeniami $\overline{V}_n^k = n^k$. | Kombinacje bez powtórzeń $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, własności symbolu Newtona ($\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, trójkąt Pascala), rozmiesz...

Część 1

Teoria w pigułce

Cel tematu na maturze

CKE Poziom Podstawowy: Permutacje $P_n = n!$, wariacje bez powtórzeń $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ i z powtórzeniami $\overline{V}_n^k = n^k$.

CKE Poziom Rozszerzony: Kombinacje bez powtórzeń $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, własności symbolu Newtona ($\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, trójkąt Pascala), rozmieszczanie rozróżnialnych/nierozróżnialnych kul w szufladach, podział zbioru na podzbiory.

3 Kluczowe Patenty

1

Patent CKE Lekcji 49

Klucz decyzyjny: Czy kolejność ma znaczenie? - TAK   ⟹  \implies Wariacje / Permutacje (kody, hasła, podia, kolejki). - NIE   ⟹  \implies Kombinacje (nk)\binom{n}{k} (losowanie kart, wybór delegacji, losy na loterii).

3 Czerwone Flagi

01

Wielokrotne zliczanie tych samych układów (tzw. overcounting) przy wyborze elementów etapami.

AI & Multimedia Hub

Obejrzyj, posłuchaj, utrwal

Wideo jest w przygotowaniu.

Lekcja wideo MP4 HD

Materiał do powtórki krok po kroku

Podcast do lekcji

Słuchaj w swoim tempie

Podcast jest w przygotowaniu.

Prezentacja multimedialna (Slajdy)Materiał jest w przygotowaniu

Część 2

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Permutacje, Wariacje i Kombinacje – Symbol Newtona (nk)\binom{n}{k} & Kule w Pudłach

Lekcja 49 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Permutacje Pn=n!P_n = n!, wariacje bez powtórzeń Vnk=n!(n−k)!V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} i z powtórzeniami V‾nk=nk\overline{V}_n^k = n^k.
  • Poziom Rozszerzony: Kombinacje bez powtórzeń Cnk=(nk)=n!k!(n−k)!C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}, własności symbolu Newtona ((nk)=(nn−k)\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, trójkąt Pascala), rozmieszczanie rozróżnialnych/nierozróżnialnych kul w szufladach, podział zbioru na podzbiory.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Klucz decyzyjny: Czy kolejność ma znaczenie? - TAK   ⟹  \implies Wariacje / Permutacje (kody, hasła, podia, kolejki). - NIE   ⟹  \implies Kombinacje (nk)\binom{n}{k} (losowanie kart, wybór delegacji, losy na loterii).

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Wielokrotne zliczanie tych samych układów (tzw. overcounting) przy wyborze elementów etapami.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 49: Permutacje, Wariacje i Kombinacje – Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ & Kule w Pudłach

Permutacje $P_n = n!$, wariacje bez powtórzeń $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ i z powtórzeniami $\overline{V}_n^k = n^k$. | Kombinacje bez powtórzeń $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, własności symbolu Newtona ($\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, trójkąt Pascala), rozmiesz...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Kursanta

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 49

Klucz decyzyjny: Czy kolejność ma znaczenie? - TAK   ⟹  \implies Wariacje / Permutacje (kody, hasła, podia, kolejki). - NIE   ⟹  \implies Kombinacje (nk)\binom{n}{k} (losowanie kart, wybór delegacji, losy na loterii).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Wielokrotne zliczanie tych samych układów (tzw. overcounting) przy wyborze elementów etapami.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 49: Permutacje, Wariacje i Kombinacje – Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ & Kule w Pudłach

Permutacje $P_n = n!$, wariacje bez powtórzeń $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ i z powtórzeniami $\overline{V}_n^k = n^k$. | Kombinacje bez powtórzeń $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, własności symbolu Newtona ($\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, trójkąt Pascala), rozmiesz...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Nauczyciela

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 49

Klucz decyzyjny: Czy kolejność ma znaczenie? - TAK   ⟹  \implies Wariacje / Permutacje (kody, hasła, podia, kolejki). - NIE   ⟹  \implies Kombinacje (nk)\binom{n}{k} (losowanie kart, wybór delegacji, losy na loterii).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Wielokrotne zliczanie tych samych układów (tzw. overcounting) przy wyborze elementów etapami.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 49: Permutacje, Wariacje i Kombinacje – Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ & Kule w Pudłach

Permutacje $P_n = n!$, wariacje bez powtórzeń $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ i z powtórzeniami $\overline{V}_n^k = n^k$. | Kombinacje bez powtórzeń $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, własności symbolu Newtona ($\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, trójkąt Pascala), rozmiesz...

📄 Karta Kursanta
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Karta Zadań Nadobowiązkowych (Kursant)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 49

Klucz decyzyjny: Czy kolejność ma znaczenie? - TAK   ⟹  \implies Wariacje / Permutacje (kody, hasła, podia, kolejki). - NIE   ⟹  \implies Kombinacje (nk)\binom{n}{k} (losowanie kart, wybór delegacji, losy na loterii).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Wielokrotne zliczanie tych samych układów (tzw. overcounting) przy wyborze elementów etapami.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

MATURA ROZSZERZONA Z MATEMATYKI • WARSZTATY ZADANIOWE CKE

Lekcja 49: Permutacje, Wariacje i Kombinacje – Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ & Kule w Pudłach

Permutacje $P_n = n!$, wariacje bez powtórzeń $V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ i z powtórzeniami $\overline{V}_n^k = n^k$. | Kombinacje bez powtórzeń $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, własności symbolu Newtona ($\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, trójkąt Pascala), rozmiesz...

📑 Klucz Nauczyciela
⏱️ 120 minut🎯 0 zadań🏆 0 pkt📐 Kratka 5 mm

Klucz Zadań Nadobowiązkowych (Nauczyciel)

Imię i nazwisko: __________________________Data: ______________Klasa: __________Wynik: _____ / 0 pkt (____ %)

📐 Niezbędnik Maturalny — Kluczowe Wzory i Tożsamości

Prawa potęg

ar⋅as=ar+sa^r \cdot a^s = a^{r+s} · aras=ar−s\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} · (ar)s=ar⋅s(a^r)^s = a^{r \cdot s} · a−r=1ara^{-r} = \frac{1}{a^r} · amn=amna^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} · (ab)−r=(ba)r\left(\frac{a}{b}\right)^{-r} = \left(\frac{b}{a}\right)^r

Pierwiastki i tożsamości

a⋅bn=an⋅bn\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} · abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} · a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a| · −a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}

Skrócone mnożenie

(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2 · a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

💡 Patenty, które oszczędzają czas

1. Patent CKE Lekcji 49

Klucz decyzyjny: Czy kolejność ma znaczenie? - TAK   ⟹  \implies Wariacje / Permutacje (kody, hasła, podia, kolejki). - NIE   ⟹  \implies Kombinacje (nk)\binom{n}{k} (losowanie kart, wybór delegacji, losy na loterii).

⚠️ Pułapki Egzaminatora — Czerwone Flagi

01

Wielokrotne zliczanie tych samych układów (tzw. overcounting) przy wyborze elementów etapami.

Tabela punktowa arkusza

Zadanie
Maks. pkt
Uzyskane
Matura Krok po Kroku • Warsztaty zadaniowe CKEStrona 1 z 1 (Karta tytułowa & Wzory)

Kompendium wiedzy

Wzory i najważniejsze reguły

📚 Kompendium Wiedzy: Permutacje, Wariacje i Kombinacje – Symbol Newtona (nk)\binom{n}{k} & Kule w Pudłach

Lekcja 49 | Matura z Matematyki (Podstawa + Rozszerzenie)

1. Wymagania Egzaminacyjne CKE (Formuła 2023 / 2025)

  • Poziom Podstawowy: Permutacje Pn=n!P_n = n!, wariacje bez powtórzeń Vnk=n!(n−k)!V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} i z powtórzeniami V‾nk=nk\overline{V}_n^k = n^k.
  • Poziom Rozszerzony: Kombinacje bez powtórzeń Cnk=(nk)=n!k!(n−k)!C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}, własności symbolu Newtona ((nk)=(nn−k)\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}, trójkąt Pascala), rozmieszczanie rozróżnialnych/nierozróżnialnych kul w szufladach, podział zbioru na podzbiory.

2. Kluczowy Patent Egzaminatora

💡 Patent CKE: Klucz decyzyjny: Czy kolejność ma znaczenie? - TAK   ⟹  \implies Wariacje / Permutacje (kody, hasła, podia, kolejki). - NIE   ⟹  \implies Kombinacje (nk)\binom{n}{k} (losowanie kart, wybór delegacji, losy na loterii).

3. Czerwone Flagi Egzaminatora (Typowe Pułapki)

⚠️ Uwaga na maturze: Wielokrotne zliczanie tych samych układów (tzw. overcounting) przy wyborze elementów etapami.

Pełny warsztat 16 autentycznych zadań CKE, zadania nadobowiązkowe oraz szczegółowe omówienia krok po kroku są przygotowywane w ramach standardu platformy.